Géométrie euclidienne

Géométrie euclidienne
C. Charignon
Table des matières
I Cours 3
1 Produit scalaire 3
1.1 Produitscalaireetnorme ...................................... 3
1.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz, conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Orthogonalité 4
2.1 Orthogonalité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Familles orthogonales, normées, orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Basesorthonormées ......................................... 5
2.4 Orthogonalité de parties de E.................................... 6
3 Espaces euclidiens 7
3.1 Définitionsgénérales ......................................... 7
3.2 Caractérisation matricielle d’une base orthonormée (hors programme) . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 ExistencedeBON .......................................... 8
3.3.1 Lelemmefondamental.................................... 8
3.3.2 Orthonormalisation de Gramm-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.3 « théorème de la base orthonormée incomplète » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.4 Concaténation de familles orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Projections et distance à un sev 11
4.1 Étude de F⊥lorsque Festdedimensionfinie........................... 12
4.2 Projectionorthogonale........................................ 12
4.3 Distance à F............................................. 14
4.4 Exemples ............................................... 14
4.4.1 Cas où Eesteuclidien.................................... 14
4.4.2 Algorithmegénéral...................................... 15
4.4.3 Exemples sans connaître de base orthonormée de F................... 17
4.5 Résumé des méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II Exercices 19
1 Produits scalaires 1
1.1 Exemples de produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Autres................................................. 2
1

2 Orthogonalité 3
2.1 Vecteursorthogonaux ........................................ 3
2.2 Exemples de familles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Géométrieàl’ancienne........................................ 4
2.4 Familles orthogonales : exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Sous-espacesorthogonaux ...................................... 5
3 Distance, projections 5
3.1 Calculs de projetés et de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Autres................................................. 6
2

Première partie
Cours
1 Produit scalaire
Nous fixons pour ce chapitre un R-espace vectoriel E.
N.B. Le corps de base est R, car nous utiliserons la relation d’ordre. Une théorie similaire existe cependant
pour le corps C(espace « hermitiens »).
1.1 Produit scalaire et norme
Définition 1.1. Un produit scalaire sur Eest une application p:E2→Rvérifiant :
1. pest linéaire en chaque variable
2. pest « symétrique » : ∀(x, y)∈E2),p(x, y) = p(y, x).
3. pest « positive » : ∀x∈E,p(x, x)>0
4. et pest « définie » : ∀x∈E:p(x, x)=0 ⇔x= 0E.
On a l’habitude de noter (.|.), ou < ., . >, ou (., .)ou < .|. > les produit scalaires. L’image de deux
vecteurs (x, y)∈E2se note alors (x|y)(ou < x, y >,...)
Remarque : Une fois la symétrie prouvée, il suffit de montrer la linéarité selon la première variable pour
obtenir la bilinéarité.
Exemples de référence à connaître :
•Dans Rn: produit scalaire canonique.
•Soit Iun intervalle et E=C(I, R), alors (f, g)7→ RIf.g est un produit scalaire.
Autre exemple : Dans R2:((x1, y1),(x2, y2)) 7→ x1x2+y1y2−x1y2−x2y1.
Dans la suite, on fixe un produit scalaire (.|.)sur E.
Définition 1.2. (Norme)
1. Soit (.|.)un produit scalaire sur E. La norme associée à (.|.)est l’application, notée ||.||, définie par :
∀x∈E, ||x|| =p(x|x).
2. Un vecteur x∈Etel que ||x|| = 1 est appelé un vecteur unitaire.
3. Pour tout (x, y)∈E2, on appelle la distance entre xet yle nombre ||x−y||.
Quelques relations simples reliant norme et produit scalaire : pour tout (x, y)∈E2:
• ||x+y||2=||x||2+||y||2+ 2(x|y)
• ||x−y||2=||x||2+||y||2−2(x|y)
•identités de polarisation : (x|y) = frac12 ||x+y||2− ||x||2− ||y||2=1
4(||x+y||2− ||x−y||2)
•identité du parallélogramme : ||x+y||2+||x−y||2= 2(||x||2+||y||2)
Les deux premières ne sont autre que les identités remarquables qu’on connaît déjà dans Cpour +et ·.
La troisième relation permet de retrouver le produit scalaire à partir de la norme (voir l’exercice ). On
l’appelle « égalité de polarisation ».
3

Enfin la dernière s’interpète géométriquement : dans le parallèlogramme de côtés xet y,x+yet x−y
sont les diagonales.
1.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz, conséquences
Proposition 1.3. (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Pour tout (x, y)∈E2,
(x|y)6||x||.||y||
De plus, l’égalité se produit si et seulement si xet ysont colinéaires :
∀(x, y)∈E2,|(x|y)|=||x||.||y|| ⇔ (x, y)est liée .
Voici la même inégalité sans les valeurs absolues :
−||x||.||y|| 6(x|y)6||x||.||y||.
Et on peut préciser les cas d’égalité :
((x|y) = ||x||.||y|| ⇔ ∃λ∈R+tq x=λ.y
(x|y) = −||x||.||y|| ⇔ ∃λ∈R−tq x=λ.y
Remarque : Puisque la fonction x7→ x2est croissante sur R+, l’inégalité de Cauchy-Schwarz équivaut à :
∀(x, y)∈E2,(x|y)26(x|x).(y|y)
N.B. Cette relation est souvent utile en théorie de l’intégration. Dans le cas où E=C(I, R), avec le produit
scalaire défini par ∀(f, g)∈E2,(f|g) = RIf g, l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient :
∀(f, g)∈ C(I, R), ZI f.g!2 6ZI f2.ZI g2
De manière générale, dès qu’on veut prouver une inégalité faisant intervenir des carrés, il est bon de se
demander s’il y a un produit scalaire dans les parages.
cf exercice: 10
Proposition 1.4. (propriétés de la norme)
Soit Eun R-ev, (.|.)un produit scalaire sur E,||.|| la norme associée.
1. ||.|| est une fonction de Edans R+.
2. (homogénéité) ∀λ∈R,∀x∈E,||λ.x|| =|λ|.||x||.
3. (séparation) ∀x∈E,||x|| = 0 ⇔x= 0
4. (inégalité triangulaire) ∀(x, y)∈E2,||x+y|| 6||x|| +||y||.
2 Orthogonalité
2.1 Orthogonalité de deux vecteurs
Définition 2.1. Soient (x, y)∈E2. On dit que xet ysont orthogonaux lorsque (x|y)=0.
Remarques :
4

•La relation « être orthogonal » sur l’ensemble Eest symétrique.
•Soient xet ydeux vecteurs orthogonaux. Alors pour tout (λ, µ)∈R2,λ.x et µ.y sont orthogonaux.
•Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.
(Ces remarques sont la conséquence du fait que (.|.)est une forme bilinéaire symétrique.)
Proposition 2.2. (théorème de Pytagore)
Soient (x, y)∈E2. Alors :
x⊥y⇔ ||x+y||2=||x||2+||y||2
2.2 Familles orthogonales, normées, orthonormales
Définition 2.3. (Famille orthogonale/orthonormale) Soit n∈Net F= (e1, ..., en)∈Enune famille de n
vecteurs.
1. On dit que Fest une famille orthogonale lorsque ∀(i, j)∈J1, nK2tel que i6=j,(ei|ej)=0.
2. On dit que Fest normée si tous ses vecteurs sont unitaires, i.e. ∀i∈J1, nK,||ei|| = 1.
3. On dit que Fest orthonormale si elle est orthogonale et normée.
Proposition 2.4. (Pythagore)
Soit n∈Net F= (e1, ..., en)∈Enune famille de nvecteurs. On suppose Forthogonale. Alors :
||
n
X
i=1
ei||2=
n
X
i=1 ||ei||2.
Remarques :
•Si Fest orthonormale, on obtient ||Pn
i=1 ei|| =√n. C’est la longueur de la diagonale d’un cube de
côté 1 dans Rn.
Proposition 2.5.
(i) Une famille orthogonale ne contenant aucun vecteur nul est libre.
(ii) Une famille orthonormale est libre.
2.3 Bases orthonormées
Définition 2.6. Soit B= (e1, ..., en)une base de E. On dit que Best :
1. une base orthogonale si c’est de plus une famille orthogonale (i.e. ∀(i, j)∈J1, nK,(ei|ej)=0).
2. une base orthonormale si c’est de plus une famille orthonormée (i.e. elle est orthogonale et pour tout
i∈J1, nK,||ei|| = 1).
Remarque : Partant d’une base orthogonale, on peut facilement obtenir une base orthonormale : Si B=
(e1, ..., en)est une base orthogonale, alors B0:= ( e1
||e1||, ..., en ||en||)est une base orthonormale. (Pour tout
i∈J1, nK,||ei|| 6= 0 puisque ei6= 0E).
On verra plus loin comment obtenir une BON en partant d’une base quelconque.
Une base orthonormale est particulièrement pratique pour déterminer les coordonnées d’un vecteur :
Proposition 2.7. (Coordonnées dans une base orthonormale)
Soit (s’il en existe) B= (e1, ..., en)une BON de E. Alors pour tout x∈E, on a :
x=
n
X
i=1
(x|ei).ei
autrement dit, pour tout i∈J1, nK, la i◦coordonnées de xdans Best (x|ei).
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