Chapitre 13 : Application du produit scalaire

Première S
Chapitre 13 : Application du produit scalaire
La notion de produit scalaire est très utile dans de nombreux domaine. Dans ce chapitre, on
va s’intéresser aux applications du produit scalaire.
I.
Autres expressions du produit scalaire
Définition : Produit scalaire et norme
𝑥
𝑥′
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs 𝑢
⃗ (𝑦) et 𝑣 ( ).
𝑦′
1
2
2
2
On rappelle que si on a deux 𝑢
⃗ et 𝑣 alors 𝑢
⃗ ∙ 𝑣 = 2 (||𝑢
⃗ || + ||𝑣|| − ||𝑢
⃗ − 𝑣 || )
On rappelle que deux vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 sont orthogonaux si et seulement si 𝑢
⃗ ∙ 𝑣 = 0.
Propriété : Expression avec le projété orthogonal
Soit 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points du plan avec 𝐴 ≠ 𝐵 et 𝐴 ≠ 𝐶.
Si 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐶 sur la droite (𝐴𝐵), alors :
Si 𝐻 appartient à la demi-droite [𝐴𝐵) alors
Si 𝐻 n’appartient pas à la demi-droite [𝐴𝐵) alors
On appelle le projeté orthogonal de 𝐶 sur (𝐴𝐵), le point d’intersection de (𝐴𝐵) et de la
perpendiculaire à (𝐴𝐵) passant par 𝐶.
On peut en déduire que si 𝐴 ≠ 𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶′𝐷′ où 𝐶′et 𝐷′ sont des
projetés orhogonaux de 𝐶 et 𝐷 sur (𝐴𝐵).
On dit que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶′𝐷′ est le projeté orthogonale de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 sur (𝐴𝐵)
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Chapitre 13 : Application du produit scalaire
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Démonstration :
Propriété : Expression avec la norme et cosinus
Si 𝑢
⃗ et 𝑣 sont deux vecteurs non-nuls alors.
Si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont trois points distincts alors
⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
(Il suffit de prendre 𝑢
⃗ = 𝐴𝐵
̂ = 30°
Exemple : Soient trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 tels que 𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐶 = 5 et 𝐵𝐴𝐶
Démonstration :
Propriété :
Quels que soient les réels 𝑎 et 𝑏,
1.
2.
3.
4.
2
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Démonstration :
Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, on adopte des notations allégées pour désigner les angles
et les longueurs des côtés :
̂,
̂,
̂.
𝑎 = 𝐵𝐶,
𝑏 = 𝐶𝐴,
𝑐 = 𝐴𝐵,
𝐴̂ = 𝐵𝐴𝐶
𝐵̂ = 𝐶𝐵𝐴
𝐶̂ = 𝐴𝐶𝐵
« Résoudre un triangle », c’est déterminer tous les côtés et les angles d’un triangle.
Propriété : Formule d’Al-Kashi
Pour tout triangle 𝐴𝐵𝐶,
Remarque : Il existe d’autres formules célèbres liant angles, côtés et aires 𝑆 d’un triangle 𝐴𝐵𝐶.
1
1
1
𝑆 = 𝑏𝑐 sin(𝐴̂) = 𝑐𝑎 sin(𝐵̂ ) = 𝑎𝑏 sin(𝐶̂ )
2
2
2
D’où la formule des sinus :
sin(𝐴̂)
𝑎
=
sin(𝐵̂)
𝑏
=
sin(𝐶̂ )
𝑐
Démonstration :
3
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II.
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Application : équations de droites et de cercles
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Définition : Vecteur normal
Propriété :
Soit 𝑎, 𝑏 et 𝑐 des réels avec (𝑎; 𝑏) ≠ (0; 0).
- La droite d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 a pour vecteur normal
- Toute droite de vecteur normal 𝑛⃗(𝑎𝑏) admet une équation de la forme
Remarque : Il ne faut pas confondre vecteur normal et vecteur directeur.
En effet, une droite d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 admet pout vecteur directeur 𝑣(−𝑏
)
𝑎
Exemple : 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 est une équation d’une droite de vecteur normal.
Démonstration :
Propriété :
Soit Γ le cercle de centre Ω(𝑎; 𝑏) et de rayon 𝑟 > 0.
Exemple : (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9
Démonstration :
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Propriété :
On peut choisir une équation d’un cercle de diamètre [𝐴𝐵] sans chercher son centre et son rayon.
Démonstration :
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