géométrie différentielle

El´ements de
g´eom´etrie
diff´erentielle
pour la m´ecanique analytique et la gravitation
Version p´eliminaire, ne pas diffuser.
Ph. Spindel
M´ecanique & gravitation
Universit´e de Mons-Hainaut

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Contents
I El´ements de g´eom´etrie diff´erentielle 5
1 Vari´et´es diff´erentiables 7
1.1 Rappels et d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Vari´et´es diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Vecteurs tangents, espaces vectoriels tangents . . . . . . . . . 14
1.4 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Diff´erentielle (Push-forward) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 CrochetdeLie .......................... 19
1.7 Covecteurs et champs de covecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Tenseurs quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Produit int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Calcul diff´erentiel ext´erieur 25
2.1 Formes diff´erentielles ext´erieures, alg`ebre ext´erieure . . . . . . 25
2.2 Pull-back ............................. 26
2.3 Diff´erentiation ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Th´eor`eme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Th´eor`eme de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Int´egration des formes diff´erentielles 41
3

4CONTENTS
3.1 Int´egration sur les vari´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Groupes `a 1 param`etre de transformations 51
4.1 D´eriv´eedeLie........................... 51
II Formulation g´eom´etrique de la m´ecanique hamil-
tonienne 59
5 Vari´et´es symplectiques 61
5.1 D´efinitions............................. 61
5.2 Un exemple : le fibr´e cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Th´eor`eme de Darboux (suivant Moser) . . . . . . . . . . . . . 62

Part I
El´ements de g´eom´etrie
diff´erentielle
5