LES POLYNOMES

Chapitre 3
LES POLYNOMES
3.1 Les objectifs
Le but de ce chapitre est d’apprendre `a
•effectuer des op´erations dans l’ensemble des polynˆomes,
•utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynˆomes, dans la simplification des fractions
rationnelles et dans la r´esolution d’´equations,
•utiliser la m´ethode des coefficients ind´etermin´es lors de la r´esolution de certaines applications.
3.2 Vocabulaire(Rappels)
3.2.1 Monˆomes
Monˆomes `a une variable1
La forme g´en´erale d’un monˆome est axmo`u 
aest un coefficient r´eel (a∈IR);
xest la variable;
mest un naturel (m∈IN).
Par exemples,
4x3
−2x2
1
2x
3x0
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sont des monˆomes.
On appelle valeur num´erique d’un monˆome la valeur que celui-ci prend lorsque l’on attribue `a sa
variable xune valeur r´eelle.
Par exemple, la valeur num´erique du monˆome −3x3pour x= 2 est −3.23=−24.
Monˆomes `a plusieurs variables
Par exemple, −5x3yz2est un monˆome `a plusieurs variables o`u 
−5 est le coefficient,
x3yz2est la partie litt´erale de ce monˆome.
Ce monˆome est de degr´e 3 en x, de degr´e 1 en yet de degr´e 2 en z.
Le monˆome est de degr´e 6 (= 3 + 1 + 2 = la somme des degr´es des variables)
1variable = inconnue = ind´etermin´ee
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Monˆomes semblables
Par exemple, 5a2b3cet −7a2b3csont des monˆomes semblables.
Des monˆomes semblables ont la mˆeme partie litt´erale et le mˆeme degr´e par rapport `a chacune d’elles.
3.2.2 Polynˆomes
D´efinition - Vocabulaire
Un polynˆome est une somme de monˆomes.
Par exemple,
p(x) = 5x4
| {z }
terme de degr´e 4−2x3
| {z }
terme de degr´e 3
+ 7x2
| {z }
terme de degr´e 2
+ 1
| {z }
terme ind´ependant
est un polynˆome.
On appelle degr´e d’un polynˆome le plus grand exposant de la variable (ici x) d’un des termes non
nuls de ce polynˆome.
Dans l’exemple pr´ec´edent, on constate que le degr´e du polynˆome est 4.
Toujours dans cet exemple, on constate que ce polynˆome est ordonn´e et incomplet.
Il est toujours possible de compl´eter un polynˆome incomplet en donnant au(x) terme(s) manquant(s)
le coefficient 0:
p(x) = 5x4−2x3+ 7x2+ 0x+ 1.
On appelle valeur num´erique d’un polynˆome la valeur que celui-ci prend lorsque l’on attribue `a sa vari-
able xune valeur r´eelle.
Par exemple, la valeur num´erique du polynˆome p(x) pour x=−2 est
p(−2) = ···
Notons R(x) l’ensemble de tous les polynˆomes en x`a coefficients r´eels.
Egalit´e de polynˆomes
Soient les polynˆomes de R(x)½P(x) = anxn+an−1xn−1+··· +a1x1+a0
K(x) = bnxn+bn−1xn−1+··· +b1x1+b0.
Nous dirons que ces deux polynˆomes sont ´egaux si, quelque soit la valeur que l’on attribue `a x, ils
ont `a chaque fois la mˆeme valeur num´erique, c-`a-d.
P(x) = K(x)⇐⇒ ∀r∈IR : P(r) = K(r)
Une ´egalit´e entre deux polynˆomes de degr´e nest ´equivalente `a n´egalit´es entre les coefficients des
termes de mˆeme degr´e de ces polynˆomes. Math´ematiquement,
P(x) = Q(x)⇐⇒
an=bn
an−1=bn−1
.
.
.
a1=b1
a0=b0
Exercices
1. Calculer la valeur num´erique de chacun des polynˆomes suivants pour les nombres indiqu´es.
a)3x3−5x2+ 2x+ 5 pour x= 1 et x=−2
b)x4+x3−x2−x+ 1 pour x=−1 et x=−3
c)4x5−5x3+ 6xpour x=−2 et x= 3
d)16x5−32x4+ 8x2+ 1 pour x=−0,5 et x=−1,5

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2. Calculer le nombre r´eel ade telle mani`ere que la valeur num´erique de 4x2−(2a−1)x+ 3apour
x= 3 soit 2.
3. Quelle valeur faut-il attribuer `a apour que la valeur num´erique de (a+ 1)x3+ 4x2+ (a−1)x+ 3
soit 4 lorsque xvaut −√3.
4. Calculer les nombres r´eels aet bsachant que les valeurs num´eriques du polynˆome
ax2−bx −2
pour x= 1 et pour x=−1 sont respectivement −3 et 3.
5. D´eterminer une condition entre aet bde telle mani`ere que deux nombres oppos´es aient des images
oppos´ees par la fonction d´etermin´ee par
f(x) = (a+b)x+a−b.
6. D´eterminer le r´eel ade telle mani`ere que deux nombres oppos´es ont la mˆeme image par la fonction
d´etermin´ee par
f(x) = (a+ 2)x2+ (a+ 1)x+a.
7. Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres a,bet csachant que les polynˆomes A(x) et
B(x) sont ´egaux.
(a) •A(x) = ax2+ (b−3)x+ 2c−1
•B(x) = x2−5x+ 7
(b) •A(x) = 3x2+ (2b−1)7x
•B(x) = (a−3)x2+cx +b
(c) •A(x) = (a+b+c)x2+ (a+b)x+a
•B(x) = 7x2−2x+ 4
(d) •A(x) = (a+ 3b)x2+ (a−3b)x+ 4
•B(x) = 7x2−5x+c
(e) •A(x) = (a+b)x2+c−3a
•B(x) = (a−b)x2+ (a−2)x−9
(f) •A(x) = (2a−b)x2+ (a−2b+ 1)x+a+b+c
•B(x) = 0
(g) •A(x) = 3x+ 2
•B(x) = ax +b(x+ 1)
(h) •A(x) = 2x2+ 3x−5
•B(x) = ax2+b(x2+x) + c(x2+x+ 1)
(i) •A(x) = 2x2+ 3x−5
•B(x) = a(x2+x+ 1) + b(x+ 1) + c
3.3 Addition et soustraction de polynˆomes
D´efinition 3.1
Soient P(x) et Q(x) deux polynˆomes de R(x).
L’addition de ces deux polynˆomes nous donne le polynˆome-somme d´efini par2
(P+Q)(x) = P(x) + Q(x)∀x∈IR
2En fran¸cais et en abr´eg´e, la valeur num´erique du polynˆome-somme = la somme des valeurs num´eriques

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Exemple3
A(x)=4x3−5x2+ 7x−2
B(x) = x2−5x+ 3
A(x) + B(x)=4x3−4x2+ 2x+ 1
Propri´et´e 3.2
L’ensemble R(x) des polynˆomes `a coefficients r´eels en xmuni de l’addition est un groupe commutatif.
Math´ematiquement,
(R(x),+) est un groupe commutatif.
D´ emonstration. A faire...
Cons´equence
Pour soustraire un polynˆome en x, il suffit d’ajouter son oppos´e, c’est-`a-dire le polynˆome obtenu
en changeant le signe de tous les termes du polynˆome donn´e.
Exercice 3.3
Effectuer et donner le degr´e du r´esultat dans chaque cas.
1. (12x2+ 13x−25) −(13x2+ 27x)−(25x3+ 23x2−7)
2. (ax2−3ax3)−(−ax2−2a) + (2x2−2ax + 3a)
Exercice 3.4
A(x) est un polynˆome de degr´e 3 et B(x) est un polynˆome de degr´e 4.
1. La somme de ces polynˆomes peut-elle ˆetre un polynˆome
(a) de degr´e 5,
(b) de degr´e 4,
(c) de degr´e 3,
(d) de degr´e 2?
2. Mˆeme question pour la diff´erence de ces polynˆomes.
Exercice 3.5
A(x) est un polynˆome de degr´e 3 et B(x) est un polynˆome de degr´e 3.
1. La somme de ces polynˆomes peut-elle ˆetre un polynˆome
(a) de degr´e 4,
(b) de degr´e 3,
(c) de degr´e 2,
(d) de degr´e 0?
2. Mˆeme question pour la diff´erence de ces polynˆomes.
Nous admettons la propri´et´e suivante.
3Il suffit d’additionner les coefficients des termes semblables!

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Propri´et´e 3.6
Le degr´e de la somme ou de la diff´erence de polynˆomes en xest au plus ´egal au degr´e du polynˆome qui
a le plus haut degr´e.
Exercice 3.7
Vrai ou faux ? Justifier
1. ∀P(x)∈ R(x) : −P(x) = P(−x)
2. ∃P(x)∈ R(x) : −P(x) = P(−x)
3.4 Multiplication des polynˆomes
D´efinition 3.8
Soient les polynˆomes P(x) et Q(x) de R(x).
La multiplication de ces deux polynˆomes nous donne le polynˆome-produit d´efini par
(P.Q)(x) = P(x). Q(x)∀x∈IR
Exemple
A(x) = 3x2−2x+ 7
B(x) = −5x+ 6
A(x).B(x) = −15x3+ 28x2−47x+ 42
Exercice 3.9
Effectuer les produits suivants et donner le degr´e du r´esultat dans chaque cas.
1. (x2
3−5x3+1 6x)(3 2x2−5x−7)
2. (2x−3)(3x+ 4)(x2−1)
Exercice 3.10
A(x) est un polynˆome de degr´e 3 et B(x) est un polynˆome de degr´e 4.
Le produit de ces polynˆomes peut-il ˆetre un polynˆome
1. de degr´e 12,
2. de degr´e 8,
3. de degr´e 7,
4. de degr´e 6?
Nous admettons la propri´et´e suivante.
Propri´et´e 3.11
Le degr´e du produit de deux polynˆomes est la somme des degr´es des polynˆomes donn´es.
Remarques 3.12
•Le terme de plus haut degr´e du produit est le produit des termes de plus haut degr´e des facteurs.
•Le terme ind´ependant, s’il existe, est le produit des termes ind´ependants, s’ils existent.