LES POLYNOMES

Chapitre 3
LES POLYNOMES
3.1
Les objectifs
Le but de ce chapitre est d’apprendre à
• effectuer des opérations dans l’ensemble des polynômes,
• utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynômes, dans la simplification des fractions
rationnelles et dans la résolution d’équations,
• utiliser la méthode des coefficients indéterminés lors de la résolution de certaines applications.
3.2
3.2.1
Vocabulaire(Rappels)
Monômes
Monômes à une variable1
La forme générale d’un monôme est axm

4x3




 −2x2
1
Par exemples,
2x

0

3x



81












 a est un coefficient réel (a ∈ IR);
x
est la variable;
où

m est un naturel (m ∈ IN).
sont des monômes.
On appelle valeur numérique d’un monôme la valeur que celui-ci prend lorsque l’on attribue à sa
variable x une valeur réelle.
Par exemple, la valeur numérique du monôme −3x3 pour x = 2 est −3 . 23 = −24 .
Monômes à plusieurs variables
Par exemple, −5x3 yz 2 est un monôme à plusieurs variables où

 −5 est le coefficient,

x3 yz 2 est la partie littérale de ce monôme.
Ce monôme est de degré 3 en x , de degré 1 en y et de degré 2 en z .
Le monôme est de degré 6 ( = 3 + 1 + 2 = la somme des degrés des variables)
1 variable
= inconnue = indéterminée
27
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
28
Monômes semblables
Par exemple, 5a2 b3 c et −7a2 b3 c sont des monômes semblables.
Des monômes semblables ont la même partie littérale et le même degré par rapport à chacune d’elles.
3.2.2
Polynômes
Définition - Vocabulaire
Un polynôme est une somme de monômes.
Par exemple,
4
−2x3
p(x) = |
5x
{z
}|
{z
terme de degré
4
terme de degré
}
+|
3
2
7x
{z
}+ |
terme de degré
2
1
{z
}
terme indépendant
est un polynôme.
On appelle degré d’un polynôme le plus grand exposant de la variable (ici x) d’un des termes non
nuls de ce polynôme.
Dans l’exemple précédent, on constate que le degré du polynôme est 4 .
Toujours dans cet exemple, on constate que ce polynôme est ordonné et incomplet.
Il est toujours possible de compléter un polynôme incomplet en donnant au(x) terme(s) manquant(s)
le coefficient 0 :
p(x) = 5x4 − 2x3 + 7x2 + 0x + 1.
On appelle valeur numérique d’un polynôme la valeur que celui-ci prend lorsque l’on attribue à sa variable x une valeur réelle.
Par exemple, la valeur numérique du polynôme p(x) pour x = −2 est
p(−2) = · · ·
Notons R(x) l’ensemble de tous les polynômes en x à coefficients réels.
Egalité de polynômes
½
Soient les polynômes de R(x)
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x1 + a0
.
K(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x1 + b0
Nous dirons que ces deux polynômes sont égaux si, quelque soit la valeur que l’on attribue à x , ils
ont à chaque fois la même valeur numérique, c-à-d.
P (x) = K(x) ⇐⇒ ∀r ∈ IR : P (r) = K(r)
Une égalité entre deux polynômes de degré n est équivalente
termes de même degré de ces polynômes. Mathématiquement,

an
=




a
=

n−1

..
P (x) = Q(x) ⇐⇒
.



a
=


 1
a0
=
à n égalités entre les coefficients des
bn
bn−1
b1
b0
Exercices
1. Calculer la valeur numérique de chacun des polynômes suivants pour les nombres indiqués.
a)3x3 − 5x2 + 2x + 5
pour
b)x4 + x3 − x2 − x + 1
pour
c)4x5 − 5x3 + 6x
pour
d)16x5 − 32x4 + 8x2 + 1 pour
x=1
x = −1
x = −2
x = −0, 5
et
et
et
et
x = −2
x = −3
x=3
x = −1, 5
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
29
2. Calculer le nombre réel a de telle manière que la valeur numérique de 4x2 − (2a − 1)x + 3a pour
x = 3 soit 2.
3. Quelle valeur faut-il attribuer
à a pour que la valeur numérique de (a + 1)x3 + 4x2 + (a − 1)x + 3
√
soit 4 lorsque x vaut − 3.
4. Calculer les nombres réels a et b sachant que les valeurs numériques du polynôme
ax2 − bx − 2
pour x = 1 et pour x = −1 sont respectivement −3 et 3.
5. Déterminer une condition entre a et b de telle manière que deux nombres opposés aient des images
opposées par la fonction déterminée par
f (x) = (a + b)x + a − b.
6. Déterminer le réel a de telle manière que deux nombres opposés ont la même image par la fonction
déterminée par
f (x) = (a + 2)x2 + (a + 1)x + a.
7. Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres a, b et c sachant que les polynômes A(x) et
B(x) sont égaux.
3.3
(a)
• A(x) = ax2 + (b − 3)x + 2c − 1
• B(x) = x2 − 5x + 7
(b)
• A(x) = 3x2 + (2b − 1)7x
• B(x) = (a − 3)x2 + cx + b
(c)
• A(x) = (a + b + c)x2 + (a + b)x + a
• B(x) = 7x2 − 2x + 4
(d)
• A(x) = (a + 3b)x2 + (a − 3b)x + 4
• B(x) = 7x2 − 5x + c
(e)
• A(x) = (a + b)x2 + c − 3a
• B(x) = (a − b)x2 + (a − 2)x − 9
(f)
• A(x) = (2a − b)x2 + (a − 2b + 1)x + a + b + c
• B(x) = 0
(g)
• A(x) = 3x + 2
• B(x) = ax + b(x + 1)
(h)
• A(x) = 2x2 + 3x − 5
• B(x) = ax2 + b(x2 + x) + c(x2 + x + 1)
(i)
• A(x) = 2x2 + 3x − 5
• B(x) = a(x2 + x + 1) + b(x + 1) + c
Addition et soustraction de polynômes
Définition 3.1
Soient P (x) et Q(x) deux polynômes de R(x) .
L’addition de ces deux polynômes nous donne le polynôme-somme défini par2
(P + Q)(x) = P (x) + Q(x)
2 En
∀ x ∈ IR
français et en abrégé, la valeur numérique du polynôme-somme = la somme des valeurs numériques
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
30
Exemple3
A(x)
B(x)
A(x) + B(x)
=
=
=
4x3
−
4x3
−
5x2
x2
4x2
+ 7x − 2
− 5x + 3
+ 2x + 1
Propriété 3.2
L’ensemble R(x) des polynômes à coefficients réels en x muni de l’addition est un groupe commutatif.
Mathématiquement,
(R(x), +) est un groupe commutatif.
Démonstration. A faire...
Conséquence
Pour soustraire un polynôme en x, il suffit d’ajouter son opposé, c’est-à-dire le polynôme obtenu
en changeant le signe de tous les termes du polynôme donné.
Exercice 3.3
Effectuer et donner le degré du résultat dans chaque cas.
1. (12x2 + 13x − 25) − (13x2 + 27x) − (25x3 + 23x2 − 7)
2. (ax2 − 3ax3 ) − (−ax2 − 2a) + (2x2 − 2ax + 3a)
Exercice 3.4
A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré 4 .
1. La somme de ces polynômes peut-elle être un polynôme
(a) de degré 5 ,
(b) de degré 4 ,
(c) de degré 3,
(d) de degré 2 ?
2. Même question pour la différence de ces polynômes.
Exercice 3.5
A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré 3 .
1. La somme de ces polynômes peut-elle être un polynôme
(a) de degré 4 ,
(b) de degré 3 ,
(c) de degré 2,
(d) de degré 0 ?
2. Même question pour la différence de ces polynômes.
Nous admettons la propriété suivante.
3 Il
suffit d’additionner les coefficients des termes semblables!
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
31
Propriété 3.6
Le degré de la somme ou de la différence de polynômes en x est au plus égal au degré du polynôme qui
a le plus haut degré.
Exercice 3.7
Vrai ou faux ? Justifier
1. ∀ P (x) ∈ R(x) : −P (x) = P (−x)
2. ∃ P (x) ∈ R(x) : −P (x) = P (−x)
3.4
Multiplication des polynômes
Définition 3.8
Soient les polynômes P (x) et Q(x) de R(x) .
La multiplication de ces deux polynômes nous donne le polynôme-produit défini par
(P.Q)(x) = P (x) . Q(x)
∀ x ∈ IR
Exemple
A(x) =
B(x) =
A(x).B(x) =
3x2 − 2x + 7
−5x + 6
−15x3 + 28x2 − 47x + 42
Exercice 3.9
Effectuer les produits suivants et donner le degré du résultat dans chaque cas.
2
1. ( x3 − 5x3 + 16 x)( 32 x2 − 5x − 7)
2. (2x − 3)(3x + 4)(x2 − 1)
Exercice 3.10
A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré 4 .
Le produit de ces polynômes peut-il être un polynôme
1. de degré 12 ,
2. de degré 8 ,
3. de degré 7 ,
4. de degré 6 ?
Nous admettons la propriété suivante.
Propriété 3.11
Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés des polynômes donnés.
Remarques 3.12
• Le terme de plus haut degré du produit est le produit des termes de plus haut degré des facteurs.
• Le terme indépendant, s’il existe, est le produit des termes indépendants, s’ils existent.
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
3.5
32
Division des polynômes
3.5.1
Division d’un monôme par un monôme
Exemples
1.
6x5
2x3
2.
15x3
−5x3
3.
8x3
4x5
3.5.2
= ···
= ···
= ···
Division d’un polynôme par un monôme
Exemples
1.
2x4 −6x3 +8x2
−2x
2.
2 3
3 2
1
3x −5x +4x
3
x
4
3.5.3
= ···
= ···
Division d’un polynôme par un polynôme
Rappel: division de 2 nombres
Divisons 3658 par 3:
Division de 2 polynômes
Divisons le polynôme p(x) = 6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x − 2) (dividende) par le polynôme d(x) = x2 + 2
(diviseur).
On obtient
DIVIDENDE
DIVISEUR
6x4
−2x3
−(6x4
+ 9x2
−2x
x2 + 2
−2
+12x2 )
−2x3
−3x2
−(−2x3
6x2 − 2x − 3
−2x
−2
QUOTIENT
−4x)
−(−3x2
−6)
2x
+4
RESTE
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
33
Conclusions
1. 6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x − 2 = (x2 + 2)(6x2 − 2x − 3) + (2x + 4) ;
2.
6x4 −2x3 +9x2 −2x−2
x2 +2
= (6x2 − 2x − 3) +
2x+4
x2 +2
.
Définitions
Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le polynôme B(x), c’est déterminer
les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que
½
A(x) = B(x).Q(x) + R(x)
degré R(x) < degré B(x).
Le polynôme A(x) est appelé dividende;
le polynôme B(x) est appelé diviseur.
Disposition pratique
Pour diviser un polynôme A(x) par un polynôme B(x) ,
• on réduit et on ordonne les polynômes;
• on complète éventuellement le polynôme A(x) ;
• on effectue la division comme en calcul écrit et on arrête lorsque le reste a un degré inférieur à
celui de B(x) .
Exercices
1. Effectuer les divisions
(a)
3x4 −6x3 +5x2
x2
(c)
3x5 y+x4 y 2 −6x3 y 3
−xy
(e)
−2xp y p z−3xp+1 y p+1 z p+1
xp−1 y p−2
(b)
6x7 +x4 −x3
2x2
(d)
6x3 y 3 z 3 −x2 y 4 +3x3 y 5
−3x2 y 2
(f)
x3n y 3p z 3q +2xn y 2p z 3q
5xn y p z q−1
2. Effectuer les divisions
(a)
6x5 +2x3 +3x2
x2 −x
(c)
−x6 +2x5 +x4 −2x3
−2x2 +x
(e)
5x5 −2x3 +x2
4x2 −5x+6
(b)
−2x7 +3x6 −5x5 +3x4
x3 +1
(d)
3x4 −x3 +x2
2x2 −3x+1
(f)
x9 −x6 +x3
x3 −x−5
3. Démontrez la propriété suivante:“Lors de la division du polynôme A(x) par le polynôme B(x),
le degré de A(x) est égal à la somme des degrés de B(x) et du quotient Q(x) ”.
3.5.4
Division d’un polynôme en x par (x − a)
Introduction
Dans le cas où le diviseur est un polynôme de la forme x − a, on peut reformuler ce qui a été dit
en général.
Définition
Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le binôme (x − a), c’est déterminer les
polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que
½
A(x) = (x − a).Q(x) + R(x)
R(x) est constant. On note alors le reste par r.
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
34
Vocabulaire
Le polynôme A(x) est divisible par x − a lorsque le reste de la division est égal à 0 , c’est-àdire lorsque A(x) = (x − a).Q(x).
Le polynôme A(x) se factorise alors en produit de (x − a) et du quotient.
Exemple
Le polynôme x4 − 5x3 + 3x2 + 9x − 6 est divisible par x − 2 puisque x4 − 5x3 + 3x2 + 9x − 6 = (x −
2)(X 3 − 3x2 − 3x + 3).
Exemple introductif
Soit à diviser p(x) = −5x3 + 2x4 + x + 1 par x − 2 (rem. : a = 2 ).
2x4 − 5x3 + 0x2 + x + 1
x−2
————
Disposition pratique : la grille de HORNER
Cette règle est une disposition simplifiée de la méthode des coefficients indéterminés.
Les coefficients du dividende
z
La valeur de a
←− 2
2
|
↓
2
|
}|
−5
+
4
−1
0
+
−2
−2
{z
{
1
+
−4
−3
}
Les coefficients du quotient
1
+
−6
−5
| {z }
Le reste
On obtient
Q(x) = · · ·
Le degré du quotient est le degré du dividende diminué de 1.
Loi du reste
Reprenons l’exemple et remarquons que P (2) = · · ·
Le reste de la division d’un polynôme en x par x − a est égal à la valeur numérique du
polynôme pour x = a.
En effet, par la division euclidienne on a obtenu
P (x) = (x − a)Q(x) + r
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
35
Mais alors, en particulier, si x = a :
P (a) = (a − a)Q(a) + r
= 0 Q(a) + r
= r
Conséquence
Le polynôme P (x) est divisible par (x − a)
⇐⇒
P (a) = 0
Application
Soit à factoriser le polynôme P (x) = x2 + x − 2.
Les diviseurs entiers du terme indépendant sont : ...

P (1) = · · ·
⇒



P (−1) = · · ·
⇒
Calculons
P
(2)
=
·
·
·
⇒



P (−2) = · · ·
⇒
On a donc P (x) = · · ·
Exercices
1. Calculer le quotient et le reste de la division de A(x) par B(x) dans chaque cas
1 A(x) = x2 + 5x + 6
B(x) = x + 2
2 A(x) = 3x3 − 8x2 + 7x − 2
B(x) = 3x − 2
3 A(x) = −8x4 − 2x3 − x2 + 5x + 6
B(x) = 4x + 3
4 A(x) = −8x4 − 23x + 15x5 + 6 + 22x2
B(x) = 3 − 4x − 5x2
5 A(x) = x3 + 6x2 + 3x − 7
B(x) = x + 2
6 A(x) = −2x3 + 3x2 + 5x − 4
B(x) = x2 − 1
7 A(x) = x − x3 − 1 − 2x2
B(x) = 4 + 2x
8 A(x) = 4x2 − x3 + 7 + 2x5 − 6x
B(x) = 4 − 3x − 2x3
9 A(x) = x5 − x7 + 3 − 6x + 5x2 + 2x4 + 7x3
B(x) = 3x − x3 + 2
10 A(x) = x3 + 3x2 − 7x + 3
B(x) = x − 1
11 A(x) = 6 − 4x + x3
B(x) = x + 3
12 A(x) = 5x2 − 2x3 − 3 + 4x
B(x) = x − 3
13 A(x) = 2x3 − 4x − 5 − x2
B(x) = x + 1
14 A(x) = 6x5 − 3x4 − 2x + 6 − 10x2
B(x) = −2 + 3x2
15 A(x) = 0, 4x2 − 0, 05x − 4
B(x) = 0, 8x − 2, 5
Q(x) = x + 3
R(x) = 0
Q(x) = x2 − 2x + 1
R(x) = 0
Q(x) = −2x3 + x2 − x + 2
R(x) = 0
Q(x) = −3x3 + 4x2 − 5x + 2
R(x) = 0
Q(x) = x2 + 4x − 5
R(x) = 3
Q(x) = −2x + 3
R(x) = 3x − 1
Q(x) = − 21 x2 + 12
R(x) = −3
Q(x) = −x2 + 2
R(x) = 8x2 − 1
Q(x) = x4 + 2x2 − 1
R(x) = x2 − 3x + 5
Q(x) = x2 + 4x − 3
R(x) = 0
Q(x) = x2 − 3x + 5
R(x) = −9
Q(x) = −2x2 − x + 1
R(x) = 0
Q(x) = 2x2 − 3x − 1
R(x) = −4
Q(x) = 2x3 − x2 + 43 x − 4
R(x) = 32 x − 2
Q(x) = 0, 5x + 1, 5
R(x) = −0, 25
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
36
17 3
20 2
11
5
4
16 A(x) = −x6 + 19
6 x −5x + 12 x − 9 x + 3 x−1
2 2
B(x) = − 3 x + 2x − 3
17 A(x) = 6x4m − x3m − 82x2m + 81xm + 36
B(x) = 2xm − 3
Q(x) = 23 x4 − 14 x3 − x +
R(x) = 0
Q(x) =
R(x) = 0
1
3
2. La division suivante se fait exactement. Déterminer le quotient après avoir ordonné le dividende
et le diviseur selon les puissances décroissantes d’une même variable. (Il y a donc deux calculs à
faire)
(4x4 − x2 y 2 + 6xy 3 − 9y 4 ) : (3y 2 − xy + 2x2 )
3. Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste.
(a)
x3 +x2 +x−3
x+2
(d)
x2 +2x+3x4 −2
x+1
(g)
(b)
2a3 +a2 −9a+3
a−2
(e)
6x3 −x+x2 − 12
x− 12
(h)
(c)
x4 −1
x+2
(f)
1−4x+3x3 +6x4
x+ 12
(i)
x4 −2x3 y+x2 y 2 −2xy 3
x−2y
x3 +(a−b)x2 −2a2 x−2ab(a+b)
x−a−b
√
√
2
3
3x3 +a 3x2 −9a
√ x−3a 3
x−a 3
4. Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste (n ∈ IN).
(a)
x2 −a2
x−a
(d)
x5 +a5
x−a
(g)
x3 +1
x+1
(j)
x3 −a3
x+a
(m)
(b)
x2 +a2
x−a
(e)
xn −an
x−a
(h)
x2 −a2
x+a
(k)
(c)
x3 −a3
x−a
(f)
xn +an
x−a
(i)
x2 +a2
x+a
(l)
x5 +a5
x+a
xn −an
x−a
(n)
xn +an
x−a
x3 −1
x−1
5. Déterminer k pour que les divisions suivantes donnent comme reste r .
Calculer le quotient après avoir remplacé k par la valeur trouvée
1)
2)
3)
4)
5)
x3 +x2 −x−k
x−1
3x3 −4x2 +kx+3
x−2
3a3 +a2 −ka+2
a+1
k2 x3 −kx2 −10x
x+3
kx4 +kx3 y+kx2 y 2 −40xy 3 +3y 4
x−3y
r
r
r
r
r
=0
= −5
= 2k − 1
= −6
=0
6. Déterminer a et b pour que le polynôme p soit divisible à la fois par d1 et d2 . Factoriser le
polynôme obtenu.
1)
2)
3)
p = ax4 + bx3 − 8x2 − 4x + 5
p = ax4 + bx3 ax2 − bx − 2
p = ax4 − 10x2 y 2 − bxy 3 + (b − 1)y 4
d1 = x − 1
d1 = x + 1
d1 = x + y
d2 = x + 1
d2 = x + 2
d2 = x − 3y
7. Décomposer
1)p = x2 + 2x
√− 35
2)p = 2x2 + 3x − 3
3)p = 2x3 − √
15x2 +
−6
√19x √
√
√
√
3
4)p = x + ( 3 − 2 − 6)x2 − (3 2 − 2 3 + 6)x + 6
sachant
sachant
sachant
sachant
que
que
que
que
p(5)√= 0
p(− 3) = 0
p(1)
√ = p(6) =√0
p( 2) = p(− 3) = 0
8. Factoriser les polynômes suivants:
(a) x3 − 4x2 + x + 6
(d) x3 − 6x2 + 11x − 6
(b) 2x3 + 3x2 − 3x − 2
(e) x3 + 6x2 + 11x + 6
(c) x3 − 7x − 6
(f) 2x3 − 5x2 − 4x + 3
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES
37
9. Simplifier les fractions suivantes :
(a)
x3 −3x2 −4x+12
x3 −6x2 +11x−6
(c)
x3 +x2 −9x−9
x3 +3x2 −x−3
(b)
2x3 −5x2 −4x+3
4x2 −4x+1
(d)
x3 −7x−6
x3 +2x2 −x−2
10. (a) Les restes des divisions du polynômes p par (x − 1) et par (x − 2) sont respectivement 2 et
6 . Calculer le reste de la division de p par (x − 1)(x − 2).
(b) Les restes des divisions du polynômes p par (x + 1) et par (x − 1) sont respectivement 3 et
−1. Calculer le reste de la division de p par (x2 − 1).
11. Déterminer les réels a et b pour que le polynôme ax4 + bx3 + 1 soit divisible par
(a) x2 − 1
(b) (x − 1)2
(c) (x + 1)2
Dans chacun des cas, précisez le quotient.