115.03- COURS- THEOREME DE PYTHAGORE - Ducros Prof

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Seconde – Bac Pro 3 ans
Leçon :
Géométrie Le Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore :
Théorème de géométrie plane selon lequel, dans un triangle
rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
En d’autres termes, si le triangle ABC est rectangle en A, alors
BC2= AB2+AC2.
Ce théorème tire son nom du mathématicien et philosophe grec Pythagore, qui l’aurait démontré au Ve siècle av. J.-C. Mais
cette formule était déjà connue des Babyloniens. Il en existe de très nombreuses démonstrations. Nous en donnons ci-dessous
une simple, faisant appel à des décompositions ou découpages.
Démonstration
Considérons un triangle rectangle d’hypoténuse C et de côtés adjacents A et B. La
figure 1 indique qu’un carré de côté A+B peut être décomposé en quatre triangles
rectangles, un carré de côté A, et un carré de côté B.
D’après la figure 2, on constate que
ce carré correspond aussi à la somme
des
quatre
mêmes
triangles
rectangles, augmentée d’un carré de
côté C.
Comme les deux carrés de côté A+B
ont la même aire, les figures
demeurant une fois que l’on a ôté les quatre triangles sont donc de surfaces
égales. Sur la figure 1, l’aire totale des deux carrés restants est égale à A2+B2.
Sur la figure 2, l’aire du carré restant est égale à C2.
Donc A2+B2=C2. Par conséquent, on a bien démontré le théorème de
Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des deux autres côtés.
Réciproque du théorème de Pythagore :
Dans un triangle, si, la somme du carré de l’hypoténuse
est égale à la somme des deux autres côtés au carré alors
ce triangle est un triangle rectangle.
En d’autre termes,
Si dans un triangle ABC d’hypoténuse BC on a : AB² + AC²
= BC² alors ce triangle est rectangle en A
Nous allons ici proposer deux exercices résolus afin de montrer
deux exemples simples d’utilisation du théorème de Pythagore et
de sa réciproque. Ces deux exemples sont ici présentés afin de
montrer comment on doit rédiger une réponse lorsque l’on utilise ce théorème ou sa réciproque.
115.03 : Le Théorème de Pythagore
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Applications simples :
Application N°1
Soit la figure suivante pour laquelle on sait que
AB = CE = 3 cm et BE = DC = 5 cm.
Attention cette reproduction n’est pas à l’échelle !!!!
Question :
Calculer AE et ED.
Réponses :
Dans le triangle ABE rectangle en B, j’applique le théorème de Pythagore, ainsi j’en arrive à la relation :
AB² + BE² = AE²
Soit en remplaçant par les chiffres :
3² + 5² = AE²
9 + 25 = AE²
Soit enfin
AE = 34  5,83
Le segment AE mesure donc 5,83 cm environ.
A vous de rédiger l’autre réponse…
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Application N°2
Soit la figure suivante pour laquelle on sait que :
AB = 3 cm
BE = 6 cm
Attention cette reproduction n’est pas à l’échelle !!!!
AE = 6,7082.
Question :
Ce triangle est-il rectangle comme semble le montrer la figure ?
Réponses :
Dans le triangle ABE l’hypoténuse est AE.
D’après les données on sait que :
AE = 6,7082 soit AE² = 45
Par ailleurs on sait aussi que :
AB² + BE² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
On a donc bien la relation :
AB² + BE² = AE²
Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore on en déduit que le triangle ABE est rectangle en B comme le montre
la figure.
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