Résumé d`arithmétique des entiers et des polynomes.

Arithmétique des entiers et des polynômes.
Il s'agit de rappeler les résultats démontrés dans l'UE MAT124, dont nous aurons besoin dans le chapitre suivant.
Arithmétique des entiers.
On appelle entier relatif tout élément de
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Dénition 1. On dit qu'un entier
un entier
k
tel que
a
est un multiple d'un entier
b,
ou que
b
est un diviseur de
a
lorsqu'il existe
a = kb.
Dénition 2. On dit qu'un entier
p≥2
est premier lorsqu'il possède pour seuls diviseurs positifs
1
et lui-même.
Théorème : il existe une innité de nombre premiers.(preuve : sinon il y aurait un plus grand nombre premier
mettons
p.
Considérons alors
N = p! + 1,
le reste de la division de
N
p
par
vaut
1.
Comme tout entier possède au
p).
a un entier (relatif ) et b ≥ 1 un entier strictement positif. Alors il existe un couple (q, r) unique
(d'entiers) vériant la double condition : a = bq + r et 0 ≤ r < b .
Théorème 3. Soit a ≥ 1 et b ≥ 1 deux entiers. Alors il existe un unique entier m ≥ 1 tel que pour tout entier
c ≥ 1, c est un multiple de a et de b si et seulement si c est un multiple de m.
Théorème 4. Soit a ≥ 1 et b ≥ 1 deux entiers. Alors il existe un unique entier d ≥ 1 tel que pour tout entier
c ≥ 1, c divise a et b si et seulement si c divise d. d se nomme le pgcd de a et de b : le plus grand diviseur de a et
de b.
moins un diviseur premier, nous avons une contradiction, donc il existe un nombre premier supérieur à
Théorème 2. Soit
(Identité de Bézout) Pour tous a et b, il existe deux entiers (relatifs) s et t tels que d = sa + tb.
Algorithme d'Euclide sur un exemple permettant de déterminer
s
et
t
.
Calcul du pgcd de 137 et 24 On fait des divisions euclidiennes successives et on écrit dans la colonne de droite
les conséquences de ces divisions.
Ö 24 + 17 pgcd(137, 24) = pgcd(24, 17)
Ö 17 + 7 pgcd(24, 17) = pgcd(17, 7)
(3) 17 = 2 Ö 7 + 3 pgcd(17, 7) = pgcd(7, 3)
(4) 7 = 2 Ö 3 + 1 pgcd(7, 3) = pgcd(3, 1)
(5) 3 = 3 Ö 1 + 0 pgcd(3, 1) = pgcd(1, 0) = 1 Donc pgcd(137, 24) = 1.
(1) 137 = 5
(2) 24 = 1
Ces calculs permettent ensuite sans mal de reconstituer une identité de Bézout.
La dernière division avec un reste non nul est (4) qui donne 1 = 7
= 2 Ö 3.
On va repêcher une expression de 3 comme un reste dans la relation précédente,soit (3), ce qui donne 3 = 17
= 2 Ö 7.
On reporte cette expression de 3 donc 1 = 7
On regroupe les termes en 17 et 7 donc 1 =
= 2 Ö (17 = 2 Ö 7).
=2 Ö 17 + 5 Ö 7.
On va repêcher une expression de 7 comme un reste dans la relation précédente,soit (2),ce qui donne 7 = 24
= 1 Ö 17.
On reporte cette expression de 7 donc 1 =
=2 Ö 17 + 5 Ö (24 = 1 Ö 17).
Ö 24 = 7 Ö 17.
On regroupe les termes en 24 et 17 donc 1 = 5
On a une expression de 17 comme un reste dans la relation précédente, soit (1),ce qui donne 17 = 137
24.
On reporte cette expression de 17 donc 1 = 5
On regroupe les termes en 137 et 24 donc 1 =
=5Ö
Ö 24 = 7 Ö (137 = 5 Ö 24).
=7 Ö 137 + 40 Ö 24.
Lemme de Gauss. Soit a, b et c trois entiers strictement positifs. Si a divise le produit bc et si a est premier
avec c, alors a divise b.
Théorème 5 Décomposition en facteurs premiers . Tout entier
n≥2
peut être écrit comme produit de facteurs
premiers. De plus, si on dispose de deux écritures
β1
βi
αk
1
n = pα
1 . . . pk et n = q1 . . . qi ,
k ≥ 1, ,i ≥ 1 , les entiers p1 < p2 < . . . < pk et q1 < . . . qi sont tous premiers et rangés en ordre
α1 . . . αk et β1 . . . βi sont tous des entiers strictement positifs, alors ces deux écritures sont
sens précis suivant : k = i et pour tout j avec 1 ≤ j ≤ k alors pj = qj et αj = βj .
dans lesquelles
croissant, les exposants
les mêmes au
Cette décomposition en facteurs premiers donne une seconde manière, moins rapide pour calculer le pgcd et
le ppcm de deux entiers
a
et
b
: on regroupe les facteurs premiers de
a
et de
b
et chacun est pris à la puissance
minimale pour le pgcd (ou maximale pour le ppcm) s'il apparaît dans les deux entiers a et b, sinon son exposant
5 3 3
2
3 3
2
est inchangé. Par exemple pgcd(2 7 , 2 11 ) = 2 7 11 . On remarque aussi que a.b =ppcm(a, b)×pgcd(a, b).
1
Arithmétique des polynômes.
On appelle polynôme à coecient dans A = R ou C la donnée d'une suite nie d'élément de A, mettons
a0 , a1 , . . . an . On note alors P (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n où X se nomme l'indéterminée. Si an =
6 0 on dit que
P est de degré exactement n.
(Un polynôme en ce sens n'est pas une fonction, mais on peut associer à tout polynôme une fonction A → A qui
à x de A associe l'expression calculée P (x) où X est remplacé par x, et nous l'avons fait pour démontrer que tout
polynôme complexe non constant admet une racine).
K
Division euclidienne.Théorème 1. Soit
non nul de
K[X].
un corps commutatif,
A
un polynôme de
K[X]
et
B
un polynôme
Il existe un couple (Q,R) unique de polynômes vériant la double condition : A = QB + R et
degR < degB.
Concrètement on fait la division en disposant les polynômes suivant leur puissance décroissante et on s'arrête
quand le degré du reste devient plus petit que celui du diviseur. Le quotient et le reste sont uniques. (Si on dispose
les polynômes suivant les puissances croissantes, le quotient et le reste ne sont pas uniques, ce n'est pas une division
euclidienne. On utilise ce genre de division pour calculer certains développements limités, pour réduire des fractions
rationnelles, ce n'est pas du tout ce dont il est question ici)
X 2+
X+
1
X+
2
X 2+
2X
X
−1
−X +
−X
1
−2
3
Cette division prouve que
X 2 + X + 1 = (X − 1)(X + 2) + 3.
Polynômes irréductibles.
Nous connaissons la notion de nombre premier, et nous recherchons la même notion parmi les polynômes à
K avec K = R ou C. Commençons par les polynômes à coecients complexes. Soit donc P (X) =
a0 + a1 X + . . . + an X n un tel polynôme. Nous avons démontré que P admet au moins une racine mettons z0 comme
racine. La fonction associée au polynôme prend la valeur 0 pour z = z0 . Eectuons la division euclidienne de P
par le polynôme X − z0 . Nous obtenons P (X) = (X − z0 )Q(X) + R(X) où R(X) est de degré inférieur à celui
de X − z0 donc R(X) est une constante mettons r0 . Donc P (X) = (X − z0 )Q(X) + r0 . Considérons la fonction
associée à cette expression pour X = z0 . On obtient 0 = P (z0 ) = r0 et donc P (X) = (X − z0 )Q(X) et donc si P
admet z0 comme racine, il est divisible par X − z0 . Ensuite le polynôme obtenu est aussi à coecients complexes.
S'il est de degré ≥ 1 , il admet une racine, et on recommence le même raisonnement. Au nal tout polynôme de
degré n à coecients complexes se factorise en un produit de n polynômes de degré 1. Ainsi les seuls polynômes
complexes qui ne soient divisible que par eux mêmes et par 1 (à un coecient scalaire de proportionnalité près)
sont les polynômes de degré 1 et 0. Au lieu de les appeler polynômes premiers, on dit que Les seuls polynômes
irréductibles complexes sont les constantes et les polynômes de degré 1.
n
Passons maintenant au polynômes à coecients réels. Soit donc c P (X) = a0 +a1 X +. . .+an X un tel polynôme
avec a0 , a1 . . ., an des réels. En considérant ce polynôme dans C, on obtient P (X) = an (X −λ1 )(X −λ2 ) . . . (X −λn )
où les λi sont des complexes. Posons par exemple λ = a+ib (avec b 6= 0) pour une racine λ = λi , ceci pour un certain
i ∈ {1, . . . , n}. Comme P (λ) = 0, nous pouvons prendre le complexe conjugué de cette relation. Nous obtenons
0 = P (λ) = a0 + a1 λ + . . . + an λn d'où
coecient dans
0 = 0 = a0 + a1 λ + . . . + an λn = a0 + a1 .λ + . . . + an .λn = a0 + a1 λ + . . . + an (λ)n .
λ = a+ib est racine complexe, λ = a−ib est aussi racine de P . Si λ2 , on passe à λ2 , . . .. Si λ = λi est complexe
λ qui est aussi racine et on calcule (X − λ)(X − λ) = X 2 − (λ + λ)X + λλ = X 2 − 2aX + (a2 + b2 )
2
2
2
2
dont le discriminant ∆ = 4a − 4(a + b ) = −4b est strictement négatif. De proche en proche, on factorise ainsi le
polynôme P en produit de polynômes constant, de polynômes de degré 1 et de polynômes de degré 2 à discriminant
Donc si
on la regroupe avec
strictement négatif. Réciproquement, de tels polynômes ne sont (à coecients de proportionnalité près) divisibles
que par eux même et par
1,
si on reste dans
R[X].
Les seuls polynômes irréductibles réels sont les constantes et les polynômes de degré
1,
et les
polynômes du second degré à discriminant négatifs.
Nous avons donc trouvé la notion qui remplace celle de primalité pour un entier. On parle de polynômes
irréductibles. Tout comme les nombres premiers il y en a une innité. Trouver une liste des nombres premiers
N (à l'aide du crible
{1, 2, 3, . . . N } ,dans cette liste√on retire tous les multiples de 2, puis
multiples de P artieEntière( N + 1), il reste la liste des nombres
ne peut se faire que jusqu'à un certain ordre, pour tous les entiers inférieurs ou égaux à
d'Eratosthène par exemple : on forme la liste
tous les multiples de
3, . . .,
jusqu'à tous les
2
premiers compris entre
1
et
N ).
Par contre, l'ensemble des polynômes irréductibles dans
R[X].et
dans
C[X]
est
simple à fournir et cela sans aucune limitation, la réponse n'est plus dénombrable, mais explicite !
Identité de Bézout, algorithme d'Euclide, et décomposition en facteurs irréductibles.
On obtient les mêmes résultats que dans l'arithmétique des entiers à ceci près qu'il faut introduire un coecient
de proportionnalité près pour les résultats sur les polynômes, ou bien contraindre à
1
le coecient de plus haut
degré.
Concrètement nous aurons besoin de savoir que deux polynômes ayant des racines distinctes sont premiers entre
eux, c'est à dire que leur pgcd est (à coecient de proportionnalité près) le polynôme
1.
Cela s'obtient dès que
nous savons que la décomposition d'un polynôme en facteurs irréductibles est unique (à commutativité près et à
coecient de proportionnalité près). Et surtout nous devons trouver une décomposition de Bézout associée. Donnons
3
un exemple : nous voulons trouver pour A(X) = (X − 1) et B(X) = (X + 1) deux polynômes P et Q tels que
1 = AP + BQ. On pose Y = X + 1 et on utilise Ã(Y ) = (Y − 2)3 et B̃(Y ) = Y .
Ã(Y ) = Y 3 − 3Y 2 .2 + 3.Y.22 + 1 = Y 3 − 6Y 2 + 12Y + 1
Ã(Y ) = (Y − 6Y + 12)Y + 1.
1. On eectue la division de
2
2. On remonte l'algorithme d'Euclide (ici il n'y a qu'une étape) et on obtient 1 = Ã(Y
2
et en revenant à X : nous aurons 1 = A(X) − ((X + 1) − 6(X + 1) + 12)B(X).
αk
A(X) = (X − λ1 )α1 et B(X) = Πk=s
k=2 (X − λk )
d'Euclide P et Q deux polynômes tels que
Au nal quelque-soient les polynômes
trouve en appliquant l'algorithme
par
Y.
On obtient
) − (Y 2 − 6Y + 12)B̃(Y )
où les
λi
sont distincts, on
1 = A(X)P (X) + B(X)Q(X).
C'est ce résultat qui nous permet de retourner à la réduction des endomorphismes dans le prochain cours.
3