Optimisation A

Coloriage de sommets
Nazih Abderrazzak Gadhi

Introduction à la
théorie des graphes
Nazih Abderrazzak Gadhi 2
Colorer les sommets d´un graphe consiste à les numéroter ( ou à leur atribuer
une couleur ) de sorte que deux sommets adjacents n´aient pas le même
numéro ( ou la même couleur ).
Le nombre chromatique d´un graphe G, noté (G), est le nombre minimum de
couleurs necessaire pour à sa coloration.
Afin d´obtenir une coloration minimale, on utilise l´algorithme de Welsh et
Powell.
Applications : Problèmes d´horaires, problèmes de chargement de camions,
problème d´allocation de ressources, problème de coloration de cartes, ….

Le problème du plus court chemin Nazih Abderrazzak Gadhi 3
Algorithme de Welsh et Powell
Ordonner les sommets du graphe G (X,U) selon l´ordre décroissant de leur degrés.
Donner à chaque sommet son numéro d´ordre dans la liste obtenue.
Poser N = { sommets non colorés de X}

Le problème du plus court chemin Nazih Abderrazzak Gadhi 4
Algorithme de Welsh et Powell
Etape 1 : Poser i = 1 et N = X.
Etape 2 : Donner la couleur i au sommet x ( non encore coloré ) qui a le plus
petit numéro de la liste. Faire N := N \ {x}.
Etape 3 : Attribuer cette même i couleur à chaque sommet y de N (non
coloré) non adjacent à aucun sommet de cette couleur. Faire N := N \ {y}.
Etape 4 : Si N = ø alors la coloration du graphe est terminée. Sinon, faire :
i := i + 1 et aller à l´étape 2.

Introduction à la
théorie des graphes
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( k est le nombre de couleurs trouvé par l´algorithme de Welsh et powell ).
(G) ≤ k
L´algorithme de Welsh et powell donne une assez bonne coloration du graphe,
mais n´assure pas une coloration minimale.
Remarque