Abstract - Makhlouf Hadji

Sur la conception des réseaux à composantes unicycliques
W. Ben-Ameur1, M. Hadji2, et A. Ouorou3
1GET/INT CNRS/Samovar, Institut National des Télécommunications, 9 rue Charles Fourier, 91011
Evry, France
[email protected]
2GET/INT CNRS/Samovar, Institut National des Télécommunications, 9 rue Charles Fourier, 91011
Evry, France
[email protected]
3Orange Labs
[email protected]
Mots clefs : Graphes unicycliques, Matroïdes, Polyèdres, Optimisation combinatoire, Optimi-
sation de réseaux, Spectres.
1 Introduction
Étant donné un graphe pondéré G, nous souhaitons dans un premier temps partitionner les
sommets de G en plusieurs composantes connexes unicycliques de coût total minimum. Pour cela,
on développe deux algorithmes polynômiaux, le premier se base sur la théorie des matroïdes alors
que le deuxième est un algorithme de couplage maximum de poids minimum. On généralise ce
problème en y ajoutant différentes contraintes (contraintes de degrés, taille des cycles, contraintes
d’appartenance à une même composante connexe, nombre maximum de composantes connexes),
et on présentera un algorithme à plans coupants pour le résoudre. Nous esquissons une première
étude polyédrale.
En seconde partie, nous nous focalisons sur une classe particulière de graphes unicycliques dont
on donnera les valeurs extrêmes des spectres du laplacien et de la matrice d’adjacence.
2 Partitionnement en composantes unicycliques
Sur un graphe pondéré G= (V, E), on souhaite répartir les sommets en plusieurs composantes
unicycliques (contenant exactement un cycle), avec un coût total minimum. On propose alors deux
algorithmes polynômiaux, le premier se base sur la théorie des matroïdes. Il est en effet facile de
prouver que M= (E, F), où
F={I⊆E, I a ses composantes connexes qui contiennent au plus un cycle}
est un matroïde. Ceci suggère immédiatement un algorithme glouton qui nous donne la décompo-
sition souhaitée. Ce matroïde est connu dans la littérature sous le nom de matroïde bicirulaire.
L’autre approche consiste à construire d’abord un nouveau graphe biparti dont l’enssemble des
sommets est l’union de Eet V. Les arêtes de ce nouveau graphe, se définissent ainsi :
il existe une arête entre le sommet iet le sommet x, si et seulement si iest une extrémité de
l’arête x. Le poids de l’arête ix, est le même que celui de l’arête initiale xdans G.
Une fois le graphe biparti construit, on calcule un couplage maximum de poids minimum. Le ré-
sultat est une décomposition en composantes unicycliques de coût total minimum.
On généralise le problème en rajoutant plusieurs types de contraintes : contraintes de degrés
(consistant à borner les degrés des sommets), contraintes de taille des cycles (on interdit les cycles
de taille inférieure à k), des contraintes d’appartenance ou de séparation d’un couple de sommets
de la même composante ainsi qu’une contrainte sur le nombre de composantes connexes.
Un algorithme à plans coupants nous permet de résoudre ce problème pour des instances de
tailles moyennes.
Plusieurs classes d’inégalités valides sont mises en évidence. Des algorithmes de séparation ont
été mis en oeuvre pour les séparer. La séparation de l’une de ces classes se fait par le biais de la
minimisation d’une fonction sous-modulaire.

3 Spectres d’une classe de graphes unicycliques
Un graphe G= (V, E)est unicyclique s’il est connexe et son nombre d’arêtes est égal à son
nombre de sommets. On désigne par Ala matrice d’adjacence du graphe G, et par L=D−Ala
matrice du laplacien, où Dest la matrice diagonale des degrés des sommets de G.
On s’intéresse à une classe de graphes unicycliques qu’on note par G(q, n1, n2), où qest la taille
du cycle du graphe, chaque sommet du cycle étant lié à exactement n1sommets en dehors du cycle,
et chaque sommet adjacent au cycle est lié à exactement n2sommets pendants.
On donne les valeurs exactes des valeurs propres extrêmes associées aux deux matrices Aet L,
et cela dans deux cas différents, lorsque n2= 0, et puis lorsque n26= 0. Ces valeurs peuvent servir
dans le contexte d’un algorithme à plans coupants dont l’objectif serait de construire des réseaux
de coût minimum ayant la forme de G(q, n1, n2).