Algorithme Combinatoire Cours 1 : Coloriage d`un graphe But

Algorithme Combinatoire
Cours 1 : Coloriage d’un graphe
But : Formalisation + Rappels
graphe sommet(vertices) arrêtes/arc(edges)
Créer des graphes par algorithme supermaster
Utilisation : G[u]
ajd(u) -> ensemble des voisins du sommet u
Exo : Equipe un carrefour de feu tricolore :
Idée principale : ne pas faire d’algorithme compliqué,
 ne pas les crée,
 adapter les schémas à des algorithmes déjà connu
 minimiser à des algorithmes supermaster
  chemin de u à v dans G
 degré d’un sommet
  (nombre de voisin d’un graphe)
 /  -> pour graphe orienté
degré entrant / degré sortant
Interet : reguler la circulation en evitant les
accidents
Relation de compatibilité entre les sommets
Le but est de transformer cet exo en graphe

Lien et direction
Ce sont les liens compatibles entre eux : donc pas de collision
E = direction incomptable
V = toutes les directions définies par le problème
Colorier graphe : colorier les sommets de même couleur qui lien compatible de façon
minimale
  problème complet = feu tricolore
 problème abstrait = coloration d’un graphe : à formaliser !
On traduit un problème complet à un problème abstrait pour le réutiliser ensuite sur
d’autre algorithme
Pour formaliser on doit comprendre le problème et répondre à ces questions :
- Quelles sont les données ?
- Quels sont les résultats ?
- Quels sont les liens entre ces données et ces résultats ?
Pour écrire une équation on doit avoir ces 4 qualité :
I -> objet informatique -> graph :    
S -> solution :         
F ->  = Logarithme des blocs
Opt -> min -> ce que l’on cherche comme solution
Ici on cherche donc le plus petit paquet de direction compatible
Complexité algorithme pour écrire graph :
   linéaire
Problème NP - complet

FORMALISATION : ses 4 étapes
I : les données : {listes, ensembles, graphes, automates, arbres, grammaires}
S : ensemble des solutions : {ObjetCombinatoire(I), propriétés}
F : la meilleure solution : mesurer S
Opt : min / max : ce que l’on cherche à obtenir comme nombre de solution dans
l’ensemble S
Exercice :
I : {1,2,3,4,5}
Partition possible :
{1,5} , {2} , {3,4}
{1,3,4} , {2,5} la meilleur des solutions car moins de couleur utilisé (2)
Les partitions se crées par compatibilités des sommets entre eux, c’est à dire quand il n’y
a pas d’arrête entre eux
Ex : {1,2,3,5} , {4} -> non compatible
Formalisation : traduire un problème complet en problème abstrait
On utilise 3 technique pour cela :
- choisir et traiter (la favorite)
- diviser pour régner
- programmation dynamique
Choisir et traiter :
On choisit un sommet, et on se traite pour connaître ses adjacents : u -> adj[u]
Moins on utilise de couleur plus on se rapproche de la solution !
2
1
2
2
1
1
2
3
4
5
On choisit le sommet 2 et on lui attribut la
première couleur.
On traite ses adjacents et leur donne la deuxième
couleur.
On applique à 5 sa couleur, puisque {2,5} est
compatible
-> On regarde pour chaque sommet ses adjacents
et leur couleur, et on ne prend pas celle là !

Exemple d’algorithme juste mais non optimal :
Remarque : on a autant le droit de mettre 1 de la même couleur que 5 que 2, puisque
tout les 2 n’ont pas de lien jusqu’à 5, la seule différence est l’optimisation
Création de l’algorithme :
sommet ensemble de couleur voisin de z couleur 1
liste où z appartient fonction
Formalisation du problème :
si on a pas de couleur :
si il y en a, on l’ajoute à la liste R (liste des couleurs):
 On demande le plus petit nombre qui n’est pas dans la liste de couleur
Liste des partitions :
{1,5} , {2} , {3, 4}
On obtient 3 couleurs, ce n’est pas
optimal, le but est de trouver le
moins de couleur possible

Code de l’algorithme
   tableau de zero
     tableau de sommet
  ajout du premier sommet
     on prends le premier sommet de Q
     on stock les couleurs adjacentes dans la liste R
Application du cours : partie TD
Organisation d’une session d’examen :
Créneaux : 8-10 / 10-12 / 13-15 / 15-17 / 17-19
Données : Etudiant / Professeur / Salle / Module
Sortie : Planning et liste
Nobre fini de module : C, Python, Ana2 ect …
Les modules sont représentés par une lettre
Algorithme
SSSM
(super x3
master)
On a donc 3 créneaux suffisants