Exo - UQAC

UQAC, DIM Mercredi 21 novembre 2007.
Devoir 3 – 8IF805
À rendre au plus tard le 6 décembre 2007
Exercice 1 (15pts): Soit x est un nœud (différent d’une racine) d’un tas binomial. Comment se
compare le degré de x à celui de son frère et à celui de son parent.
Exercice 2 (15pts): Créer un tas binomial à partir des nombres suivants, dans cet ordre : 10, 12, 0, 14,
15 20 et 3.
Exercice 3 (10pts): Soit G un graphe non Eulérien. Est-il toujours possible de rendre G Eulérien en lui
rajoutant un sommet et quelques arêtes ?
Exercice 4 (15pts): Montrez que dans un groupe de personnes, il y a toujours deux personnes ayant le
même nombre d’amis présents.
Exercice 5 (15pts): Est-il possible de tracer, sans relever le crayon, une ligne coupant une fois et une
seule chaque segment de la figure suivante. Justifiez votre réponse.
Exercice 6 (20pts):
1. Rappeler l’algorithme de Dijsktra.
2. Comment modifier cet algorithme pour qu’il génère les sommets faisant partie du plus court
chemin entre le sommet de départ s et un sommet v.
3. Appliquer l’algorithme de Dijsktra sur le graphe suivant en partant du sommet A.
Exercice 7 (20pts): Un graphe G = (V,E) est dit biparti si l’ensemble V de sommets peut être
partitionné en deux ensemble disjoints V1 et V2 tel qu’il n’y a pas d’arc entre V1 et V2 ou vice versa.
Écrire un algorithme efficace qui teste si un graphe donné est biparti. Expliquez votre idée. Quelle est
la complexité de votre algorithme.