(Chapitre 3 Cours Théorèmes de Bézout et de Gauss
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Terminale S Spécialité Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : • connaître l’identité et le théorème de Bézout. • savoir calculer les coefficients de Bézout par « descente » ou par remontée de l’algorithme d’Euclide. • connaître le théorème de Gauss et ses conséquences. • savoir résoudre les équations diophantiennes du type : ax + by = c. • savoir obtenir et reconnaître une fraction irréductible (en particulier lorsque le numérateur et le dénominateur sont fonctions d’un entier naturel n). • savoir utiliser le petit théorème de Fermat. • connaître quelques méthodes de cryptographie. I. Théorème de Bézout. Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Démonstration : • On suppose a et b premiers entre eux ; donc leur PGCD est 1. Ainsi, au moins l’un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a. Soit E l’ensemble des entiers naturels de la forme au + bv, avec u et v entiers. Cet ensemble n’est pas vide, car il contient a (avec u = 1 et v = 0) et –a (avec u = -1 et v = 0). E contient a et –a, et l’ un de ces deux entiers est strictement positif, donc E contient au moins un entier strictement positif. Soit δ le plus petit d’entre eux ; il existe ainsi u0 et v0 entiers tels que : δ = au0 + bv0. La division euclidienne de a par δ s’écrit : a = δq + r, avec 0 ≤ r < δ. D’où : r = a - δq = a – (au0 + bv0)q = a(1 – qu0) + b(-v0q). Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers (u = 1 – qu0 et v = -v0q) . Comme δ est le plus petit élément strictement positif de E, l’inégalité 0 ≤ r < δ montre que r est nul, d’où a = δq et δ divise a. On montre de même que δ divise b, d’où δ = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien deux entiers u0 et v0 tels que au0 + bv0 = 1. • S’il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b, donc au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux. Exemple : a = 4 et b = 9 sont premiers entre eux et on a par exemple : 4 × (- 2) + 9 × 1 = 1 ou 4 × 7 + 9 × (- 3) = 1 ou 4 × 97 + 9 × (- 43) = 1. Les couples (-2 ;1) ; (7 ;-3) et (97 ;-43) sont tous des couples (u ; v) vérifiant l’égalité 4u + 9v = 1. Remarques : • Ce théorème est un théorème d’existence. Il n’y a pas unicité du couple (u ; v) tel que au + bv = 1 lorsque a et b sont premiers entre eux. • Pour tout entier n, (n + 1) × 1 – n × 1 = 1, donc deux entiers consécutifs n et n + 1 sont toujours premiers entre eux. 1 Terminale S Spécialité Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Détermination pratique de u et v. Comment trouver u et v entiers relatifs tels que au + bv = 1 quand a et b sont premiers entre eux ? • Un examen rapide des plus petits multiples de a et b peut permettre de conclure. Exemple : a = 7 et b = 17. Sachant que 5 × 7 = 35 et 2 × 17 = 34, on a 1 = 35 – 34 = 5 × 7 - 2 × 17 = 5 × 7 + (- 2) × 17. Le couple (u ; v) = (5 ; - 2) convient. • Sinon, on écrit l’algorithme d’Euclide pour a et b, puis on exprime pas à pas chacun des restes comme combinaisons linéaires de a et de b, jusqu’au dernier reste non nul qui est PGCD(a ; b). Si a et b sont premiers entre eux, on aura alors écrit 1 comme une combinaison linéaire au + bv. Ce procédé permet d’exprimer PGCD(a ; b) comme combinaison linéaire de a et b, que a et b soient premiers entre eux ou non. Exemple : a =71 et b = 19 Algorithme d’Euclide On isole les restes dans un membre On remonte l’algorithme à partir de l’avant dernière étape 71 = 19 × 3 + 14 14 = 71 – 19 × 3 1=5–4×1 19 = 14 × 1 + 5 5 = 19 – 14 × 1 1 = 5 – (14 – 5 × 2) × 1 = - 14 + 5 × 3 14 = 5 × 2 + 4 4 = 14 – 5 × 2 1 = – 14 + (19 – 14 × 1) × 3 = 19 × 3 – 14 × 4 5=4×1+1 1=5–4×1 1 = 19 × 3 – (71 – 19 × 3) × 4 = - 71 × 4 + 19 × 15 4=1×4+0 De 1 = - 71 × 4 + 19 × 15, on en déduit que 1 = au + bv, avec u = - 4 et v = 15. Corollaire (Identité de Bézout) : Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Si d = PGCD(a ; b), alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = d. Démonstration En effet, soit a et b deux entiers non nuls dont le PGCD est d. Soit les entiers a’ et b’ tels que a=da’ et b = db’. Comme a’ et b’ sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que a’u + b’v = 1. En multipliant les deux membres de cette égalité par d, on obtient : ua’d + vb’d = d, d’où au + bv = d. Remarque : contrairement au théorème de Bézout, la réciproque de cette propriété est fausse, si au + bv = d, l’entier d n’est pas obligatoirement le pgcd de a et b. Par exemple : 1×13 + (-1)×11 = 2, et pourtant le PGCD de 13 et 11 n’est pas 2 mais 1. Propriété : Un nombre premier est premier avec tous les entiers qu’il ne divise pas. Démonstration Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p. On note d le PGCD de a et p ; comme d divise p, alors d vaut 1 ou p, puisque p est premier. Or, d ne peut pas être égal à d car a n’est pas divisible par p. d’où : d = 1. Exemple : 17 est premier, donc premier avec tous les entiers sauf les multiples de 17. 2 Terminale S Spécialité Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Propriété : Si un entier est premier avec deux entiers, alors il est premier avec leur produit. Démonstration Soit a un entier premier avec b et c : d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1 et des entiers u’ et v’ tels que au’ + cv’ = 1. En effectuant le produit membre à membre, on obtient : (au + bv)(au’ + cv’) = 1, soit : a²uu’ + acuv’ + abvu’ + bcvv’ = 1. Ou encore : a(auu’ + cuv’ + bvu’) + bc(vv’) = 1 Comme auu’ + cuv’ + bvu’ et vv’ sont des entiers, le théorème de Bézout montre que a et bc sont premiers entre eux. Exemple : Soit n un entier. On a vu que n et n + 1 sont premiers entre eux ; de même, n – 1 et n sont premiers entre eux. On en déduit que n et n² - 1 sont premiers entre eux (en effet, n² - 1 = (n + 1)(n – 1)). II. Théorème de Gauss. Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers non nuls. Si a divise bc et si a et premier avec b alors a divise c. Ce théorème est très utile pour résoudre les équations diophantiennes de la forme ax + by = c, avec x et y entiers. Démonstration Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. En multipliant les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c. Or, a divise acu et bc par hypothèse, donc a divise bcv : on en déduit que a divise acu + bcv, c'est-à-dire c. Exemple : Soit a et b deux entiers tels que 3a = 4b. Ici, 4 divise le produit 3a. Les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux, donc 4 divise a. Corollaires : Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c alors leur produit ab divise c. Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b. Démonstration Comme c est divisible par a et b, alors il existe des entiers k et k’ tels que c = ka = k’b. Cette égalité montre que a divise k’b ; comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que a divise k’. Donc il existe un entier q tel que k’ = qa. On en déduit c = qab. Donc ab divise c. Soit p un nombre premier divisant le produit ab. Si p divise a, la conclusion est assurée. Si p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux ; comme p divise ab, alors p divise b d’après le théorème de Gauss. 3 Terminale S Spécialité Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Exemples : • Le nombre 1 573 875 est divisible par 5 (car le chiffre des unités est 5) et divisible par 9 (car 1 + 5 + 7 + 3 + 8 + 7 + 5 = 36 et 36 ÷ 9 = 4). Or 5 et 9 sont premiers entre eux, donc 1 573 875 est divisible par 5 × 9, c'est-à-dire 45. • Le produit de trois entiers naturels consécutifs, n(n + 1)(n + 2), est divisible par 2 et par 3 ; 2 et 3 étant premiers entre eux alors ce produit est divisible par 6. III. Petit théorème de Fermat. Théorème : Si p est un nombre premier et n entier, alors np n [p]. Démonstration On va raisonner par récurrence sur n. Pour n = 0, on a bien 0p 0 [p]. Supposons la propriété vraie pour l’entier naturel n, soit np n [p]. p p p n + 1. En appliquant la formule du binôme de Newton, (n + 1)p = np + np-1 + np-2 + … + 1 2 p - 1 p p p(p -1)……(p – k + 1) Or, pour 1 ≤ k ≤ p – 1, est divisible par p ; en effet, la formule = donne : k k k! p k! = p(p – 1)….(p – k + 1). k p est premier avec k, k – 1, ……,2 et 1 car un nombre premier est premier avec tous les entiers naturels non nuls strictement inférieurs à lui. Donc p est premier avec le produit k! de tous ces entiers naturels. p p Comme p divise le produit k! , p divise d’après le théorème de Gauss. k k p p p D’où : (n + 1) n + 1 [p], soit (n + 1) n + 1 [p]. La propriété est donc vraie pour le rang n + 1. Puisqu’elle est vraie pour le rang 0, elle est vraie pour tout entier naturel n. Petit Théorème de Fermat : Soit n un entier. Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors np-1 1 [p]. Démonstration En effet, d’après le théorème précédent, np – n est congru à 0 modulo p, d’où p divise np – n, c'est-à-dire n(np-1 – 1). Or, p et n sont premiers entre eux, donc le théorème de Gauss montre que p divise np-1 – 1 et alors : np-1 – 1 0 [p] soit np-1 1 [p]. 4 Terminale S Spécialité Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Point Info Le théorème ci-dessus a été énoncé pour la première fois par Fermat sans démonstration en 1 640 dans une correspondance à Frénicle de Bessy. On n’a pas trouvé sa démonstration, mais nul ne doute qu’il l’ait établie. On appelle ce résultat Petit théorème de Fermat par opposition au Grand théorème de Fermat (« Lorsque n ≥ 3, l’équation xn + yn = zn, n’admet aucun triplet de solutions entières strictement positives. ») qui formulé par Fermat en 1 659 n’a, lui, été démontré qu’en 1 994 par le mathématicien anglais Andrew Wiles. Exemple : 22 002 – 1 est divisible par . 2 003. En effet, 2 003 est premier, et 2 n’est pas un multiple de 2 003. Le petit théorème de Fermat nous permet d’affirmer ce résultat alors que bien des calculatrices sont incapables de nous donner la valeur de 22 002 – 1. 5
