Notes de cours - CPGE Dupuy de Lôme

Chapitre 11 : Produit scalaire – Notes de cours. - 1 -
Produit scalaire. Chapitre 11 : notes de cours.
Projections orthogonales.
• Projecteur orthogonal
• Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel de dimension finie, et expression de la projection
orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
• Distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie
• Inégalité de Bessel
Espaces euclidiens.
• Caractérisation matricielle des bases orthogonales ou orthonormales
• Expression matricielle du produit scalaire
• Représentation d’une forme linéaire à l’aide du produit scalaire, vecteur normal à un hyperplan d’un
espace euclidien
Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales.
• Endomorphisme orthogonal dans un espace vectoriel euclidien
• Bijectivité des endomorphismes orthogonaux en dimension finie, automorphismes orthogonaux
(isométries) et caractérisations des automorphismes orthogonaux, groupe (O(E),o)
• Matrice orthogonale, caractérisation des matrices orthogonales par leurs vecteurs lignes ou colonnes,
groupe (O(n),×)
• Automorphisme orthogonal et sous-espaces stables
• Isométries positives et négatives d’un espace vectoriel euclidien, groupes (SO(E),o) et (SO(n),×)
• Matrice de passage entre bases orthonormales
Réduction des endomorphismes symétriques, des matrices symétriques réelles.
• Endomorphisme symétrique
• Caractérisation matricielle des endomorphismes symétriques
• Valeurs propres d’une matrice symétrique réelle, d’un endomorphisme symétrique
• Orthogonalité des espaces propres d’un endomorphisme symétrique
• Théorème spectral : diagonalisabilité des endomorphismes symétriques
• Diagonalisabilité des matrices symétriques réelles
Espaces euclidiens de dimension 2 ou 3.
• Orientation d’un espace vectoriel, orientation induite par un sous-espace vectoriel, produit mixte
• Produit vectoriel de deux vecteurs en dimension 3, propriétés du produit vectoriel, expression du produit
vectoriel dans une base orthonormale directe, expression géométrique du produit vectoriel
• Eléments de O(2) : matrices orthogonales 2×2
• Automorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2
• Produit de rotations, commutativité de SO(2) et SO(E), pour E de dimension 2
• Automorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3
• Eléments de O(3) : matrices orthogonales 3×3

Chapitre 11 : Produit scalaire – Notes de cours. - 2 -
Produit scalaire. Chapitre 11 : notes de cours.
Projections orthogonales.
Théorème 3.2 : expression de la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension
finie
Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien réel de dimension finie ou non.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie m.
Soit (e
1
, …, e
m
) une base orthonormale de F et p
F
la projection orthogonale de E sur F.
Alors pour tout vecteur x de E, on a :
∑
=
=m
iiiF exexp 1.)()(
.
Définition 3.2 et théorème 3.3 : distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie
Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien réel de dimension finie ou non et . la norme associée.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie m.
Pour un vecteur x de E, on appelle distance de x à F, notée ),( Fxd , la quantité : zxFxd
Fz
−=
∈
inf),( .
Cette valeur est atteinte en un unique vecteur de F qui est )(xp
F, la projection orthogonale de x sur F.
On a donc : )(),( xpxFxd
F
−= .
Exemple : calculer la projection puis la distance d’un vecteur de
4
à un hyperplan au choix
Soit H l’hyperplan de 
4
(muni de son produit scalaire canonique) défini par l’équation : 0
=
+
+
+
tzyx .
On peut proposer comme base orthogonale de H la famille (1,0,-1,0), (1,-2,1,0) et (1,1,1,-3).
Donc : )0,1,0,1.(
2
1−=u
, )0,1,2,1.(
6
1−=v
, )3,1,1,1.(
3.2
1−=w
, forment une base orthonormale de H.
Le vecteur : )4,3,2,1(
=
a , a alors pour projection orthogonale sur H le vecteur :
)
2
3
,
2
1
,
2
1
,
2
3
().12321.(
3.2
1
).341.(
6
1
).31.(
2
1
)(' −−=−++++−+−== wvuapa
H
.
On peut remarquer qu’on a bien : a’ ∈ H, et : (a – a’) ∈ H
⊥
, puisque : )
2
5
,
2
5
,
2
5
,
2
5
('=−aa .
Enfin : 5)1,1,1,1(.
2
5
2
5
,
2
5
,
2
5
,
2
5
')(),( == =−=−= aaapaHad
H
.
Théorème 3.4 : inégalité de Bessel
Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien réel de dimension finie ou non et . la norme associée.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie m.
Soit (e
1
, …, e
m
) une base orthonormale de F.
Pour tout vecteur x de E, on a :
2
1
2
)( xxe
m
ii
≤
∑
=
.
Espaces euclidiens.
Théorème 4.3 : caractérisation matricielle des bases orthogonales ou orthonormales
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Soit : B = (e
i
), une base de E.
On note M la matrice du produit scalaire dans la base (e
i
) définie par : ∀ 1 ≤ i,j ≤ n, )(
, jiji
eem = .
La matrice M est symétrique.
On a de plus les équivalences suivantes :
• (B est orthogonale) ⇔ (M est diagonale),
• (B est orthonormale) ⇔ (M = I
n
).

Chapitre 11 : Produit scalaire – Notes de cours. - 3 -
Théorème 4.4 : expression matricielle du produit scalaire
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Soit : B = (e
i
), une base de E.
Soient x et y des vecteurs de E, et X et Y les matrices colonnes de leurs coordonnées dans B.
Alors : YMXyx
t
..)( = .
Si B est orthonormale, on a de plus :
•
∑
=
== n
iii
tyxYXyx 1..)(
(forme canonique d’un produit scalaire dans une base orthonormale),
•
∑
=
=n
iii exex 1).(
,
•
∑∑ == == n
ii
n
iixexx 1
2
1
2
2)(
.
Théorèmes 4.7 et 4.8 : représentation d’une forme linéaire à l’aide du produit scalaire, vecteur
normal à un hyperplan
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Soit ϕ* une forme linéaire sur E.
Alors il existe un unique vecteur : a ∈ E, tel que : ∀ x ∈ E, )()(* xax = ϕ .
De plus si H est un hyperplan de E, et : B = (e
1
, …, e
n
), une base orthonormale de E, alors une
équation de H dans B fournit un vecteur orthogonal à H, dit aussi vecteur normal à H.
Exemple :
Dans 
4
muni de son produit scalaire canonique, le vecteur (1,1,1,1) est un vecteur normal à l’hyperplan H dont
une équation dans la base canonique de 
4
est : 0
=
+
+
+
tzyx .
Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales.
Définition 5.1, théorèmes 5.1 et 5.2 : endomorphisme orthogonal dans un espace vectoriel euclidien
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien, . la norme associée et : u ∈ L(E).
• On dit que u est un endomorphisme orthogonal de E si et seulement si u conserve la norme ou le
produit scalaire de E, c'est-à-dire : ∀ (x,y) ∈ E
2
, )())()(( yxyuxu = , ou : ∀ x ∈ E, xxu =)( .
Ces deux définitions sont bien équivalentes.
• Un endomorphisme orthogonal est bijectif et on parle d’automorphisme orthogonal.
• Les seules valeurs propres possibles d’un endomorphisme orthogonal sont ±1.
Définition 5.2 et théorème 5.3 : matrice orthogonale, caractérisation par les lignes ou les colonnes
Soit : n ≥ 1.
• On dit que : A ∈ M
n
(), est une matrice orthogonale si et seulement si :
n
t
IAA =. , ou :
n
t
IAA =. .
• Une matrice A de M
n
() est orthogonale si et seulement si ses colonnes, considérées comme des
vecteurs de 
n
(ou ses lignes) forment une base orthonormale de 
n
, pour le produit scalaire canonique
de 
n
.
• Si : A ∈ M
n
(), est orthogonale, alors : 1)det(
±
=
A (pas de réciproque).
Théorème 5.4 : caractérisations des automorphismes orthogonaux
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien, . la norme associée et : u ∈ L(E).
• u est un automorphisme orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale de E est
une matrice orthogonale.
• u est un automorphisme orthogonal si et seulement si l’image d’une base orthonormale de E par u est
une autre base orthonormale.
Théorème 5.5 : automorphisme orthogonal et sous-espaces vectoriels stables
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien.
Soient u un automorphisme orthogonal de E et F un sous-espace vectoriel de E, stable par u.

Chapitre 11 : Produit scalaire – Notes de cours. - 4 -
Alors F
⊥
est également stable par u.
Théorème 5.6 et définition 5.3 : les groupes (O(E),o), (O(n),
×
), (SO(E),o) et (SO(n),
×
)
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n et . la norme associée.
• Alors l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E, noté O(E), forme un groupe pour la loi o,
appelé groupe orthogonal de E et sous-groupe de (Gl(E),o).
• De même, l’ensemble O(n) des matrices orthogonales de M
n
(), forme un groupe pour la loi ×,
appelé groupe orthogonal d’ordre n, et sous-groupe de (Gl(n),×).
• Par ailleurs, les éléments de O(E) dont le déterminant vaut 1 forment un sous-groupe de O(E) appelé
Groupe spécial orthogonal de E, de même les matrices de O(n) dont le déterminant vaut 1 forment un
sous-groupe de O(n) appelé groupe spécial orthogonal d’ordre n.
• Enfin, si on fixe une base B de E, orthonormale, l’application de L(E) dans M
n
(), qui à un
endomorphisme u associe sa matrice dans la base B, induit un isomorphisme de groupes de (O(E),o)
dans (O(n),×).
Définition 5.4 : isométries d’un espace vectoriel euclidien, isométries positives et négatives
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n et . la norme associée.
• Un automorphisme orthogonal de E est encore appelé isométrie de E.
• si u est orthogonal, alors : 1)det(
±
=
u .
On dira que u est une isométrie positive de E si : 1)det(
+
=
u , et négative de E si : 1)det(
−
=
u .
Théorème 5.7 : matrice de passage entre bases orthonormales
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien et . la norme associée.
Soit B une base orthonormale de E et B’ une autre base de E.
Si on note P la matrice de passage de B à B’, alors B’ est orthonormale si et seulement si P est
orthogonale.
Réduction des endomorphismes symétriques, des matrices symétriques réelles.
Définition 7.1 et théorème 7.1 : endomorphisme symétrique et caractérisation matricielle
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien.
• On dit qu’un endomorphisme u de E est symétrique lorsque : ∀ (x,y) ∈ E
2
, ))(())(( yuxyxu = .
• Un endomorphisme u de E est symétrique si et seulement si sa matrice représentative dans toute base
orthonormale de E est symétrique.
Théorème 7.2 : valeurs propres d’une matrice symétrique réelle, d’un endomorphisme symétrique
• Soit : A ∈ M
n
(), une matrice symétrique réelle, avec : n ≥ 1.
Alors A, considérée comme élément de M
n
(), est telle que toutes les racines de son polynôme
caractéristique sont réelles et donc a toutes ses valeurs propres réelles.
• De même, soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien, et soit : u ∈ L(E), symétrique.
Toutes les racines du polynôme caractéristique de u sont réelles.
Théorèmes 7.3 et 7.4 : (dit théorème spectral) diagonalisabilité des endomorphismes symétriques
Soit (E, (.|.)) un espace vectoriel euclidien, et soit : u ∈ L(E), symétrique.
• Si λ et µ sont des valeurs propres distinctes de u, les espaces propres associés E
λ
(u) et E
µ
(u) sont
orthogonaux.
• Il existe une base orthonormale de E dans laquelle l’endomorphisme u est diagonalisable.
• E est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de u.
Théorème 7.5 : diagonalisabilité des matrices symétriques réelles
Soit : A ∈ M
n
(), une matrice symétrique réelle, avec : n ≥ 1.
Alors A est diagonalisable et il est possible de la diagonaliser par l’intermédiaire d’une matrice
orthogonale.

Chapitre 11 : Produit scalaire – Notes de cours. - 5 -
Exemple : diagonaliser une matrice symétrique réelle 3
×
3 et constater les propriétés annoncées
Soit A la matrice : =211 121
112
A .
Les valeurs propres de A (obtenues par exemple avec χ
A
) sont 1 (valeur propre double) et 4 (simple).
L’espace propre associé à 1 est le plan de 
3
d’équation : 0
=
+
+
zyx , qui admet pour base orthonormale :
(e
1
, e
2
) = ( )0,1,1.(
2
1−
, )2,1,1.(
6
1−
).
L’espace propre associé à 4 est la droite de 
3
engendrée par : e
3
= )1,1,1.(
3
1
.
Ces deux espaces propres sont bien supplémentaires orthogonaux pour le produit scalaire canonique de 
3
.
De plus si on pose :
−
−=
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
13
1
6
1
2
1
P , alors P est orthogonale (comme matrice de passage entre bases
orthonormales, de la base canonique de 
3
à (e
1
,e
2
,e
3
)) et : ===
−
400
010
001
....
1
DPAPPAP
t
.
Remarque : si on pose :
−
−= 120 111
111
Q , Q n’est pas orthogonale mais on a tout de même : DQAQ =
−
.
1
.
Espaces euclidiens de dimension 2 ou 3.
Dans ce paragraphe, E désigne un espace euclidien de dimension 2 ou 3.
Définition 6.1 : orientation d’un espace vectoriel, orientation induite par un sous-espace vectoriel
• Une orientation de E correspond au choix d’une base de E décrétée comme directe.
Toute base de E est alors soit directe, soit indirecte, suivant que le déterminant de la matrice de
passage de cette nouvelle base à la base de référence est positif ou négatif.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E (un plan ou une droite), orienter F permet alors de définir une
orientation induite dans tout sous-espace supplémentaire de F dans E de la façon suivante :
si B
F
est une base directe de F, une base d’un supplémentaire G de F sera directe si la concaténation
de B
F
et de B
G
est une base directe de E.
Exemple :
Soit 
3
muni de son produit scalaire canonique et de son orientation canonique (la base canonique est directe).
Soit : ∆ = Vect(e
1
), avec : e
1
= (1,1,1)), et muni de l’orientation donnée par ce vecteur.
Alors : Π = Vect(e
2
,e
3
), où : (e
2
,e
3
) = ((1,1,0), (1,0,1)), est un supplémentaire de ∆ dans 
3
(puisque la réunion des
deux bases de Π et de ∆ forme une base de 
3
), et (e
2
,e
3
) est une base indirecte de Π dans l’orientation induite par
∆ car la matrice de passage P de la base canonique à (e
1
,e
2
,e
3
) vérifie : 1
001
111
011
101
011
111
)det( −=−==P .
Remarques :
• Si on prend au départ une base orthonormale comme base directe et qu’on examine les autres bases
orthonormales de E, alors le déterminant de la matrice de passage vaut toujours ±1.
• Orienter une droite (dans le plan ou l’espace) correspond donc à la donnée d’un vecteur de norme 1.
• Orienter un plan dans 
3
revient alors à choisir une base orthonormale du plan comme base directe,