THÉORÈME 4. — Tout sous-groupe G de (Z,+) est de la forme G

10 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES
(ii) Pour tout x∈H,x−1∈H
Cela signifie que la restriction de ∗àH×H— que l’on note encore ∗mais qu’il
faudrait en toute rigueur désigner par ∗|H— donne une loi interne de Het que
(H,∗)est alors lui-même un groupe.
Les deux conditions (i) et (ii) ci-dessus peuvent être remplacées par
(iii) Pour tous x,y∈Hon a x∗y−1∈H
Il est évident que les conditions (i) et (ii) entraînent (iii). Montrons que, réci-
proquement, la seule condition (iii) entraînent à la fois (i) et (ii). Puisque H6=/0,
il existe h∈H. Appliquons (iii) avec x=y=h. On obtient h∗h−1∈Hdonc
eG∈H. Appliquons maintenant (iii) avec x=eG. Puisque eG∗y−1=y−1, on
trouve (ii). Enfin, prenant x,y∈H, on a par (ii) qui vient d’être établi y−1∈Het
appliquant (iii) avec y−1à la place de yon obtient x∗(y−1)−1∈Hc’est-à-dire
x∗y∈Gqui donne (i).
La notation H<Gest employée pour dire H est sous-groupe de G. Lorsqu’on
n’exclut pas la possibilité que Hsoit égal à Gon écrit H≤G.
Insistons sur le fait que pour montrer qu’un sous-ensemble Hde Gest un
sous-groupe de G, il faut d’abord s’assurer qu’il est non vide. Un sous-groupe
Hcontient toujours l’élément neutre eGet le sous-groupe de Gle plus simple
est {eG}. Un sous-groupe Hde Gqui est différent de Get de {eG}s’appelle un
sous-groupe propre.
2.2 Six exemples de sous-groupes
a) Sous-groupes de (C,+)
On a Z<Q<R<(C,+).
◮Montrer que l’ensemble Ddes nombres décimaux est un sous-groupe de (R,+).
◮(R,+) admet-il des sous-groupes finis propres?
b) Sous-groupes de (Z,+)
Soit m∈N⋆. On a mZ<(Z,+) où mZ={mr :r∈Z}est l’ensemble des
(entiers relatifs) multiples de m. Réciproquement, on a le
THÉORÈME 4. —
Tout sous-groupe G de (Z,+) est de la forme G=mZ
pour un certain m∈N (dépendant de G ).
Démonstration. Soit Gun sous-groupe de (Z,+). Nous devons établir l’exis-
tence d’une entier positif mtel que G=mZ. Traitons d’abord le cas où Gest ré-
duit à l’élément neutre, i.e. G={0}. Dans ce cas on a bien évidemment G=mZ
en prenant m=0. Supposons maintenant que Gne soit pas réduit à l’élément
neutre, il existe alors g∈Gavec g6=0. Puisque G≤Z,g∈G=⇒ −g∈Get
[2.0] jpc / ALG

§ 2. SOUS-GROUPES 11
nous sommes donc sûrs que Gcontiendra un élément strictement positif, autre-
ment dit G∩N⋆6=/0. Prenons alors mcomme le plus petit élément de G∩N⋆.
Puisque m∈Get que Gest un sous-groupe, on a km =m+m+· ·· +m∈G.
Toujours grâce au fait que Gsoit un sous-groupe on a aussi −m∈Gpuis −km =
(−m) + (−m) + ···+ (−m)∈Gsi bien que mZ⊂G. Montrons maintenant que
G⊂mZ. Prenons gun élément quelconque de G. C’est un entier que l’on peut
diviser par mpour obtenir une expression g=qm+roù rest le reste (0 ≤r<m).
Comme qm ∈Gon a r=g−qm ∈G. Comme en outre 0 ≤r<met mest le plus
petit entier positif dans G, la seule possibilité est que rsoit égal à 0. Retournant
à l’expression de g, il vient g=qm ∈mZd’où l’on déduit G⊂mZet, par double
inclusion, G=mZ.
◮Soient met ndeux entiers positifs. A quelle(s) condition(s) mZest-il un sous-
groupe de (nZ,+)? Déterminer l’ensemble des sous-groupes de (nZ,+).
c) Sous-groupes de (C⋆,·)
Soit n∈N⋆. On a par exemple Q⋆+<Q⋆<R⋆<(C⋆,·). On a aussi Un<
U<(C⋆,·). Rappelons que, d’une manière générale, lorsque X=N,Z,Q,R,C,
X⋆désigne X/{0}∗.
d) Sous-groupes de GLn(C,·)
Soit n∈N. On a GLn(Q)<GLn(R)<(GLn(C),·).
e) Sous-groupes des bijections du plan dans lui-même
On a T<Is(P)<(S(P),◦)où Tl’ensemble des translations du plan eucli-
dien. Pour montrer que T<Is(P), on utilise t→
u◦t→
v=t→ u+→
v.
f) Sous groupes du groupe des isométries du plan euclidien
RA<(Is(P),◦)où RAl’ensemble des rotations de centre Adu plan euclidien.
On utilise rA,
θ
◦rA,
θ
′=rA,
θ + θ
′.
On représente souvent les chaînes de sous-groupes sous la forme d’un arbre
comme celui ci-après qui correspond aux exemples e) et f)
∗Dans l’étude des anneaux on utilisera la notation A∗qui représente en général un ensemble
de nature différente.
[2.1]

12 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES
S(P)
Is(P)
TRA
?
@@@
@R
(2.1)
◮Construire l’arbre le plus fourni possible dont le sommet soit (C,+).
2.3 Intersections de sous-groupes
THÉORÈME 5. —
Soient (G,∗) un groupe et F une famille non vide de
sous-groupes de
G . Si I est l’intersection de tous les éléments de F , autrement
dit
I=TH∈FH alors I est lui-même un sous-groupe de G .
On notera que Fpeut contenir un nombre fini ou infini de sous-groupes.
Démonstration. D’abord Iest non vide car eGest élément de tout sous-groupe F
de Fet il appartient donc à I. Soient x,y∈I, nous voulons montrer que x∗y−1∈
H. Par définition de I, pour tout H∈Fon a x,y∈Het puisque Hest un sous-
groupe x∗y−1∈H. Il suit que x∗y−1appartient à tous les éléments de Fet donc
àI. Cela montre que Iest bien un sous groupe.
◮Déterminer 8Z∩12Z. Plus généralement si met nsont deux entiers positifs,
déterminer le sous-groupe de Zdéfini par mZ∩nZ.
2.4 Sous-groupe engendré par une partie
Soit (G,∗)un groupe et Aun sous-ensemble non vide de G. On appelle sous-
groupe engendré par Ale sous-groupe
hAi:=\
H∈S(A)
H(2.2)
où S(A)est l’ensemble de tous les sous-groupes de Gqui contiennent A. Cet
ensemble n’est pas vide car il contient Glui-même. En vue du Théorème 5, la
formule (2.2) définit bien le sous-groupe hAide G.
THÉORÈME 6. —
Le sous-groupe hAi est le plus petit sous-groupe de G
contenant A .
[2.2] jpc / ALG

§ 2. SOUS-GROUPES 13
Ici l’adjectif ‘petit’ réfère à la relation d’ordre définie par l’inclusion des
ensembles: un ensemble Xest plus petit qu’un ensembleYsi X⊂Y. De manière
précise, le théorème 6 signifie que les deux assertions suivantes sont équivalentes
(E1) I=hAi.
(E2) Ivérifie les deux conditions suivantes
(a) Iest un sous-groupe de Gcontenant Aet
(b) Si Hest un autre sous-groupe de Gcontenant Aalors on a I⊂H.
Démonstration. D’après la définition, on a immédiatement que hAivérifie les
deux conditions de (E2). Nous montrons que si Ivérifie (a) et (b) alors I=hAi.
A cause de (b), on a I⊂TH∈S(A)H=hAi. D’autre part, puisque, d’après (a), I
est un sous-groupe contenant A, on a I∈S(A)et par conséquent TH∈S(A)H⊂I
soit hAi ⊂ I. Par double inclusion on en déduit I=hAi.
Ni la définition, ni cette caractérisation ne permettent de déterminer facile-
ment les éléments de hAi. Le paragraphe suivant donne une approche
construc-
tive
des sous-groupes engendrés.
2.5 Description des éléments d’un sous-groupe engendré
THÉORÈME 7. —
Soient (G,∗) un groupe, A un sous-ensemble non vide
de
G et x∈G . Pour que x∈ hAi alors il faut et il suffit qu’il existe n∈N⋆
et des éléments x1,x2,...,xn avec xi∈A ou x−1
i∈A
pour i=1,2,...n tels que
x=x1∗x2∗ ·· ·∗ xn .
Le théorème précédent affirme donc l’égalité
hAi={x1∗x2∗ ·· ·∗ xn:n∈N⋆,xiou x−1
i∈A,i=1,...,n},(2.3)
ou encore
hAi={g±1
1∗g±1 2∗ · ·· ∗ g±1
n:n∈N⋆et gi∈A,i=1,...,n}.(2.4)
Démonstration. Appelons Ile membre de droite dans (2.3) (ou (2.4)), nous de-
vons montrer que I=hAi. Pour cela, d’après le Théorème 6, il suffit de vérifier
l’assertion (E2) c’est-à-dire (a) Iest un sous-groupe de Gcontenant Aet (b) tout
sous-groupe de Gcontenant Acontient aussi I.
Étape 1. I est un sous-groupe de Gcontenant A.
En considérant les cas où n=1 et x1∈Adans (2.3) on voit que A⊂I. En
particulier Iest non vide. Montrons que c’est un sous-groupe de G. Pour cela
prenons xet ydans Iet vérifions que x∗y−1∈I. Ecrivons
x=x1∗x2∗ ·· ·∗ xmxi∈Aou x−1
i∈A
y=y1∗y2∗ · ·· ∗ ypyi∈Aou y−1
i∈A(Attention, en général m6=p).
[2.4]

14 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES
En utilisant la formule 1.1 (p. 7) sur l’inverse d’un produit on obtient
x∗y−1=x1∗x2∗ ··· ∗ xm∗y−1
p∗ · ·· ∗ y−1
1
Chacun des m+pfacteurs fdu produit vérifie f∈Aou f−1∈Ade sorte que
x∗y−1a bien la forme requise (avec n=m+p) des éléments de I. Il suit que
x∗y−1∈Iet Iest donc bien un sous-groupe de Gcontenant A.
Étape 2.Si Hest un sous-groupe de Gcontenant Aalors I⊂H.
Prenons x∈Ique l’on écrit comme précédemment x=x1∗x2∗ ··· ∗ xn. Etu-
dions le facteur xi. Il y a deux possibilités:
– Soit xi∈Aet alors xi∈Hpuisque A⊂H
– Soit x−1
i∈Aet alors x−1 i∈Hpuis, puisque Hest un sous-groupe, xi=
(x−1
i)−1∈H.
Dans les deux cas on a xi∈Hde sorte que, toujours puisque Hest un sous-
groupe, x∈Hcomme produit d’éléments de H. Cela achève la démonstration de
la deuxième étape et du théorème.
Lorsque une partie (non vide) Avérifie hAi=G, on dit que A engendre Gou
que Gest engendré par Aou encore que Aest une partie génératrice de G. Pour
bien des questions, on considère qu’on a déjà acquis une bonne connaissance du
groupe Gsi on a pu exhiber une partie génératrice la plus petite possible car on
peut alors décrire par la formule assez simple (2.3) tous les éléments du groupe.
Le cas le plus simple est celui où Aest réduit à un seul élément. Nous l’étudions
dans la partie suivante.
2.6 Groupes cycliques, ordre d’un élément
On dit qu’un groupe (G,∗)est cyclique s’il est engendré par un ensemble
réduit à un seul élément i.e. G=h{a}i. On note aussi pour alléger l’écriture
G=hai. D’après la formule (2.3), tout élément de Gs’écrit alors
x=a±1∗a±1∗ ·· ·∗ a±1=amavec m∈Z
de sorte que G={am:m∈Z}.
Il se peut que les éléments dans l’ensemble de droite ne soient pas tous deux à
deux distincts. Si on am1=am2avec, disons, m1>m2alors am1−m2=eet dans
ce cas la description de Gpeut encore être simplifiée. Appelons dle plus petit
entier strictement positif tel que ad=e. Notre supposition implique l’existence
de cet entier davec d≤m1−m2. On dit que aest d’ordre (fini) det on écrit
o(a) = d. On a G={ai:i=0,1,...,d−1}.
[2.4]
jpc / ALG