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NAO.
Particule Accélérée dans un Espace-Temps
Plat.
Bénédictus Servant ∗
Québec, Amérique du Nord
23 décembre 2016
Résumé
Dans le présent travail nous allons montrer comment on retrouve dans
le cadre du modèle des NAO le mouvement hyperbolique d’une particule
classique soumise à une accélération constante dans un espace-temps plat
(lorentzien). Cet article est aussi une révision et correction d’un article daté
de 2003 ayant pour titre : “The Ibozoo uu and Accelerated Observers in Flat
Spacetime".
∗ e-mail
: [email protected]
1
1
Introduction
Dans l’article précédent[1] nous avons montré comment on pouvait construire
un espace-temps lorentzien discret sans angles imaginaire dans le cadre du modèle des NAO. Tous déplacements considérés alors se limitaient à des mouvements inertiels ; des vitesses constantes, sans accélération. Ce qui nous intéresse
ici c’est de retrouver, dans le cadre du modèle des NAO, le comportement spatiotemporelle d’une particule de masse m soumise à une ou des accélérations. Dans
un premier temps nous allons voir comment on reproduit une accélération avec les
NAO. Ensuite nous allons retrouver le mouvement hyperbolique d’une particule
dite classique. C’est un mouvement bien connu en mécanique classique relativiste
qui résulte d’une accélération constante sur un laps de temps suffisamment long
pour atteindre une vitesse proche de celle de la lumière. Dans le but de ne pas
alourdir inutilement le formalisme mathématique nous nous contenterons de ne
considérer qu’une dimension d’espace ; mouvement à une dimension.
Dans [1] et [2] nous avons montré que l’espace-temps généré dans le cadre
du modèle des NAO était relativiste que pour de grandes échelles de longueur et
de temps (i.e. grands indices de site). Concrètement cela signifie des longueurs et
des durées grandes devant do et to où do et to sont respectivement la distance minimale et la durée minimale possible[1]. Nous avons également montré[1] que la
longueur d’onde de Compton λc d’une particule de masse m était très grande devant do . Ainsi, dans le cadre du modèle des NAO, grande échelle d’espace-temps
fait référence non seulement à l’échelle macroscopique mais aussi à l’échelle atomique.
2
Accélération
Soit un NAO de référence NR et une suite de N (i.e. N est un entier N>1) NAO
tous de même axe de rotation δ que NR. Soit j≤N un entier qui indice chaque NAO
le long de la suite. On notera Nj le NAO d’indice j de la suite. NR porte l’indice
j=0. Tournons chaque Nj autour de l’axe δ conformément à l’opération de rotation
Rδ (jφδ ) où φδ est un angle constant (i.e. indépendant de j) et très petit. On a[1] :
j
Rδ (jφδ ) =
∏ Rδ(φδ) =
m=0
j
∏ Rα(−φα)RΓ(−φΓ)Rδ0 (φδ0 ) .
m=0
2
(1)
Comme en [1] l’angle φδ est fixé (i.e. particule avec une masse au repos bien
définie) 1 . Mais contrairement à [1], l’angle θ entre les axes δ0 et δ change avec
l’indice j (i.e. θ → θ(j) ce qui implique une accélération 2 ). Dans ce cas les angles
φδ0 et φα changent aussi avec l’indice j le long de la séquence. Notons que l’axe δ0
change aussi avec l’indice j ce qui n’est pas le cas pour les axes δ et α. Néanmoin,
par définition, l’angle ψδ0 (n) est simplement la sommation des angles φδ0 (j). À j =
n les angles de rotation totaux autour des axes δ, δ0 et α de NR sont simplement :
n
ψδ = ∑ φδ = nφδ
(2)
j=0
n
ψδ0 = −1 + ∑ φδ0 (j) ,
(3)
j=0
et :
n
ψα = ∑ φα (j) .
(4)
j=0
Notons que dans (3) nous avons ajouté -1 afin que ψδ0 = 0 pour n = 0 (i.e. condition initiale). Ces équations remplacent (21)-(23) du [1]. Il faut noter que selon [1],
éqs. (14)-(16), on a pour deux NAO plus proches voisins (au site j quelconque) :
1
φδ0 (j)
'q
,
φδ
2
1 − sin θ(j)
(5)
sin θ(j)
φα (j)
'q
φδ
1 − sin2 θ(j)
(6)
φΓ ' 0 .
(7)
et
1. Cette chaîne de NAO constitue la masse m de la particule au repos (localisé en un point de
l’espace) au cours du temps propre. L’axe δ est celui du temps propre de la particule, c’est aussi
l’axe de l’énergie au repos de celle-ci ; mc2 . L’indice j (ou n) multiplié par to est la variable de
temps propre ; τ = jto .
2. L’axe δ0 est l’axe de temps de l’observateur (qui est en mouvement relatif par rapport à la
particule), c’est aussi celui de l’énergie E de la particule du point de vue de l’observateur.
3
2.1
Projections suivant les axes α et δ0 .
Sur le même NR nous nous intéressons à un autre axe de rotation que δ comme
par exemple δ0 . Recherchons une autre suite (ou chaîne) de NAO d’axe de rotation
parallèle à δ0 , séparés les uns des autres par un angle constant φδ . Comme en [1]
nous utilisons le même angle φδ que pour l’axe δ afin de conserver la même unité
angulaire. Soit jδ0 l’entier qui indice chaque NAO (noté Njδ0 ) de la suite selon l’axe
δ0 avec jδ0 = 0 pour NR. Il s’en suit que selon l’axe δ0 , Njδ0 fait un angle ηδ0 par
rapport à NR :
ηδ0 = jδ0 φδ .
(8)
ηδ0 ' ψδ0 ,
(9)
À nouveau nous imposons[1] :
la stricte égalité n’étant pas possible puisque jδ0 doit être un entier. De (3), (5), (8)
et (9) on devrait avoir :
n
1
jδ0 ' −1 + ∑ q
j=0
1 − sin2 θ(j)
(10)
où n est l’entier de site selon l’axe de rotation δ. Ce que nous venons de faire pour
l’axe δ0 nous pouvons le refaire pour l’axe α. Dans ce cas, en lieu et place de (8),
(9) et (10) on aura :
ηα = j α φ δ
(11)
ηα ' ψα ,
(12)
n
sin θ(j)
.
jα ' ∑ q
2
j=0
1 − sin θ(j)
(13)
et
Par ailleurs, nous exigeons comme en [1] que :
Rδ (ψδ ) = Rα (−ηα )RΓ (0)Rδ0 (ηδ0 )
4
(14)
soit que la rotation autour de δ avec un grand angle ψδ doit mener au même résultat
que si on tourne autour de α puis δ0 avec de grands angles −ηα et ηδ0 respectivement. On peut démontrer à partir de (14) et de la définition des opérations de
rotation que ceci n’est possible que si tous ces grands angles sont des multiples
entiers de 2π :
ψδ = 2πmδ
(15)
ηα = 2πmα ,
(16)
ηδ0 = 2πmδ0
(17)
avec mk = 0, ±1, ±2... où k ≡ δ, α, δ0 et ce quelque soit l’ordre des opérations de
rotation du membre de droite de (14). De (2) et (15) on doit donc avoir :
2π
m ,
φδ δ
(18)
2π
mα
mα = n ,
φδ
mδ
(19)
n=
de (11) et (16) puis (18) il faut que :
jα =
et enfin, (8), (17) et (18) imposent que :
jδ0 =
m0
2π
mδ0 = n δ .
φδ
mδ
(20)
Si on compare (13) à (19) puis (10) à (20) alors :
mα 1 n
sin θ(j)
' ∑q
mδ
n j=0
1 − sin2 θ(j)
(21)
1 1 n
1
mδ0
'− + ∑q
.
mδ
n n j=0
1 − sin2 θ(j)
(22)
et
Comme en [1] ces approximations sont possibles et d’autant meilleures, pour toute
valeur de n que si les entiers mδ0 , mδ et mα sont très grands (i.e. grandes échelles).
(19)-(21) nous donnent la position de la particule dans l’espace (à une dimension
dans le cas présent) et (20)-(22) donnent sa position dans le temps de l’observateur.
5
3
3.1
Mécanique classique relativiste.
Mouvement Hyperbolique
Considérons deux systèmes de référence S et S’. Lorsque les origines de S et
S’ coincides leurs horloges respectives, fixées à ces origines, marquent zéro. La
vitesse relative initiale v est aussi prise à zéro. Seule l’accélération constante g de
S’ est différente de zéro. Le mouvement est limité à une dimension dans l’espace
avec un espace-temps plat (lorentzien, sans gravitation). Imaginons une particule
de masse m immobile par rapport à S’ située en position x = 0. Elle est donc
soumise à une accélération constante g. τ est la variable continue de temps propre
de m (i.e. celui de S’) et c est la vitesse de la lumière dans le vide. X et T sont les
positions de m dans l’espace et le temps par rapport à S (i.e. un observateur pour
qui m est en mouvement). Les conditions initiales sont telles que X = 0 et T = 0
à τ = 0.
L’observateur dans S peut fixer une horloge à chaque coordonnée X comme
tout observateur inertiel peut le faire. Les horloges sont identiques et toutes sont
synchronisées de manière telle que lorsque les origines de S et S’ se croisent,
toutes marquent la même valeur soit zéro. Parce que S’ est accéléré, son observateur ne peut pas faire la même chose. Cependant, la relativité restreinte nous dit
qu’à chaque moment, S’ est instantanément au repos relativement à un troisième
système de référence S” qui est inertial (i.e. local inertial system) et dont l’origine
coïncide avec celle de S’ (i.e. “comoving” instantanément avec S’ ). Donc, théoriquement plusieurs horloges synchronizées peuvent être utilisées dans S” comme
dans S. Bien entendu, les aiguilles sur les horloges de S” coïncident avec celle
située à l’origine de S’. Le problème conciste à trouver les coordonnées de la particule en fonction de τ soit X(τ) et T(τ) et de là, la relation entre X et T. Utilisant
les conditions initiales : X = 0 à τ = T = 0, on trouve[3] :
h
i
2
X(τ) = (c /g) cosh(gτ/c) − 1
(23)
T(τ) =
g c
sinh τ .
g
c
(24)
On peut vérifier que :
c2 2
c4
X+
− (cT)2 = 2 .
g
g
6
(25)
C’est la “world line” de S’ par rapport à S ; le mouvement hyperbolique. Notons
que si l’on prend les dérivés par rapport à τ de (23) et (24) et en faisant le rapport
de ces résultats on obtient la vitesse :
v/c ≡
1 dX
= tanh(gτ/c) .
c dT
(26)
Lorsque gτ/c est petit, les équations (23)-(24) et (26) se réduisent à :
g 2
2τ
X '
(27)
T ' τ
(28)
v ' gτ ' gT
(29)
et donc :
g 2
2T
X '
,
(30)
qui est l’expression non-relativiste bien connue. Pour des fins comparatives ultérieures considérons que quelques valeurs de τ à savoir :
τ ≡ nto
(31)
a ≡ gto /c .
(32)
où n est un entier et
Ceci nous permet de réexprimer (23) et (24) de la manière suivante :
X(nto ) = x(n)cto
(33)
T(nto ) = t(n)to ,
(34)
h
i
x(n) = (1/a) cosh(na) − 1
(35)
t(n) = (1/a) sinh(na) .
(36)
avec :
7
4
Mouvement hyperbolique avec les NAO.
La question qui se pose est de savoir s’il est possible de reproduire le mouvement hyperbolique avec les NAO et comment. On sait de par [1] que l’angle θ
détermine la vitesse. De (19)-(22) et de (5)-(6) nous avons, pour les petits angles,
la vitesse “instantannée" v de la particule :
φα (j)
∆jα
=
' sin θ(j) = v/c
∆jδ0
φδ0 (j)
(37)
où ∆ représente : “la variation de ...". La vitesse limite de la particule étant c, il
est clair que l’angle θ ne peut dépasser π/2 lorsque j tend vers l’infini. De (26) et
(31) on a (en remplaçant l’entier n par j) :
v/c = tanh(aj)
où a est défini en (32). De (37) et (38) on déduit que l’on doit avoir :
θ(j) = arcsin tanh(aj) .
(38)
(39)
La figure 1 montre θ vs j (i.e. n). On constate que θ est limité comme il se doit à
π/2 lorsque j (i.e. n) devient grand.
De (19)-(22) nous pouvons écrire les fonctions suivantes :
n
sin θ(j)
jα (n) ≡ ∑ q
j=0
1 − sin2 θ(j)
(40)
n
1
jδ0 (n) ≡ −1 + ∑ q
j=0
1 − sin2 θ(j)
(41)
En inversant (39) et en l’introduisant dans (40) et (41) il est facile de vérifier que
l’on a :
n
jα (n) = ∑ sinh(aj)
(42)
j=0
n
jδ0 (n) = −1 + ∑ cosh(aj) .
j=0
8
(43)
F IGURE 1 – θ vs j (i.e. n) pour a = 6.54×10−5 . to = 10−3 sec.
À titre d’exemple, les figures 2 à 5 comparent ces dernières expressions à celles de
(35) et (36) respectivement pour une valeur donnée de a. Les résultats graphiques
montrent que les écarts relatifs en pourcentage entre ces différentes expressions
ne dépassent pas 0.004% pour les grands entiers n. Ceci peut être attribué au fait
qu’on somme sur une variable discrète j dans (42) et (43) alors que (35) et (36)
résultent d’intégrations sur une variable continue τ.
5
Conclusion
Comme le montre les résultats de ce travail il est possible, dans le cadre du modèle des NAO, de simuler un mouvement hyperbolique d’une particule de masse
m (i.e. un angle φδ selon l’axe δ entre chaque NAO d’une chaîne). Pour cela il
suffit que l’angle θ entre l’axe de temps (i.e. δ0 ) de l’observateur (qui est mobile
par rapport à m) et l’axe de temps propre (i.e. δ) de m soit dépendant de l’indice
de site j (i.e. du temps propre τ) de la façon donnée par (39).
9
F IGURE 2 –
jδ0 (n) et t(n) vs n pour a = 6.54×10−5 . to = 10−3 sec.
F IGURE 3 –
Écart relatif en pourcentage entre jδ0 (n) et t(n) vs n pour a =
−5
6.54×10 . to = 10−3 sec.
10
F IGURE 4 –
jα (n) et x(n) vs n pour a = 6.54×10−5 . to = 10−3 sec.
F IGURE 5 –
Écart relatif en pourcentage entre jα (n) et x(n) vs n pour a =
6.54×10−5 . to = 10−3 sec.
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Références
[1] Servant, B., “ NAO. Espace-Temps lorentzien discret sans angles imaginaires”, 28 nov. 2016. bservant05.blogspot.com
[2] Servant, B., “Génération d’un Espace Euclidien Discret Tridimensionnel à
partir des NAO", 10 déc. 2014. bservant05.blogspot.com
[3] Misner, C.W., Thorne, K.S. and Wheeler, J.A., Gravitation, ed. W.H. Freeman
and Company, (1973).
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