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NAO.
Particule Accélérée dans un Espace-Temps
Plat.
Bénédictus Servant ∗
Québec, Amérique du Nord
23 décembre 2016
Résumé
Dans le présent travail nous allons montrer comment on retrouve dans
le cadre du modèle des NAO le mouvement hyperbolique d’une particule
classique soumise à une accélération constante dans un espace-temps plat
(lorentzien). Cet article est aussi une révision et correction d’un article daté
de 2003 ayant pour titre : “The Ibozoo uu and Accelerated Observers in Flat
Spacetime".
∗e-mail : [email protected]
1

1 Introduction
Dans l’article précédent[1] nous avons montré comment on pouvait construire
un espace-temps lorentzien discret sans angles imaginaire dans le cadre du mo-
dèle des NAO. Tous déplacements considérés alors se limitaient à des mouve-
ments inertiels; des vitesses constantes, sans accélération. Ce qui nous intéresse
ici c’est de retrouver, dans le cadre du modèle des NAO, le comportement spatio-
temporelle d’une particule de masse m soumise à une ou des accélérations. Dans
un premier temps nous allons voir comment on reproduit une accélération avec les
NAO. Ensuite nous allons retrouver le mouvement hyperbolique d’une particule
dite classique. C’est un mouvement bien connu en mécanique classique relativiste
qui résulte d’une accélération constante sur un laps de temps suffisamment long
pour atteindre une vitesse proche de celle de la lumière. Dans le but de ne pas
alourdir inutilement le formalisme mathématique nous nous contenterons de ne
considérer qu’une dimension d’espace; mouvement à une dimension.
Dans [1] et [2] nous avons montré que l’espace-temps généré dans le cadre
du modèle des NAO était relativiste que pour de grandes échelles de longueur et
de temps (i.e. grands indices de site). Concrètement cela signifie des longueurs et
des durées grandes devant doet tooù doet tosont respectivement la distance mi-
nimale et la durée minimale possible[1]. Nous avons également montré[1] que la
longueur d’onde de Compton λcd’une particule de masse m était très grande de-
vant do. Ainsi, dans le cadre du modèle des NAO, grande échelle d’espace-temps
fait référence non seulement à l’échelle macroscopique mais aussi à l’échelle ato-
mique.
2 Accélération
Soit un NAO de référence NR et une suite de N (i.e. N est un entier N>1) NAO
tous de même axe de rotation δque NR. Soit j≤N un entier qui indice chaque NAO
le long de la suite. On notera Njle NAO d’indice j de la suite. NR porte l’indice
j=0. Tournons chaque Njautour de l’axe δconformément à l’opération de rotation
Rδ(jφδ)où φδest un angle constant (i.e. indépendant de j) et très petit. On a[1] :
Rδ(jφδ) =
j
∏
m=0
Rδ(φδ) =
j
∏
m=0
Rα(−φα)RΓ(−φΓ)Rδ0(φδ0).(1)
2

Comme en [1] l’angle φδest fixé (i.e. particule avec une masse au repos bien
définie) 1. Mais contrairement à [1], l’angle θentre les axes δ0et δchange avec
l’indice j (i.e. θ→θ(j)ce qui implique une accélération 2). Dans ce cas les angles
φδ0et φαchangent aussi avec l’indice j le long de la séquence. Notons que l’axe δ0
change aussi avec l’indice j ce qui n’est pas le cas pour les axes δet α. Néanmoin,
par définition, l’angle ψδ0(n)est simplement la sommation des angles φδ0(j).Àj=
n les angles de rotation totaux autour des axes δ,δ0et αde NR sont simplement :
ψδ=
n
∑
j=0
φδ=nφδ(2)
ψδ0=−1+
n
∑
j=0
φδ0(j),(3)
et :
ψα=
n
∑
j=0
φα(j).(4)
Notons que dans (3) nous avons ajouté -1 afin que ψδ0=0 pour n =0 (i.e. condi-
tion initiale). Ces équations remplacent (21)-(23) du [1]. Il faut noter que selon [1],
éqs. (14)-(16), on a pour deux NAO plus proches voisins (au site j quelconque) :
φδ0(j)
φδ
'1
q1−sin2θ(j)
,(5)
φα(j)
φδ
'sinθ(j)
q1−sin2θ(j)
(6)
et
φΓ'0.(7)
1. Cette chaîne de NAO constitue la masse m de la particule au repos (localisé en un point de
l’espace) au cours du temps propre. L’axe δest celui du temps propre de la particule, c’est aussi
l’axe de l’énergie au repos de celle-ci; mc2. L’indice j (ou n) multiplié par toest la variable de
temps propre; τ=jto.
2. L’axe δ0est l’axe de temps de l’observateur (qui est en mouvement relatif par rapport à la
particule), c’est aussi celui de l’énergie E de la particule du point de vue de l’observateur.
3

2.1 Projections suivant les axes αet δ0.
Sur le même NR nous nous intéressons à un autre axe de rotation que δcomme
par exemple δ0. Recherchons une autre suite (ou chaîne) de NAO d’axe de rotation
parallèle à δ0, séparés les uns des autres par un angle constant φδ. Comme en [1]
nous utilisons le même angle φδque pour l’axe δafin de conserver la même unité
angulaire. Soit jδ0l’entier qui indice chaque NAO (noté Njδ0) de la suite selon l’axe
δ0avec jδ0=0 pour NR. Il s’en suit que selon l’axe δ0, Njδ0fait un angle ηδ0par
rapport à NR :
ηδ0=jδ0φδ.(8)
À nouveau nous imposons[1] :
ηδ0'ψδ0,(9)
la stricte égalité n’étant pas possible puisque jδ0doit être un entier. De (3), (5), (8)
et (9) on devrait avoir :
jδ0' −1+
n
∑
j=0
1
q1−sin2θ(j)
(10)
où n est l’entier de site selon l’axe de rotation δ. Ce que nous venons de faire pour
l’axe δ0nous pouvons le refaire pour l’axe α. Dans ce cas, en lieu et place de (8),
(9) et (10) on aura :
ηα=jαφδ(11)
ηα'ψα,(12)
et
jα'
n
∑
j=0
sinθ(j)
q1−sin2θ(j)
.(13)
Par ailleurs, nous exigeons comme en [1] que :
Rδ(ψδ) = Rα(−ηα)RΓ(0)Rδ0(ηδ0)(14)
4

soit que la rotation autour de δavec un grand angle ψδdoit mener au même résultat
que si on tourne autour de αpuis δ0avec de grands angles −ηαet ηδ0respecti-
vement. On peut démontrer à partir de (14) et de la définition des opérations de
rotation que ceci n’est possible que si tous ces grands angles sont des multiples
entiers de 2π:
ψδ=2πmδ(15)
ηα=2πmα,(16)
ηδ0=2πmδ0(17)
avec mk=0, ±1, ±2... où k ≡δ,α,δ0et ce quelque soit l’ordre des opérations de
rotation du membre de droite de (14). De (2) et (15) on doit donc avoir :
n=2π
φδ
mδ,(18)
de (11) et (16) puis (18) il faut que :
jα=2π
φδ
mα=nmα
mδ
,(19)
et enfin, (8), (17) et (18) imposent que :
jδ0=2π
φδ
mδ0=nmδ0
mδ
.(20)
Si on compare (13) à (19) puis (10) à (20) alors :
mα
mδ
'1
n
n
∑
j=0
sinθ(j)
q1−sin2θ(j)
(21)
et
mδ0
mδ
' −1
n+1 n
n
∑
j=0
1
q1−sin2θ(j)
.(22)
Comme en [1] ces approximations sont possibles et d’autant meilleures, pour toute
valeur de n que si les entiers mδ0, mδet mαsont très grands (i.e. grandes échelles).
(19)-(21) nous donnent la position de la particule dans l’espace (à une dimension
dans le cas présent) et (20)-(22) donnent sa position dans le temps de l’observa-
teur.
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