Colle 0 mathématiques

mp* 2016-2017 : programme 0
12 septembre 2016
I
I.1
S1 : Suites et séries numériques
P
Si f est positive décroissante C 0 par morceaux sur [a, +∞[,
f (n) converge si et
seulement si f est intégrable(*).
Application au critère de convergence des séries de P
Riemann(*).
Approfondissement
:
si
f
est
positive
décroissante,
wn converge, avec
Z
Préliminaires
Définition d’une relation d’ordre ; ordre partiel (ex : ⊂), ordre total (ex : ≤). Elément
wn =
maximal. Une partie non vide majorée de R admet une borne supérieure.
I.2
Suites de nombres réels ou complexes
I.5
P
Séries de nombres réels ou complexes
Sommes partielles ; convergence, divergence. « Somme » d’une série convergente.
Condition nécessaire de convergence, divergence grossière.
Séries géométriques (convergence et somme)(*).
Restes d’une série convergente.
Théorème des séries alternées (ne pas oublier la majoration du reste. . .)(*).
Convergence absolue : elle implique la convergence.
I.4
f − f (n)(*).
n−1
Application au DA à deux termes de la somme partielle de la série harmonique,
constante d’Euler (exercice à savoir faire).
Détermination de la nature d’une série à termes réels positifs par comparaison (utilisation de o, O, ∼).
Comparaison logarithmique, critère de d’Alembert.
Ecriture d’une limite « avec les ».
Une suite monotone bornée de réels converge.
Théorème des suites adjacentes, théorème des segments emboîtés.
Principe d’étude d’une suite un+1 = f (un ) avec f « simple ».
I.3
n
Séries de réels positifs
(un+1 − un ) a même nature que (un ).
II
II.1
Ag1 : Groupes, anneaux, corps
Groupes
Définition, groupe abélien. Sous-groupes, morphismes de groupes. Noyau, image, caractérisation de l’injectivité. Isomorphisme. Sous-groupe engendré par une partie. Puissances d’un élément d’un groupe.
II.2
Critère de convergence (la suite des sommes partielles est majorée).
Correspondance suites/séries
Anneaux, corps
Anneau (toujours commutatif). Groupe des éléments inversibles.
f (k) Corps.
Anneau intègre.
p
R
Rq
par deux intégrales f lorsque f est monotone. Et savoir encadrer une intégrale p f Sous-anneau.
P
Calcul dans un anneau : formule du binôme pour des éléments qui commutent, factopar deux sommes
f (k) lorsque f est monotone.
n
n
Définition deZ l’intégrabilité sur [a, +∞[ d’une fonction positive continue par morceaux risation de a − b si a et b commutent, cas particulier a = 1A .
Comparaison de sommes et d’intégrales. Il faut savoir encadrer une somme
q
X
x
f ).
(à l’aide de
a
Rien d’autre que cette définition n’est exigible au sujet de l’intégration, pour l’instant.