DEVOIRS DE MATHEMATIQUES 1S1

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES
1S1
Année scolaire 2014-2015
1
Les devoirs non surveillés
DNS
DNS
DNS
DNS
DNS
DNS
DNS
DNS
1
2
3
4
5
6
7
8
2
Les devoirs surveillés
DS
DS
DS
DS
DS
DS
DS
1
2
Commun Décembre
4
5
6
Commun Avril
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No 1
Exercice 1
Soient f et g les fonctions définies sur R par : f (x) = −x3 + 4x et g(x) = −x2 + 4.
b. En déduire une résolution algébrique de
l’inéquation f (x) 6 g(x).
On a tracé sur le graphique ci-contre les courbes représentatives de f et de g.
1) Associer chaque courbe à la fonction qu’elle
représente. Justifier succintement.
y
4
2) Déterminer graphiquement le nombre de solutions des équations :
a) f (x) = 0 ;
c) f (x) = g(x).
3
b) g(x) = 0 ;
2
1
3) Résoudre par le calcul : f (x) = 0 et g(x) = 0
4) Résoudre graphiquement : f (x) 6 g(x).
5) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats suivants :
~
−3
−2
−1
1 factor(-x^3+x^2+4*x-4);
− (x − 2)(x − 1)(x + 2)
a. Interpréter ces deux lignes.
~ı
1
2
3 x
−2
−3
−4
−5
La méthode d’Al-Khawarizmi
Exercice 2
1)
O
−1
a. Prouver que l’équation x2 + 10x = 96 équivaut à (x + 5)2 = 121.
b. En déduire les solutions de l’équation x2 + 10x = 96.
2) Pour déterminer une solution positive de l’équation x2 + 10x = 96, voici comment procédait AlKhawarizmi (mathématicien arabe du IXè a ) :
Diviser 10 par 2.
Élever ce quotient au carré.
Additionner ce carré à 96.
Prendre la racine carrée de cette somme.
Retrancher à ce résultat le quotient du début.
a. Vérifier que l’algorithme donne bien une solution positive de cette équation.
b. Trouver en utilisant la méthode d’Al-Khawarizmi une solution positive de l’équation
x2 + 8x = 2009.
c. En admettant que ce procédé donne la seule solution positive pour des équations du type
x2 + bx = c où b et c sont deux nombres positifs, écrire un algorithme qui mette en œuvre cette
méthode.
a. Il est à l’origine du mot « algorithme » (qui n’est autre que son nom latinisé : "algoritmi")
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No 2
Une aire minimale
Exercice 1
ABCD est un carré de côté 7 cm. À partir d’un point M du segment [AD], on le découpe en quatre rectangles comme l’indique la figure ci-contre. On note S l’aire du domaine coloré.
1) On note AM = x. Dans quel intervalle, noté I, varie x ?
2) Démontrer que l’aire S est une fonction de x définie sur I par :
S(x) = 2x2 − 14x + 49.
3) Mettre S sous forme canonique et en déduire les coordonnées
du sommet de la parabole représentant S
4) Dresser en justifiant le tableau de variations de S sur I
5) Déterminer la position de M sur [AD] telle que l’aire S soit minimale.
C
D
M
x
A
B
x
6) Déterminer les différentes positions du point M pour lesquelles
l’aire S soit supérieure ou égale à 29 cm2 .
Exercice 2
Avec un changement de variable
Dans cet exercice on se propose de résoudre l’équation (E) : 2x4 − 9x3 + 8x2 − 9x + 2 = 0 à l’aide d’un
changement d’inconnue.
1) 0 est-il solution de (E) ?
2) Démontrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation (E’) : 2x2 − 9x + 8 −
1
3) Pour tout réel x non nul on pose X = x + .
x
2
a. Calculer X en fonction de x.
9 2
=0
+
x x2
b. En déduire que l’équation (E’) équivaut à 2X2 − 9X + 4 = 0
c. Résoudre l’équation 2X2 − 9X + 4 = 0 puis en déduire les solutions de l’équation (E)
Exercice 3
Une parabole P coupe l’axe des abscisses en -1 et 5 et passe par le point C(2; −18).
Calculer les coordonnées de son sommet.
Problème ouvert
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No 3
Exercice 1
Le plan est muni d’un repère (O ; #»
ı , #»
 ).
P est la parabole d’équation y = x2 − 4x + 3 et Dm est la droite d’équation y = mx + 2 où m est un réel
quelconque.
L’objectif de cet exercice est de déterminer quel est le nombre de points d’intersection de la parabole
P et de la droite Dm selon les valeurs de m.
Partie A. Étude d’un cas particulier : m = 1
1) Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de D1 si et seulement si x est solution
de x2 − 4x + 3 = x + 2.
2) Résoudre cette équation.
3) En déduire le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la droite D1 .
Partie B. Cas général : m quelconque
1) Une conjecture
À l’aide du logiciel Ge Gebra et d’un curseur m, représenter P et Dm et conjecturer, selon les valeurs
de m, le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la droite Dm .
On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et on joindra une copie d’écran de son
fichier Geogebra à sa copie.
2) Résolution algébrique du problème
a. Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de Dm si et seulement si x est
solution de l’équation
Em : x2 − (4 + m)x + 1 = 0
b. Déterminer, en fonction de m, l’expression du discrimant ∆m de l’équation Em .
c. Déterminer le signe de ∆m selon les valeurs de m.
d. En déduire le nombre de solutions de l’équation Em selon les valeurs de m.
e. Conclure.
Exercice 2
On considère un triangle ABC non aplati.
#»
# »
# » # » #»
1) Construire les points D et E défini par AD = 2AB + AC et BE = 13 BC.
#»
#»
# »
2) Montrer que AE = 32 AB + 13 AC.
3) En déduire que A, E et D sont alignés.
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No 4
Exercice 1
On considère l’algorithme ci-contre.
1) Que renvoie l’algorithme pour x = 4 ?
2) Cet algorithme calcule l’image d’une certaine
fonction. Laquelle ?
3) Quelle fonction obtiendrait-on en permutant
les lignes 4 et 5 ?
1
2
3
4
5
6
7
8
ENTREE
LIRE X
INSTRUCTIONS
X PREND LA VALEUR X+3
X PREND LA VALEUR X^2
X PREND LA VALEUR 5X
SORTIE
AFFICHER X
Exercice 2
Une catapulte, située sur un sol parfaitement ho- sol, ces deux valeurs étant exprimées en mètres.
rizontal, envoie un projectile dont la trajectoire est Le repère ci-dessous schématise la situation.
une parabole.
y
Si la catapulte est placée en O, origine du repère, on
admet que la trajectoire est d’équation
y=−
x2
+x
80
x
où x, réel positif, en abscisse, est la position horizontale du projectile par rapport à la catapulte et y, en
ordonnée, est l’altitude du projectile par rapport au Tous les résultats devront être justifiés par le calcul.
1) À quelle distance de la catapulte le projectile retouchera-t-il le sol ?
2) Quelle sera l’altitude maximale du projectile ?
3) Le tir doit franchir un mur de 7,2 mètres de haut (qu’on considèrera d’épaisseur négligeable). Où doit
se situer le pied du mur pour que ce franchissement soit possible ?
Exercice 3
ABCD est un parallélogramme.
#»
#»
I est le milieu de [AD], E est le point tel que AE = 3AB et F est le symétrique de I par rapport à D.
1) Construire les points I, E et F sur la figure ci-desous.
# »
#»
# »
#»
#»
2) a. Exprimer DF en fonction de AD. En déduire que EF = −3AB + 1, 5AD.
#»
#» # »
b. Exprimer EC en fonction de AB et AD.
c. Que peut-on en déduire pour les points E, C et F ? Justifier.
3) Montrer que les droites (BI) et (EF) sont parallèles.
B
b
b
A
b
b
D
C
1S
DEVOIR NON SURVEILLE
Soit f la fonction définie sur 0 ;   par f ( x)  x 
à rendre le 21/11/2014
1
x
1) à l’aide d’un logiciel ou d’une calculette émettre une conjecture sur le sens de variation de f
2) démontrer que pour tous réels a, b strictement positifs :
f (b)  f (a) 
(b  a)(ab  1)
ab
3) on suppose 1  a  b ; déterminer dans ce cas le signe de f (b)  f (a ) ; qu’en déduit-on sur les
variations de f ?
4) on suppose 0  a  b  1 ; déterminer dans ce cas le signe de f (b)  f (a ) ; qu’en déduit-on sur les
variations de f ?
5) donner le tableau de variation de f
6) démontrer que pour tout réel m strictement supérieur à 2 , l’équation f ( x )  m possède deux
solutions dont on donnera les expressions en fonction de m
7) soit a un réel tel que a 
1
1
 3 ; démontrer que a 2  2  7
a
a
(d’après Concours Général)
2 x 2  3x  2
8) soit g la fonction définie sur 0 ;   par g( x) 
x
a) à l’aide d’un logiciel ou d’une calculette émettre une conjecture sur le sens de variation de g
b) démontrer que pour tout x , x  0 , on a : g ( x)  2 f ( x)  3
c) en déduire le sens de variation de g
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No 6
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 4x2 + 4x − 3.
1) Déterminer, en justifiant, le tableau de variation de f .
1
1
2) Soit g la fonction définie par g(x) =
−
.
2x − 1 2x + 3
a. Déterminer l’ensemble de définition de g, noté Dg .
4
.
f (x)
c. En déduire, en justifiant, le tableau de variation de g.
b. Montrer que, pour tout x appartenant à Dg , g(x) =
Exercice 2
1) Sur le cercle trigonométrique, pourquoi les nombres
5π
8
et
117π
8
repèrent-ils le même point ?
2) Trouver la mesure principale d’un angle orienté de mesure :
a)
−5π
3
−117π
7
est π6 .
b)
#»; #»
3) Une mesure de ( u
v)
Dans chacun des cas suivant, donner une mesure de l’angle orienté indiqué :
#»; 2 #»
#»)
#»)
a) ( u
v)
b) ( #»
v ; −2 u
c) (− #»
v ;−u
Exercice 3
Soit m un nombre réel. On considère la droite ∆m d’équation cartésienne, (1 + m)x + (1 − m)y − 6 = 0.
1) Montrer qu’il existe un point A commun à toutes les droites ∆m , quelque soit la valeur de m.
2) Pour chacun des cas suivants, déterminer la valeur de m, puis donner l’équation cartésienne de ∆m .
a. La droite ∆m passe par le point B(1; −1).
b. La droite ∆m est parallèle à l’axe des ordonnées.
!
1
#»
c. Le vecteur u
est un vecteur directeur de ∆m .
−1
d. La droite ∆m a pour coefficient directeur 3.
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No 7
Exercice 1
La courbe C est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur R, dans un repère
orthogonal (O ; #»
ı , #»
 ).
1) Déterminer graphiquement :
C
a. f (0) et f ′ (0) ;
10
b. f (−1) et f ′ (−1) ;
c. f (2) et f ′ (2) ;
d. L’équation de la tangente (TA) au point d’abscisse −1 ;
5
e. L’équation de la tangente (TB) au point d’abscisse 0.
2) La droite (T) tangente à la courbe C au point
d’abscisse −2 et d’ordonnée −1 passe par le
point C de coordonnées (1 ; 26)
A
b
b
~
-3
-2
-1 0
b
B
~ı 1
b
2
3
4
a. Déterminer par le calcul une équation de (T).
b. En déduire f ′ (−2).
-5
c. Représenter (T) sur le graphique ci-contre
Position d’une courbe par rapport à l’une de ses tangentes
Exercice 2
5
Dans un repère (O ; #»
ı , #»
 ) on a tracé la courbe représentative Cf de la
fonction f définie sur R par f (x) = x3 et (T) la tangente à Cf au point
A d’abscisse 1.
4
3
2
1) Déterminer par le calcul f (1) et f ′ (1). En déduire l’équation de
la droite (T).
A
1
~
0
2) Démontrer que étudier la position relative de Cf par rapport à
(T) revient à étudier le signe de x3 − 3x + 2.
O ~ı
−1
−2
−3
3) Vérifier que pour tout nombre x,
(C f )
x3 − 3x + 2 = (x − 1)(x2 + x − 2).
−4
−5
−4 −3 −2 −1
4) En déduire alors la position relative de Cf par rapport à (T).
0
1
2
3
4
Exercice 3
1) Résoudre dans R les équations suivantes :
a. cos(x) = 12 .
b. cos(x) = −1.
2) Déterminer les racines du trinôme 2t 2 + t − 1 = 0.
3) On se propose de résoudre dans l’intervalle [0; 2π[ l’équation : 2 cos2 (x) + cos(x) − 1 = 0.
a. Quelles sont les valeurs possibles de cos(x) ?
b. En déduire les solutions de l’équation 2 cos2 (x) + cos(x) − 1 = 0 sur [0; 2π[
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No 8
Exercice 1
Un fermier décide de réaliser un poulailler (de forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce
poulailler devra avoir une aire de 392 m2 . Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la
clôture soit minimale ?
La figure ci-dessous représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance
séparant chaque piquet au mur et y la distance entre les deux piquets A et B. (On a donc x > 0 et y > 0).
1) Sachant que l’aire du poulailler est de 392 m2 , exprimer y en fonction de x.
2) Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x) =
2x2 +392
x
3) Calculer la dérivée l 0 de l. En déduire le tableau des variations de l.
4) En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette
longueur.
Mur de la ferme
x
x
A
B
y
Exercice 2
Une entreprise veut réaliser les deux montants latéraux d’un toboggan.
La courbe qui modélise le toboggan est définie
comme une partie de la représentation graphique
C d’une fonction f dans un repère orthonormé
(O ; #»
ı , #»
 ) d’unité graphique 2 cm.
La partie utile de la courbe C qui modélise le toboggan est délimitée par les points B et C de coordonnées B(0, 5; 2) et C(2; 0, 2) comme le suggère le dessin
ci-contre.
La fonction f est définie, pour tout nombre réel x
strictement positif, par :
A
2
b
b
B
1
0,2
C
b
b
−1
-0,5 0
0,5
1
2D
b
f (x) = a + .
x
où a et b sont deux nombres réels.
1) Déterminer a et b.
2) On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0, 5; 2] par :
f (x) = −0, 4 +
1, 2
.
x
a. On note f 0 la fonction dérivée de f .
Calculer f 0 (x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0, 5; 2].
b. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0, 5; 2] et dresser le tableau de
variation de f .
c. Déterminer une équation de la tangente T à C au point J d’abscisse 1.
En déduire les coordonnées du point E intersection de T avec l’axe des abscisses.
Tracer sur le graphique précédent la droite T et placer les points J et E.
d. A l’aide du triangle OAE et du polygone OABJCD, donner un encadrement de l’aire grisée.
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR SURVEILLE No 1
On ne détaillera qu’une seule fois la résolution des équations du second degré dans le devoir.
Exercice 1
On a représenté ci-contre 3 paraboles représentant
trois polynomes du second degré f , g et h.
Cf
5
4
1) Compléter le tableau suivant avec les signes
des coefficients.
3
(∆ désigne le discriminant du trinôme, a le
2
coefficient de x2 , c le terme constant, α et
β les coefficients de la forme canonique).
1
∆
a
c
α
β
f (x)
−6 −5 −4 −3 −2 −1
g(x)
−1
h(x)
−2
2) Etablir, en justifiant, les expressions de f (x) et
−3
g(x).
1
2
−4
Cg−5
−6
Exercice 2
On considère l’algorithme ci-dessous :
Algorithme: Qui suis-je ?
Variables : a, b, c, d et e
Entrées : a, b et c trois réels tels que a , 0
Traitement
d reçoit −b/(2a)
e reçoit a ∗ d 2 + b ∗ d + c
Fin
Sorties : Afficher d et e
1) Appliquer cet algorithme avec les valeurs : a = 2, b = 5 et c = −3 lues en entrée.
2) Quel est le rôle de cet algorithme ?
Exercice 3
Soit f et g les fonctions définies sur R par f (x) = −2x2 + x + 2 et g(x) = −x − 10.
1) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cf avec les axes du repère.
2) Etablir la forme canonique de f (x) puis construire le tableau de variation de f .
3) Etudier la position relative de Cf par rapport Cg .
Exercice 4
Résoudre l’inéquation suivante :
2x2 − 2x + 9
>3
x+4
3
4
5
Ch
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR SURVEILLE No 2
6 points
Exercice 1
Cet exercice est un QCM.
Pour chaque affirmation une seule réponse est exacte.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre de la proposition exacte.
Vous justifierez vos réponses.
1) La droite d’équation cartésienne, −4x + 3y + 1 = 0 a pour vecteur directeur :
!
!
!
−3
−3
4
#»
#»
#»
c. u 3
b. u 2
a. u 1
−4
4
3
2) La droite d’équation cartésienne, 2x + 3y − 8 = 0 passe par le point :
a. A(1; 2)
b. B(3; 2)
c. C(0; 4)
3) La droite d’équation cartésienne, −4x + 2y + 3 = 0 est parallèle à la droite d’équation :
a. −6x − 3y − 1 = 0
b. x + 21 y + 1 = 0
a. 2x + y − 1 = 0
b. −x + 2y − 3 = 0
c. y = 2x + 3
!
−1
#»
4) La droite passant par le point A(1; 2) et de vecteur directeur u
a pour équation cartésienne :
2
c. −2x − y + 4 = 0
5) Soit les quatre points du plan : M(x; 5), A(2; 4), R(3, x − 1) et E(2; 1).
Les droites (MA) et (ER) sont :
a. sécantes pour tout réel x de R
b. parallèles pour deux valeurs de x distinctes
8 points
Exercice 2
ABCD et AIKJ sont deux parallélogrammes disposés comme l’indique la figure ci-dessous.
D
b
b
J
b
b
C
#» 2 # » #» 1 # »
AI = AB et AJ = AD.
3
2
K
M
b
b
A
b
b
I
B
Le point M est l’intersection des droites (DI) et (BJ).
#» #»
On se propose de démontrer que les points M,K et C sont alignés. On choisit le repère (A; AI, AJ).
1) Quelles sont les coordonnées de B,C,D K ? (Justifier)
2) Démontrer que 2x + y − 2 = 0 est une équation cartésienne de (DI)
3) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BJ) et en déduire les coordonnées du point M .
4) Répondre alors au problème posé.
Tournez s.v.p
N
6 points
Exercice 3
On a mesuré la quantité en µg/L (microgramme par litre), d’une certaine molécule M dans le sang d’un
groupe 50 personnes :
Quantité (µg/L)
Effectifs
1)
130
2
135
3
140
3
145
5
150
3
155
4
160
5
165
5
170
5
175
6
180
3
185
2
a. Calculer la moyenne x et de l’écart-type σ de cette série. On pourra utiliser la calculatrice.
Arrondir les résultats à 0,1 près.
b. Les personnes dont la quantité de molécule M dans le sang n’appartient pas à l’intervalle
[x − σ; x + σ] seront convoquées pour réaliser une deuxième prise de sang.
Quelle est la part, en pourcentage, de personnes à convoquer ?
2)
a. Déterminer, en justifiant, la médiane et les quartiles de cette série statistique.
b. Tracer ci-dessous le diagramme en boîte de cette série.
5
4
3
2
1
0
-1
Diagramme en boîte :
190
4
1S
DS commun : 2h
Décémbré 2014
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante
dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Ce sujet comporte trois exercices.
Le barème est donné à titre indicatif pour vous permettre de gérer au mieux les deux heures.
EXERCICE 1 (5 points)
Vrai/Faux
Pour chaque affirmation, vous indiquerez si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse (toute mauvaise
réponse ou réponse non justifiée ne rapportera aucun point).
Pour lés quéstions 1 ét 2, lé plan ést muni d’un répèré (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗).
5
2
1. Soit 𝑑1 d’équation : 5𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, et 𝑑2 d’équation : 𝑦 = − 𝑥 + 3.
Les droites 𝑑1 et 𝑑2 sont sécantes.
2. On considère le triangle de sommet les trois point : 𝐴(−2; 2), 𝐵(2; −1) et 𝐶(−1; 2).
Une équation de la médiane issue de 𝐶 dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 est :
4𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0.
3. Lé plan ést muni d’un répèré orthonormé (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗). On considère les points 𝐴(−3; 2), 𝐵(−2; 4), 𝐶(4; 1), et 𝐼
le milieu du segment [𝐴𝐵].
⃗⃗⃗⃗⃗ est :
La norme (longueur) du vecteur 𝐴𝐼
√47
.
2
4. Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle non aplati.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est :
Une équation de la droite (𝐵𝐶) dans le repère (𝐴; 𝐴𝐵
5. L’anglé oriénté de vecteur (𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗) a pour mesure
273𝜋
.
12
La mésuré principalé dé l’anglé oriénté dé véctéur (𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗) est :
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.
−𝜋
.
4
TSVP
1S_devoir commun_décembre 2014
Page 1/2
EXERCICE 2 (9 points)
Fonctions associées
Partie 1
On considère la fonction 𝑢 définie sur ℝ par 𝑢(𝑥) = 2𝑥 2 − 6𝑥 + 9.
1. Déterminer le tableau de variation de la fonction u, en justifiant soigneusement le résultat.
2. Expliquer pourquoi la fonction √𝑢 est définie sur ℝ. On justifiera soigneusement le résultat.
3. Déterminer le tableau de variation de la fonction √𝑢 sur ℝ, en citant un théorème du cours.
Partie 2
On considère un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷, tel que 𝐴𝐵 = 3 et 𝐴𝐷 = 2.
On place un point 𝑀 sur le segment [𝐴𝐵],
et un point 𝑁 sur le segment [𝐵𝐶] tels que 𝐴𝑀 = 𝐵𝑁.
On note 𝑥 la longueur 𝐴𝑀.
1. À quel intervalle 𝐼 appartient le réel 𝑥?
2. Calculer la longueur 𝑀𝑁 en fonction de 𝑥.
3. On désigne par 𝑓 la fonction qui à un réel 𝑥 dé l’intérvallé 𝐼 associe la longueur 𝑀𝑁.
En vous servant de la partie 1, donner le tableau de variation de la fonction 𝑓.
4. Où doit-on placer le point 𝑀 sur le segment [𝐴𝐵] pour que la distance 𝑀𝑁 soit minimale?
7
5. Si le point 𝑀 est à une distance supérieure à 1 et inférieure à du point 𝐴, dans quel intervalle varie la
4
distance 𝑀𝑁?
EXERCICE 3 (6 points)
Deux alignements, deux méthodes.
Alignement 1
Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral direct.
Les triangles 𝐷𝐵𝐴 et 𝐴𝐶𝐸 sont rectangles isocèles directs.
(On a donc 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐶𝐸).
1. Donner la mesure principale des angles orientés suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
a. (𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b. (𝐴𝐶
𝐴𝐸 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) est
2. Montrer qu’une mesure de l’angle orienté (𝐴𝐷
5𝜋
12
(on pourra travailler dans le triangle 𝐴𝐵𝐷).
3. En déduire l’alignement des points 𝐷, 𝐴 et 𝐸.
Alignement 2
On considère un triangle 𝐴𝐵𝐶.
Les points 𝐸 et 𝐹 sont définis par les relations vectorielles suivantes :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 2𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐹
3
1. Faire une figure
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
2. Montrer que 𝐴𝐹
3
3
3. En déduire que les points 𝐴, 𝐸 et 𝐹 sont alignés.
1S_devoir commun_décembre 2014
Page 2/2
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR SURVEILLE No 4
Exercice 1
À l’aide de la représentation graphique ci-contre de
la fonction f , donner les valeurs de :
7
b
6
5
b
b
4
• f (−2), f (1), f (3) et f (5).
3
2
b
1
• f ′ (−2), f ′ (1), f ′ (3) et f ′ (5).
b
b
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
−2
3
4
5
6
b
−3
Exercice 2
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée.
1) f (x) = −5x3 + 4x2 − 9x − 5
3) f (x) = (7x − 2)2
2) f (x) =
4) f (x) =
Exercice 3
1
3x − 5
√
5) f (x) = (x − 2) x
2 3x
−
5x 4
Sur le graphique ci-contre C1 et C2 sont les courbes
représentatives des fonctions f et g définies sur R
par :
2
2
f (x) = −x + 10x − 19 et g(x) = x − 2x − 1
1) Attribuez à chaque fonction sa courbe. (Justifier)
2) Démontrer que ces courbes ont un unique
point commun A dont on précisera les coordonnées.
3) Démontrer qu’en ce point les deux courbes ont
une tangente commune.
4) Tracer sur le graphique ci-contre cette tangente.
C1
7
6
5
4
3
2
1
C2
1
−3 −2 −1−1
−2
−3
−4
2
3
4
5
6
Exercice 4
La courbe (Cf ) représentée ci-contre est une partie
de la représentation graphique de la fonction f déax2 − x + b
finie sur R∗ par : f (x) =
où les coefficients
x
sont à déterminer.
1) Déterminer graphiquement f (1), f ′ (1).
2) Déterminer f ′ (x) en fonction de a et de b.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−1
(C f )
A
~
O
0
~ı
1
2
3
4
5
3) En utilisant les valeurs trouvées
dans les questions précédentes, démontrer que les réels a et b véri


a + b = 5

fient le système suivant : 
.


a − b = −3
4) Résoudre le système et en déduire alors l’expression de f (x).
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR SURVEILLE No 5
Exercice 1
Soient A, B et C les points dont les coordonnées dans un repère orthonormé (O ; #»
ı , #»
 ) sont A(3 ;2), B(0 ;5)
et C(-2 ;-1).
1) Placer les points dans le repère et tracer le triangle ABC.
#» # »
2) Calculer les normes des vecteurs AB et AC.
#» # »
3) Calculer le produit scalaire AB · AC.
[ à un degré près.
4) En déduire la mesure de l’angle BAC
Exercice 2
ABCD est un rectangle de longueur 4 cm, de largeur 3 cm et de centre O.
Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (AC).
4
A×
1) En décomposant judicieusement à l’aide de la relation de
# » #»
# » #»
Chasles les vecteurs CA et BD, montrer que CA · BD = 7.
# »
2) En exprimant d’une autre manière le produit scalaire CA ·
#»
BD, déterminer HK.
×
×
K
O
×
3
H
D
B
×
×
×
C
Exercice 3
Pour chacune des trois affirmations suivantes, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte.
Aucune justification n’est attendue.
Dans un repère orthonormé (O ; #»
ı , #»
 ) on considère la droite ∆ d’équation x + 4y − 3 = 0 et le cercle C de
centre Ω(3; −2) et passant par le point A(−2, 1).
1) Le vecteur u
~ (−4; 1) est un vecteur :
a. directeur de ∆
b. normal à ∆
c. ni l’un ni l’autre.
2) La droite D d’équation 12x − 3y + 5 = 0 est :
a. parallèle à ∆
b. perpendiculaire à ∆
c. ni l’un ni l’autre.
3) La droite T, tangente en A à C a pour équation :
a. 5x − 3y + 13 = 0
b. 5x − 3y − 13 = 0
c. 3x + 5y + 1 = 0
Exercice 4
Tous les résultats de cet exercice seront justifiés par un calcul.
On construira une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
On considère, dans un repère (O ; #»
ı , #»
 ), les points A(0 ; −1), B(4 ; 3) et C(2 ; −5).
−−→ −−→
1) Calculer AB · AC . Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
2)
a. Montrer que la médiatrice ∆1 de [AC] admet pour une équation cartésienne x − 2y − 7 = 0 .
b. On admet que la médiatrice ∆2 de [AB] admet pour équation x + y − 3 = 0.
En déduire les coordonnées du centre Ω du cercle circonscrit C au triangle ABC.
c. Placer Ω et tracer C.
Lycée Gustave Eiffel
1èreS 2014/2015
DEVOIR SURVEILLE No 6
Exercice 1
On rappelle que le volume d’une pyramide est le tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur.
Au centre d’un hall d’exposition, on doit monter
deux stands en toile réservés à l’accueil des visiteurs.
Le premier a la forme d’une pyramide régulière à
base carrée et le second celle d’un cube ; ils sont accolés à la base par un côté et s’étalent sur une longueur totale de 10 m.
Pour des raisons esthétiques, le responsable de la décoration exige que la hauteur de la pyramide soit
égale au côté de sa base et souhaite que l’aire totale
occupée au sol par ces deux stands soit la plus petite
possible.
Le responsable technique souhaite que le volume total de ces deux stands soit le plus petit possible pour
permettre une économie d’énergie.
Ils s’adressent à l’ingénieur en chef (c’est vous) pour qu’il trouve la meilleure solution.
On note x la longueur, et donc la hauteur, en mètres de la pyramide, x étant compris entre 0 et 10.
On note A la fonction qui à x associe l’aire totale occupée au sol par les deux stands et V la fonction qui à
x associe leur volume total, ces deux fonctions étant définies sur [0; 10].
1)
a. Calculer A(x) en fonction de x.
b. Déterminer le sens de variation de la fonction A, dresser son tableau de variation et préciser son
minimum sur [0; 10].
2)
a. Montrer que V (x) = − 32 x3 + 30x2 − 300x + 1000.
b. Déterminer le sens de variation de la fonction V , dresser son tableau de variation et préciser son
minimum sur [0; 10]. En donner une valeur approchée arrondie à l’unité.
3) Vous êtes l’ingénieur : quelle valeur entière de x choisiriez-vous ? Expliquer votre choix
Exercice 2
Forage
Une entreprise estime le coût d’un forage ainsi :
• le premier mètre coûte 1 000 euros.
• Le second mètre coûte 1 050 euros et chaque mètre supplémentaire coûte 50 euros de plus que le
précédent.
• On dispose d’un crédit de 519 750 A
C.
On appelle (un ) la suite telle que u1 = 1 000 et un représente de coût du ne mètre.
1) Montrer que (un ) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
Exprimer alors un en fonction de n.
2) Exprimer en fonction de n la somme S = u1 + u2 + · · · + un .
3) Montrer que le nombre de mètres n que l’on peut forer avec le crédit alloué vérifie :
n2 + 39n − 20 790 = 0
4) Quelle est alors la profondeur du forage ?
Exercice 3
Le gérant d’un parc d’attractions note chaque année le nombre de visiteurs. Il obtient les résultats suivants :
Année
Nombre de visiteurs
2005
40000
2006
48000
2007
57600
On note u0 le nombre de visiteurs en 2005, u1 le nombre de visiteurs en 2006 et u2 le nombre de visiteurs
en 2007.
1)
a. Les nombres u0 , u1 et u2 forment-ils une suite arithmétique ?
b. Les nombres u0 , u1 et u2 forment-ils une suite géométrique ?
Le gérant du parc veut prévoir des installations supplémentaires pour répondre à la demande croissante
du nombre de visiteurs.
Il estime que chaque année le nombre de visiteurs va augmenter de 20 %.
On note un le nombre de clients en (2005 + n).
2)
a. Justifier que (un )n∈N est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
Exprimer un en fonction de n.
b. Calculer le nombre de visiteurs que l’on peut ainsi prévoir en 2015.
3) Si l’évolution se poursuit ainsi combien de personnes auront visité le parc d’attractions entre le 1er
janvier 2005 et le 31 décembre 2015 ?
4) Le gérant souhaite dépasser le million de visiteurs annuels, compléter ci dessous l’algorithme donnant l’année à partir de laquelle il atteindra son objectif.
Variables
N entier, U réel
Initialisation
··············· → N
··············· → U
Traitement
Tant que · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
·················· → U
·················· → N
Fin Tant que
Sortie
Afficher · · · · · · · · · · · ·
1S : devoir commun de mathematiques
Duree: 3 h
Donne le /04/2015
Ce sujet comporte trois exercices.
La calculatrice est autorisée.
Le barème est donné à titre indicatif et pourra être légèrement modifié.
Exercice 1 (6 points)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; 15] par
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 60𝑥 2 + 450𝑥 − 500
Première partie
1.
2.
3.
4.
Calculer 𝑓 ′ (𝑥).
Étudier le signe de 𝑓 ′ (𝑥) sur l’intervalle [0; 15].
En déduire le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0; 15].
On admet que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 a deux solutions distinctes dans l’intervalle [0; 15].
En utilisant les fonctionnalités de votre calculatrice, donner des valeurs approchées à 10−1 près de ces deux
solutions (on notera 𝛼 la plus petite et 𝛽 la plus grande de ces solutions).
Seconde partie
Un fabricant envisage de produire des boîtes en forme de pavé droit pour emballer des clous.
Pour cela, il découpe deux bandes de même largeur dans une feuille de carton carrée comme indiqué ci-dessous.
Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm.
On désigne par 𝑥 la mesure en cm de la largeur des bandes découpées. On admet que 0 ≤ 𝑥 ≤ 15.
Calculer le volume de la boîte pour 𝑥 = 2
Justifier que le volume 𝑉(𝑥) de la boîte, exprimé en cm3 est : 𝑉(𝑥) = 𝑥(15 − 𝑥)(30 − 2𝑥).
Vérifier que le volume 𝑉(𝑥) est égal à 𝑓(𝑥) + 500, où 𝑓 est la fonction définie précédemment.
En déduire la valeur de 𝑥 pour laquelle le volume de la boîte est maximal. Préciser la valeur du volume
maximal.
5. Le fabricant veut des boîtes de 500 cm3. Combien existe-t-il de possibilités? Justifier votre réponse.
1.
2.
3.
4.
Exercice 2 (7 points)
On considère la suite (𝑢𝑛 ) définie pour tout entier naturel par :
{
𝑢0 = 5
𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − 3 si 𝑛 ∈ ℕ
1. a. Calculer 𝑢1 , 𝑢2 et 𝑢3 .
b. La suite (𝑢𝑛 ) est-elle arithmétique ? géométrique ? ni l’un ni l’autre ? Justifier.
c. On considère l’algorithme suivant, écrit à l’aide du logiciel Algobox :
Que calcule cet algorithme ?
2. Soit la suite (𝑣𝑛 ) définie pour 𝑛 entier naturel par : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 3
a. Calculer les termes 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 et 𝑣3 . Que peut-on conjecturer sur la nature de la suite (𝑣𝑛 ) ?
b. Démontrer que pour tout entier naturel 𝑛 :
𝑣𝑛+1 = 3𝑣𝑛
c. Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛. En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛 = 3 + 2𝑛+1
d. Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.
3. On a écrit l’ algorithme suivant qui calcule la somme : 𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢10
a.
b.
c.
d.
Recopier et compléter sur votre copie la ligne 11 de l’algorithme
Pour 𝑛 entier naturel, démontrer que :
𝑣0 + 𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 2𝑛+2 − 2
En déduire que pour 𝑛 entier naturel :
𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 2𝑛+2 + 3𝑛 + 1
Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.
Exercice 3 (7 points)
Une urne contient 5 boules rouges, 4 jaunes et 𝑛 vertes, où 𝑛 est un entier naturel non nul.
Ces 𝑛 + 9 boules sont indiscernables au toucher.
On tire successivement et avec remise deux boules de l’urne.
Première partie
Dans cette partie, et dans cette partie uniquement, on considère que 𝑛 = 6
Les probabilités seront données sous la forme d’une fraction irréductible.
1. Combien de tirages équiprobables composent l’univers ?
2. Déterminer la probabilité de l’évènement 𝐴 : « les deux boules tirées sont de couleur verte ».
3. Montrer que la probabilité de l’évènement 𝐵 : « les deux boules tirées sont de la même couleur » est :
𝑝(𝐵) =
77
225
4. En déduire la probabilité de l’évènement 𝐶 : « les deux boules tirées sont de couleur différente ».
5. On considère le jeu suivant : le joueur gagne 2€ si les deux boules obtenues sont de la même couleur, et
perd 3€ sinon. On appelle 𝑋 la variable aléatoire du gain (positif ou négatif) du joueur.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑋.
b. Déterminer l’espérance et l’écart type de la variable aléatoire 𝑋. (Aucun détail n’est demandé à
cette question, et les résultats pourront ici être approximés).
c. Estimer le gain du joueur s’il joue 25 parties à la suite.
Seconde partie
On revient au cas général d’une urne qui contient 5 boules rouges, 4 jaunes et 𝑛 vertes, où 𝑛 est un entier naturel
non nul.
1. Exprimer en fonction de 𝑛 les probabilités des évènements 𝑀 et 𝐷 définis par :

𝑀 : « les deux boules tirées sont de la même couleur »
 𝐷 : « les deux boules tirées sont de couleur différente »
2. On considère le même jeu que dans la partie 1: le joueur gagne 2€ si les deux boules obtenues sont de la
même couleur, et perd 3€ sinon. On appelle 𝑋 la variable aléatoire du gain (positif ou négatif) du joueur.
Montrer que l’espérance de 𝑋 est :
𝐸(𝑋) =
2(𝑛2 −27𝑛−19)
(𝑛+9)2
3. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1; +∞[ par 𝑓(𝑥) =
2(𝑥 2 −27𝑥−19)
(𝑥+9)2
a. Un logiciel de calcul formel a renvoyé les résultats suivants :
en exploitant la capture d’écran ci-contre,
dresser la tableau de variation de la fonction 𝑓 sur
l’intervalle [1; +∞[.
b. En déduire l’existence d’un extremum, dont on précisera
la nature et la valeur approché à 10−2 près.
4. En utilisant l’étude précédente, donner le nombre 𝑛 de boules
vertes qu’il faut placer dans l’urne pour avoir 𝐸(𝑋) minimale.
Question hors barème :
Question à traiter uniquement s’il vous reste du temps en fin de devoir :
9𝑥−41
Montrer que 𝑓 ′ (𝑥) = 10 × (𝑥+9)3