DEVOIRS DE MATHEMATIQUES 1S1

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES
1S1
Année scolaire 2014-2015

1 Les devoirs non surveillés
DNS 1
DNS 2
DNS 3
DNS 4
DNS 5
DNS 6
DNS 7
DNS 8
2 Les devoirs surveillés
DS 1
DS 2
DS Commun Décembre
DS 4
DS 5
DS 6
DS Commun Avril

Lycée Gustave Eiffel 1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No1
Exercice 1
Soient fet gles fonctions définies sur Rpar : f(x) = −x3+ 4xet g(x) = −x2+ 4.
On a tracé sur le graphique ci-contre les courbes re-
présentatives de fet de g.
1) Associer chaque courbe à la fonction qu’elle
représente. Justifier succintement.
2) Déterminer graphiquement le nombre de so-
lutions des équations :
a) f(x) = 0 ; b) g(x) = 0 ;
c) f(x) = g(x).
3) Résoudre par le calcul : f(x) = 0 et g(x)=0
4) Résoudre graphiquement : f(x)6g(x).
5) Un logiciel de calcul formel affiche les résul-
tats suivants :
1factor(-x^3+x^2+4*x-4);
−(x−2)(x−1)(x+2)
a. Interpréter ces deux lignes.
b. En déduire une résolution algébrique de
l’inéquation f(x)6g(x).
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3−1−2−3O~ı
~
x
y
Exercice 2 La méthode d’Al-Khawarizmi
1) a. Prouver que l’équation x2+ 10x= 96 équivaut à (x+ 5)2= 121.
b. En déduire les solutions de l’équation x2+ 10x= 96.
2) Pour déterminer une solution positive de l’équation x2+ 10x= 96, voici comment procédait Al-
Khawarizmi (mathématicien arabe du IXèa) :
Diviser 10 par 2.
Élever ce quotient au carré.
Additionner ce carré à 96.
Prendre la racine carrée de cette somme.
Retrancher à ce résultat le quotient du début.
a. Vérifier que l’algorithme donne bien une solution positive de cette équation.
b. Trouver en utilisant la méthode d’Al-Khawarizmi une solution positive de l’équation
x2+ 8x= 2009.
c. En admettant que ce procédé donne la seule solution positive pour des équations du type
x2+bx =coù bet csont deux nombres positifs, écrire un algorithme qui mette en œuvre cette
méthode.
a. Il est à l’origine du mot « algorithme » (qui n’est autre que son nom latinisé : "algoritmi")

Lycée Gustave Eiffel 1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No2
Exercice 1 Une aire minimale
ABCD est un carré de côté 7 cm. À partir d’un point M du segment [AD], on le découpe en quatre rec-
tangles comme l’indique la figure ci-contre. On note S l’aire du domaine coloré.
1) On note AM = x. Dans quel intervalle, noté I, varie x?
2) Démontrer que l’aire S est une fonction de xdéfinie sur I par :
S(x)=2x2−14x+ 49.
3) Mettre S sous forme canonique et en déduire les coordonnées
du sommet de la parabole représentant S
4) Dresser en justifiant le tableau de variations de S sur I
5) Déterminer la position de M sur [AD] telle que l’aire S soit mi-
nimale.
6) Déterminer les différentes positions du point M pour lesquelles
l’aire S soit supérieure ou égale à 29 cm2.
AB
C
D
M
x
x
Exercice 2 Avec un changement de variable
Dans cet exercice on se propose de résoudre l’équation (E) : 2x4−9x3+ 8x2−9x+ 2 = 0 à l’aide d’un
changement d’inconnue.
1) 0 est-il solution de (E) ?
2) Démontrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation (E’) : 2x2−9x+ 8 −9
x+2
x2= 0
3) Pour tout réel xnon nul on pose X = x+1
x.
a. Calculer X2en fonction de x.
b. En déduire que l’équation (E’) équivaut à 2X2−9X + 4 = 0
c. Résoudre l’équation 2X2−9X + 4 = 0 puis en déduire les solutions de l’équation (E)
Exercice 3 Problème ouvert
Une parabole Pcoupe l’axe des abscisses en -1 et 5 et passe par le point C(2;−18).
Calculer les coordonnées de son sommet.

Lycée Gustave Eiffel 1èreS 2014/2015
DEVOIR NON SURVEILLE No3
Exercice 1
Le plan est muni d’un repère (O; #» ı , #» ).
P est la parabole d’équation y = x2− 4 x + 3 et Dm est la droite d’équation y = mx + 2 où m est un réel
quelconque.
L’objectif de cet exercice est de déterminer quel est le nombre de points d’intersection de la parabole
Pet de la droite Dmselon les valeurs de m.
Partie A. Étude d’un cas particulier : m= 1
1) Montrer que le point M ( x ; y ) appartient à l’intersection de P et de D1 si et seulement si x est solution
de x2−4x+ 3 = x+ 2.
2) Résoudre cette équation.
3) En déduire le nombre de points d’intersection de la parabole Pet de la droite D1.
Partie B. Cas général : mquelconque
1) Une conjecture
À l’aide du logiciel Ge Gebra et d’un curseur m , représenter P et Dm et conjecturer, selon les valeurs
de m, le nombre de points d’intersection de la parabole Pet de la droite Dm.
On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et on joindra une copie d’écran de son
fichier Geogebra à sa copie.
2) Résolution algébrique du problème
a. Montrer que le point M ( x ; y ) appartient à l’intersection de P et de Dm si et seulement si x est
solution de l’équation
Em:x2−(4 + m)x+ 1 = 0
b. Déterminer, en fonction de m, l’expression du discrimant ∆mde l’équation Em.
c. Déterminer le signe de ∆mselon les valeurs de m.
d. En déduire le nombre de solutions de l’équation Emselon les valeurs de m.
e. Conclure.
Exercice 2
On considère un triangle ABC non aplati.
1) Construire les points D et E défini par # » AD = 2# » AB+ # » AC et # » BE = 1
3
# »
BC.
2) Montrer que # » AE = 2
3
# »
AB+ 1
3
# »
AC.
3) En déduire que A, E et D sont alignés.