Calculs d\`invariants primitifs de groupes finis - RAIRO

Theoretical Informatics and Applications ITA, Vol. 33, No1, 1999, p. 59–77
Informatique Th´eorique et Applications
CALCULS D’INVARIANTS PRIMITIFS DE GROUPES
FINIS ∗
Ines Abdeljaouad1
Abstract. We introduce in this article a new method to calculate all
absolute and relatif primitive invariants of finite groups. This method
is inspired from K. Girstmair which calculate an absolute primitive
invariant of minimal degree. Are presented two algorithms, the first
one enable us to calculate all primitive invariants of minimal degree,
and the second one calculate all absolute or relative primitive invariants
with distincts coefficients. This work take place in Galois Theory and
Invariant Theory.
R´esum´e. Nous introduisons dans cet article un nouvel outil de
calcul de tous les invariants primitifs relatifs et absolus de groupes finis.
Cette m´ethode est inspir´ee par l’algorithme de K. Girstmair qui calcule
un invariant primitif absolu de degr´e minimal. Sont pr´esent´es deux al-
gorithmes : le premier algorithme calcule tous les invariants primitifs
de degr´e minimal et le deuxi`eme algorithme calcule tous les invariants
primitifs `a coefficients distincts. Ce travail entre dans le cadre de la
th´eorie de Galois et la th´eorie des Invariants.
Introduction
Les invariants auxquels nous faisons r´ef´erence tout au long de cet article sont
des invariants dits primitifs : un invariant primitif d’un groupe de permutations
est un polynˆome qui `a lui seul, permet d’identifier ce groupe.
Il existe deux types d’invariants primitifs : les invariants primitifs absolus et
les invariants primitifs relatifs.Cespolynˆomes sont un outil fondamental dans la
r´esolution des ´equations polynomiales (voir [8]) et dans la th´eorie de Galois effective
(voir [20]). Dans ces applications, il est important d’avoir plusieurs invariants
primitifs relatifs ou absolus d’un mˆeme groupe qui soient de petits degr´es.
∗Recherche support´ee par le Projet Galois du GDR de Calcul Formel MEDICIS,
http://medicis.polytechnique.fr/medicis/projetGalois
1CalFor - LIP6, Universit´e Paris VI, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France; e-mail:
[email protected]
c
EDP Sciences 1999

60 I. ABDELJAOUAD
Les invariants primitifs les plus c´el`ebres sont donn´es par des math´ematiciens
tels que Vandermonde [21], Luther [15], Cayley [6], Berwick [4, 5], Foulkes [9] et
les m´ethodes utilis´ees, appel´ees m´ethodes classiques, s’appuyaient sur les caract´e-
ristiques propres `a chaque sous-groupe du groupe sym´etrique pour construire, par
´etapes successives, des invariants de plus en plus sophistiqu´es (voir par exemple [5]
et [21]). Chaque groupe demandait donc une strat´egie sp´ecifique alors que nous
pr´ef´erons maintenant avoir des algotrithmes g´en´eraux.
Une autre m´ethode dite m´ethode naturelle permet de calculer un invariant
primitif d’un sous-groupe Hdu groupe sym´etrique de degr´e n(voir [22]). En
effet, nous remarquons que la somme des images du monˆome (x2x2
3...x
n−1
n)par
les permutations de Hest invariant absolu de Hde degr´e n(n−1)
2.
L’inconv´enient de ces m´ethodes est qu’elles donnent des invariants primitifs
absolus de degr´es ´elev´es. Elles ne sont pas ´economiques et elles ne se g´en´eralisent
pas facilement au calcul d’invariants primitifs relatifs.
Une repr´esentation des polynˆomes assez particuli`ere, due `a Jordan [12], a permis
`a Girstmair [11] d’exhiber une technique de calcul d’un invariant absolu de degr´e
minimal pour tout groupe de permutation. Le but de cet article est de pr´esenter la
g´en´eralisation de cette technique au calcul de tous les invariants primitifs absolus
et relatifs, et en particulier au calcul des invariants primitifs relatifs ou absolus de
degr´e minimal et de degr´es inf´erieurs ou ´egaux `a n(n−1)
2. Les invariants calcul´es
par la m´ethode naturelle ou les m´ethodes classiques sont aussi retrouv´es par les
algorithmes pr´esent´es dans cet article.
Les trois premiers paragraphes introduisent les d´efinitions et notations ainsi que
les th´eor`emes sur lesquels se basent les algorithmes de calcul d’invariants primitifs ;
le paragraphe 4 pr´esente les algorithmes n´ecessaires au calcul d’invariants primitifs
relatifs ou absolus `a coefficients distincts : l’algorithme 4.3 calcule la liste de ces
invariants de degr´e minimal et l’algorithme 4.4 calcule pour des sous-groupes de
permutations de degr´e n, la liste des invariants primitifs de degr´es ≤n(n−1)
2.
Les principaux outils de calcul sont les ensembles essentiels. Le paragraphe 5
est consacr´e`alarepr´esentation des donn´ees utilis´ees pour l’implantation des algo-
rithmes : nous introduisons la notion de partition,d´efinissons la correspondance
entre les monˆomes et les partitions et nous montrons que grˆace `a cette repr´esen-
tation de donn´ees, nous calculons tous les invariants primitifs de tous les degr´es
possibles.
Le dernier paragraphe est consacr´e`a des exemples d’applications de ces
algorithmes.
1. D´ efinitions et notations
Dans tout l’article kd´esigne un corps commutatif de caract´eristique nulle et
k[X1,...,,X
n] l’anneau des polynˆomes en X1,...,X n`acoefficientsdansk,o`u
X
1
,...,X
nsont nind´etermin´ees alg´ebriquement ind´ependantes sur k.
Le groupe sym´etrique de degr´e nest not´e Sn. L’action de Snsur k[X1,...,X
n]

CALCULS D’INVARIANTS PRIMITIFS DE GROUPES FINIS 61
est d´efinie de fa¸con naturelle par :
Sn×k[X1,...,X
n]−→ k[ X 1,...,X n]
(σ,P)7→ σ(P)(X1,...,X
n)=P(X
σ(1),...,X σ(n)).
Soient Lun sous-groupe de Snet Pun polynˆome de k[X1,...,X
n]. Le stabilisateur
de Psous l’action de Lest
StabL(P)={g∈L|g(P)=P}·
Le stabilisateur d’une partie Ude k[X1,...,X
n
]sous l’action de Lest
StabL(U)={g∈L|∀P∈U,g(P)∈U}·
Soit Hun sous-groupe de Ltels que H⊂L.L’orbite du polynˆome Psous l’action
de Happel´e aussi la H-orbite de Pest d´efinie par
OrbH(P)={σ(P)|σ∈H}·
D´efinition 1.1. Un polynˆome P∈k[X1,...,X
n]estunH-invariant (relatif `a L)
si H⊂StabL(P). Si de plus L=Snalors Pest appel´eunH-invariant (absolu).
D´efinition 1.2. Un polynˆome P∈k[X1,...,X
n]estditH-invariant L-primitif
si
StabL(P)=H.
Si L=Sn, alors Pest appel´e H-invariant primitif (absolu).
Un polynˆome PH-invariant L-primitif est de degr´e minimal si le degr´edetout
polynˆome H-invariant L-primitif est sup´erieur ou ´egal au degr´edeP.
Parmi tous les H-invariants L-primitifs de degr´e minimal, un polynˆome dont le
nombre de monˆomes est minimal et dont le PGCD des coefficients est ´egal `a1,est
appel´eunH-invariant L-primitif minimal.
Exemple 1. Notons Anle groupe altern´ededegr´en.Led´eterminant de
Vandermonde δn=Q1≤i<j≤n(Xi−Xj)estunA
n
-invariant primitif absolu.
Notation 2. Soient g1,...,g
rdes permutations de Sn, alors <g 1
,...,g
r>d´esigne
le sous-groupe de Snengendr´e par les permutations g1,...,g
r.
Exemple 3. Soient n=4,H
1=<(3,4),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4) >un sous-groupe
de S4et H2=<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4) >un sous-groupe de H1.Lespolynˆomes
suivants sont des polynˆomes H2-invariants H1-primitifs de degr´e minimal :
X2X4+X1X3et X2X3+X1X4.
Le polynˆome H2-invariant H1-primitif de degr´e n(n−1)
2=6est´egal `a:
a(X
2
X
2
3
X
3
4+X
1
X
2
4
X
3
3+X
4
X
2
1
X
3
2+X
3
X
2
2
X
3
1
),
o`u aest un ´el´ement non nul de k.

62 I. ABDELJAOUAD
Remarque 4. Soient τ1,...,τ
edes permutations de Lv´erifiant L=τ1H+···+τ eH.
Un polynˆome Pest un H-invariant L-primitif, lorsque ∀σ∈H,σ(P)=Pet
∀i6=jτ
i
(P)6=τ
j
(P). Le nombre de conjugu´es de Psous l’action des τiest ´egal
`a l’indice de Hdans Lc’est-`a-dire e.
D´efinition 1.3. Un monˆome de k[X1,...,X
n
] sera unitaire et de la forme
Xr1
1...Xr
n
no`ulesr
isont des entiers positifs ou nuls. Soit Qun monˆome de
k[X1,...,X
n], nous notons
NH(Q)= X
Q
0
∈OrbH(Q)
Q
0
.
Le polynˆome NH(Q)estappel´eTrace r´eduite de Qpar H.
D´efinition 1.4. Soit Uun ensemble fini de monˆomes de k[X1,...,X
n]. Le (L,H)-
groupe de U,not´eH
L
(U), est d´efini par :
HL(U)=\
Q∈U
StabL(NH(Q)).
D´efinition 1.5. Soit Uun ensemble fini de monˆomes de k[X1,...,X
n].
Une U-fonction ´el´ementaire est un polynˆome PUdonn´e par la formule suivante :
PU=X
Q∈U
aQNH(Q)
o`ulesa
Qsont des ´el´ements de knon nuls et deux `a deux distincts.
Exemple 5. Soient U={X1X2,X
2X 3}et H=<(1,4) >un sous-groupe de S4.
La famille des U-fonctions ´el´ementaires est donn´ee par PU=a(X1X2+X2X4)+
b(X
2
X
3
)aveca6=bdeux ´el´ements non nuls de k.
D´efinition 1.6. Le degr´e d’un ensemble Ude monˆomes de k[X1,...,X
n
]estpar
d´efinition ´egal au maximum des degr´es des monˆomes dans U.
2. R´ esultats effectifs pour calculer des invariants
primitifs
Le th´eor`eme et le corollaire suivants ont ´et´e´enonc´es dans [11], dans le cas o`u
L=Sn.
Th´eor`eme 2.1. Soit Uun ensemble fini de monˆomes de k[X1,...,X
n].Toute
U-fonction ´el´ementaire PUest un polynˆome HL(U)-invariant L-primitif.
Preuve. Montrons qu’un polynˆome PU=PQ∈UaQNH(Q)(a
Q∈k,nonnulset
deux `a deux distincts) est un HL(U)-invariant L-primitif. D’apr`es la d´efinition 1.4

CALCULS D’INVARIANTS PRIMITIFS DE GROUPES FINIS 63
du (L,H)-groupe HL(U)etlad´efinition 1.2 des H-invariants L-primitifs, ceci
revient `a montrer que :
StabLXQ∈UaQNH(Q)=\Q∈UStabL(NH(Q)).
Soit gun ´el´ement du groupe StabL(PU), alors g(PU)=P
U,soit:
g(P
U
)=X
Q∈Ua
QN H
(Q).
Comme les aQsont deux `a deux distincts on a : g(NH(Q)) = NH(Q) pour tout
Q∈Uet donc g∈StabL(NH(Q)) pour tout Q∈U.D’o`u:
g∈\
Q∈U
StabL(NH(Q)).
R´eciproquement, si g∈TQ∈UStabL(NH(Q)) alors pour tout Q∈Uon a :
g∈StabL(NH(Q)) et donc g∈StabL(PQ∈UaQNH(Q)).
Remarque 6. En d’autres termes, le (L,H)-groupe HL(U) est le stabilisateur de
chaque U-fonction ´el´ementaire PU:StabL(PU)=H
L
(U).
D´efinition 2.1. Si HL(U)=H, alors Uest appel´e ensemble essentiel pour (L,H).
Corollaire 2.1. Soit Uun ensemble fini de monˆomes. Si Uest un ensemble es-
sentiel pour (L,H) alors chaque U-fonction ´el´ementaire est un H-invariant
L-primitif.
Proposition 2.1. Si Uest un ensemble essentiel pour (L,H), alors tout ensemble
Vcontenant Uest un ensemble essentiel pour (L,H).
Preuve. U⊂V⇒HL(V)⊂HL(U), d’autre part, HL(U)=Het H⊂HL(V),
d’o`ul’´egalit´e HL(V)=H.
D´efinition 2.2. Soit Uun ensemble essentiel pour (L,H). Une U-fonction
primitive est un polynˆome P=PQ∈UaiNH(Q)o`ulesa
Qsont des ´el´ements de k
non nuls et o`u StabL(P)=H.
Remarque 7. Si Uest un ensemble essentiel pour (L,H) alors chaque U-fonction
´el´ementaire est une U-fonction primitive dont les coefficients sont deux `a deux
distincts.
Nous avons montr´e que toute U-fonction ´el´ementaire o`u Uest un ensemble
essentiel pour (L,H), est un H-invariant L-primitif `a coefficients distincts. Il reste
`a montrer que tout H-invariant L-primitif est ´egal `a une U-fonction primitive o`u U
est un ensemble essentiel pour (L,H). Ainsi, nous calculerons `a l’aide d’ensembles
essentiels pour (L,H)touslesH-invariants L-primitifs.