MECANIQUE RATIONNELLE COURS ET EXERCICES Université Djilali Bounaama Khemis Miliana

Université Djilali Bounaama Khemis Miliana
Institut des Sciences et Techniques
MECANIQUE RATIONNELLE
COURS ET EXERCICES
Ali MAHIEDDINE
Maître de conferences
Septembre 2014

Sommaire
INTRODUCTION ............................................................................................................................................................ 7
1. OUTILS MATHEMATIQUES.............................................................................................................................. 9
1.1. VECTEUR LIBRE ............................................................................................................................................... 9
1.2. PRODUIT SCALAIRE .......................................................................................................................................... 9
1.3. BASE ................................................................................................................................................................ 9
1.4. CHANGEMENT DE BASE ORTHONORMEE ......................................................................................................... 10
1.5. PRODUIT VECTORIEL ...................................................................................................................................... 10
1.5.1. Définition .................................................................................................................................................. 10
1.5.2. Double produit vectoriel ........................................................................................................................... 10
1.5.3. Produit mixte ............................................................................................................................................ 10
1.5.4. Division vectorielle ................................................................................................................................... 11
1.6. VECTEUR LIE ET SYSTEME VECTORIEL .......................................................................................................... 11
1.6.1. Vecteur lié ................................................................................................................................................. 11
1.6.2. Moment d’un vecteur lié ........................................................................................................................... 11
1.6.3. Système vectoriel ...................................................................................................................................... 11
1.6.4. Moment d’un système vectoriel ................................................................................................................ 12
1.7. TORSEUR ........................................................................................................................................................ 12
1.7.1. Définition .................................................................................................................................................. 12
1.7.2. Propriété des torseurs .............................................................................................................................. 12
1.7.2.1. Égalité ............................................................................................................................................................. 12
1.7.2.2. Somme ............................................................................................................................................................ 13
1.7.2.3. Multiplication par un scalaire .......................................................................................................................... 13
1.7.2.4. Torseur nul ...................................................................................................................................................... 13
1.7.2.5. Produit scalaire de deux torseurs ..................................................................................................................... 13
1.8. DERIVATION D'UN VECTEUR PAR UN OPERATEUR DONNE ............................................................................... 13
1.9. EXERCICES ..................................................................................................................................................... 14
2. STATIQUE ............................................................................................................................................................ 17
2.1. INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 17
2.2. NOTIONS FONDAMENTALES DE LA STATIQUE ................................................................................................. 17
2.2.1. Point matériel ........................................................................................................................................... 17
2.2.2. Corps solide parfait .................................................................................................................................. 17
2.2.3. Force ........................................................................................................................................................ 17
2.2.4. Moment d’une force par rapport à un point ............................................................................................. 18
2.3. TORSEURS DES FORCES EXTERIEURES ............................................................................................................ 19

2.4. CONDITION D’EQUILIBRE STATIQUE ............................................................................................................... 20
2.4.1. Cas Général .............................................................................................................................................. 20
2.4.2. Condition d’équilibre analytique .............................................................................................................. 20
2.5. LES LIAISONS ET LES REACTIONS.................................................................................................................... 21
2.5.1. Définition .................................................................................................................................................. 21
2.5.2. Axiome des liaisons .................................................................................................................................. 21
2.5.3. Différents types des liaisons et de réactions ............................................................................................. 22
2.6. QUELQUES OPERATIONS SUR LES FORCES ....................................................................................................... 23
2.6.1. Résultante de deux forces concourantes ................................................................................................... 23
2.6.2. Résultante de plusieurs forces concourantes ............................................................................................ 24
2.6.2.1. Méthode du parallélogramme des forces ......................................................................................................... 24
2.6.2.2. Règle du polygone des forces .......................................................................................................................... 24
2.6.2.3. Condition d’équilibre géométrique .................................................................................................................. 25
2.6.3. Décomposition géométrique d’une force .................................................................................................. 25
2.6.3.1. Décomposition suivant deux directions ........................................................................................................... 25
2.6.3.2. Décomposition suivant trois directions ........................................................................................................... 26
2.6.3.3. Décomposition d'une force si un point de la ligne d’action est connu ............................................................. 27
2.6.4. Décomposition analytique d’une force ..................................................................................................... 28
2.6.5. Cas général du moment d’une force ......................................................................................................... 28
2.6.5.1. Moment d’une force par rapport à un axe ....................................................................................................... 28
2.6.5.2. Théorème de VARIGNON .............................................................................................................................. 30
2.7. ÉQUILIBRE DES SOLIDES EN PRESENCE DU FROTTEMENT ................................................................................ 30
2.7.1. Frottement de glissement .......................................................................................................................... 30
2.7.1.1. Force de frottement statique ............................................................................................................................ 31
2.7.1.2. Force de frottement cinématique ..................................................................................................................... 31
2.7.2. Angle de frottement ................................................................................................................................... 32
2.7.3. Frottement de roulement .......................................................................................................................... 32
2.7.4. Frottement d’un câble sur une poulie ....................................................................................................... 34
2.8. EXERCICES ..................................................................................................................................................... 34
3. GEOMETRIE DES MASSES .............................................................................................................................. 37
3.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................................... 37
3.2 MASSE D’UN SYSTEME MATERIEL ....................................................................................................................... 37
3.2.1 Système discret ......................................................................................................................................... 37
3.2.2 Système continu ........................................................................................................................................ 37
3.3 CENTRE D’INERTIE .............................................................................................................................................. 38
3.3.1 Définition .................................................................................................................................................. 38
3.3.2 Symétries matérielles ................................................................................................................................ 38
3.3.3 Théorèmes de Guldin ................................................................................................................................ 38
3.3.3.1. Centre d'inertie d'une courbe plane.................................................................................................................. 38
3.3.3.2. Centre d'inertie d'une surface plane ................................................................................................................. 39
3.4 MOMENT D’INERTIE, OPERATEUR D’INERTIE ....................................................................................................... 40

3.4.1 Définition .................................................................................................................................................. 40
3.4.2 Matrice d’inertie ....................................................................................................................................... 40
3.4.3. Cas particuliers ........................................................................................................................................ 41
3.4.2.1 Le système présente certains plans de symétrie .................................................................................................... 41
3.4.2.2 Le système est un corps de révolution autour de l'axe Oz .................................................................................... 42
3.4.4. Axes principaux d’inertie.......................................................................................................................... 42
3.4.5. Théorème de Huygens .............................................................................................................................. 42
3.4.6. Moment d’inertie par rapport à une droite quelconque  ........................................................................ 44
3.4.7. Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires ................................................................ 44
3.5 CENTRES ET MATRICES D’INERTIE POUR QUELQUES SOLIDES .............................................................................. 45
3.6 EXERCICES .......................................................................................................................................................... 47
4. CINEMATIQUE ................................................................................................................................................... 49
4.1. INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 49
4.2. CINEMATIQUE DU POINT................................................................................................................................. 49
4.2.1. Trajectoire ................................................................................................................................................ 49
4.2.2. Vecteur vitesse .......................................................................................................................................... 49
4.2.3. Vecteur accélération ................................................................................................................................. 50
4.3. CINEMATIQUE DU SOLIDE ............................................................................................................................... 50
4.3.1. Définitions ................................................................................................................................................ 50
4.3.1.1. Notion d'un solide parfait ................................................................................................................................ 50
4.3.1.2. Mouvement de translation d’un solide ............................................................................................................ 50
4.3.1.3. Mouvement de rotation d’un solide ................................................................................................................. 50
4.3.2. Repérage d’un solide ................................................................................................................................ 50
4.3.3. Matrice de passage de  à  ................................................................................................................. 51
4.3.3.1. Angle de précession ........................................................................................................................................ 51
4.3.3.2. Angle de nutation ............................................................................................................................................ 52
4.3.3.3. Angle de rotation propre.................................................................................................................................. 53
4.3.4. Torseur cinématique – distribution des vitesses ....................................................................................... 54
4.3.5. Champ des accélérations d'un solide ....................................................................................................... 55
4.3.6. Axe instantané de rotation ........................................................................................................................ 56
4.3.7. Cas particulier de mouvements ................................................................................................................ 56
4.3.7.1. Mouvement de translation ............................................................................................................................... 56
4.3.7.2. Mouvement de rotation autour d'un axe .......................................................................................................... 57
4.3.7.3. Mouvement hélicoïdal ..................................................................................................................................... 58
4.4. COMPOSITION DE MOUVEMENTS ......................................................................................................... 58
4.4.1. Dérivation composée ................................................................................................................................ 58
4.4.2. Composition de vitesses ............................................................................................................................ 59
4.4.3. Composition des taux de rotation instatanés ............................................................................................ 60
4.4.4. Composition d’accélérations .................................................................................................................... 61
4.5. LES LIAISONS ................................................................................................................................................. 62
4.5.1. Définitions ................................................................................................................................................ 62

4.5.2. Solides en contact ponctuel ...................................................................................................................... 62
4.5.2.1. Vitesse de glissement ...................................................................................................................................... 63
4.5.2.2. Plan tangent ..................................................................................................................................................... 63
4.5.2.3. Roulement sans glissement ............................................................................................................................. 63
4.5.2.4. Roulement et pivotement................................................................................................................................. 63
4.6. MOUVEMENT PLAN SUR PLAN .............................................................................................................. 64
4.6.1. Définition .................................................................................................................................................. 64
4.6.2. Centre instantané de rotation ................................................................................................................... 64
4.6.3. Base et roulante ........................................................................................................................................ 64
4.7. EXERCICES ..................................................................................................................................................... 65
5. CINETIQUE ......................................................................................................................................................... 67
5.1. INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 67
5.2. GRANDEURS ASSOCIEES AUX VITESSES .......................................................................................................... 67
5.2.1. Quantité de mouvement, moment cinétique .............................................................................................. 67
5.2.1.1. Point matériel .................................................................................................................................................. 67
5.2.1.2. Ensemble de points matériels .......................................................................................................................... 67
5.2.1.3. Système matériel continu ................................................................................................................................ 67
5.2.2. Torseur cinétique ...................................................................................................................................... 67
5.2.2.1. Définition ........................................................................................................................................................ 67
5.2.2.2. Calcul de la résultante ..................................................................................................................................... 68
5.2.2.3. Théorème de Koenig relatif au moment cinétique ........................................................................................... 68
5.2.2.4. Moment cinétique d'un solide indéformable en G (centre d'inertie) ................................................................ 69
5.2.2.5. Moment cinétique d'un solide indéformable en un point de vitesse nulle ....................................................... 70
5.2.3. Energie cinétique ...................................................................................................................................... 70
5.2.3.1. Définition ........................................................................................................................................................ 70
5.2.3.2. Théorème de Koenig relatif à l'énergie cinétique ............................................................................................ 70
5.2.3.3. L'énergie cinétique d'un solide indéformable .................................................................................................. 71
5.3. GRANDEURS ASSOCIEES AUX ACCELERATIONS .............................................................................................. 72
5.3.1. Torseur dynamique ................................................................................................................................... 72
5.3.1.1. Définition ........................................................................................................................................................ 72
5.3.1.2. Calcul de la résultante dynamique ................................................................................................................... 72
5.3.1.3. Théorème de Koenig relatif au moment dynamique ....................................................................................... 73
5.3.1.4. Calcul du moment dynamique ......................................................................................................................... 73
5.4. EXERCICES ..................................................................................................................................................... 74
6. DYNAMIQUE ....................................................................................................................................................... 77
6.1. INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 77
6.2. TORSEUR D’ACTION ....................................................................................................................................... 77
6.3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ................................................................................................. 77
6.3.1. Rappel de la dynamique des particules .................................................................................................... 77
6.3.1.1. Première loi de Newton ................................................................................................................................... 78
6.3.1.2. Deuxième loi de Newton ................................................................................................................................. 78