MECANIQUE PeiP Polytech Paris-Sud C.Pasquier Année 1 - Semestre 2

PeiP Polytech Paris-Sud
Année 1 - Semestre 2
MECANIQUE
2011-2012
C.Pasquier
Polycopié réalisé avec la suite libre Openoffice.org 3.3.0 (http://www.openoffice.org)
Cours de mécanique S2-PoPS et L1: C.Pasquier, Université d'Orsay 1

Cours de mécanique S2-PoPS et L1: C.Pasquier, Université d'Orsay 2

Table des matières
Chapitre I : Introduction générale.........................................................................................................7
I Introduction générale à la mécanique :..........................................................................................8
II Mouvement et modélisation du système :...................................................................................9
Chapitre II : Cinématique du point.....................................................................................................11
I Systèmes de coordonnées :.........................................................................................................11
1) Coordonnées cartésiennes :..................................................................................................11
2) Coordonnées polaires :.........................................................................................................11
3) Coordonnées cylindriques :..................................................................................................13
4) Coordonnées sphériques :....................................................................................................13
5) Coordonnées intrinsèques :..................................................................................................14
II Vecteurs et fonctions à plusieurs variables :..............................................................................16
1) Produit vectoriel :................................................................................................................16
2) Fonctions vectorielles d'une variable :.................................................................................17
3) Fonction de plusieurs variables :.........................................................................................18
III Référentiels d'espace et de temps :............................................................................................19
1) Référentiel de temps :..........................................................................................................19
2) Référentiels d'espace :..........................................................................................................20
IV Cinématique du point :.............................................................................................................20
1) Trajectoire :..........................................................................................................................20
2) Vitesse et accélération :.......................................................................................................21
3) Composantes des vecteurs vitesse et accélération :.............................................................23
4) Mouvements particuliers :...................................................................................................25
a) Mouvement rectiligne :...................................................................................................25
b) Mouvement circulaire :...................................................................................................26
c) mouvement sinusoïdal :...................................................................................................27
V Composition des mouvements :.................................................................................................28
1) Définitions :.........................................................................................................................28
2) Loi de composition des vitesses :........................................................................................28
3) Loi de composition des accélérations :................................................................................29
4) Lois de composition dans des cas particuliers :...................................................................29
a) Référentiels en translation :............................................................................................29
b) Référentiel en rotation autour d'un axe :........................................................................30
c) Référentiel en rotation autour d'un axe et en translation :...............................................31
5) Applications :.......................................................................................................................32
a) Train :.............................................................................................................................32
b) Roue libre de bicyclette :................................................................................................32
c) Bicyclette roulant sur une piste :.....................................................................................33
Chapitre III : Fondements de la dynamique newtonienne..................................................................34
I Masse et quantité de mouvement:..............................................................................................34
II Référentiels galiléens :..............................................................................................................35
1) Définition :...........................................................................................................................35
2) Référentiel de Copernic :.....................................................................................................35
3) Référentiel galiléen approché :............................................................................................35
III Lois de Newton dans un référentiel galiléen :..........................................................................36
IV Interactions entre points matériels :.........................................................................................36
1) La force de gravitation :.......................................................................................................37
Cours de mécanique S2-PoPS et L1: C.Pasquier, Université d'Orsay 3

2) La force électromagnétique :................................................................................................37
3) Les forces d'interaction forte et faible :................................................................................38
4) Forces de contact et de frottements :....................................................................................39
V Lois de Newton dans un référentiel non galiléen :.....................................................................40
1) Référentiels galiléens et non galiléens :...............................................................................40
2) Lois de Newton dans les référentiels galiléens ou non galiléens :.......................................41
a) Lois de Newton dans un référentiel galiléen :................................................................41
b) Lois de Newton dans un référentiel non galiléen :.........................................................41
Chapitre IV : Travail, Energie............................................................................................................42
I Travail d'une force :....................................................................................................................42
1) Introduction :........................................................................................................................42
2) Travail d'une force constante sur un parcours rectiligne :...................................................42
3) Travail d'une force non constante :......................................................................................43
4) Puissance :...........................................................................................................................46
II Théorème de l'énergie cinétique :..............................................................................................46
1) Théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen :.............................................46
2) Théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen :......................................46
III Energie potentielle, énergie mécanique :.................................................................................47
1) Force à circulation conservative :........................................................................................47
2) Energie potentielle :.............................................................................................................47
3) Energie mécanique totale :...................................................................................................49
4) Evolution de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen :....................................50
IV Equilibre d'un système mécanique :.........................................................................................50
1) Equilibre d'un système mécanique :.....................................................................................50
2) Stabilité d'un équilibre :.......................................................................................................50
3) Equilibre d'un point soumis à des forces à circulation conservative :.................................51
a) Cas unidimensionnel :.....................................................................................................51
b) Cas bidimensionnel :.......................................................................................................52
Chapitre V: Moment cinétique...........................................................................................................53
I Moment cinétique :.....................................................................................................................53
1) Moment d'une force :...........................................................................................................53
2) Moment cinétique :..............................................................................................................54
3) Moment cinétique pour un mouvement plan :.....................................................................54
II Théorème du moment cinétique :..............................................................................................55
1) Théorème du moment cinétique :........................................................................................55
2) Conservation du moment cinétique :...................................................................................55
3) Lois de conservation en mécanique :...................................................................................55
4) Exemples :...........................................................................................................................56
a) pendule simple :.............................................................................................................56
b) patineur :........................................................................................................................57
Chapitre VI : Mouvement à force centrale.........................................................................................59
I Caractéristiques d'un mouvement à force centrale :...................................................................59
1) Planéité de la trajectoire :.....................................................................................................59
2) Loi des aires :.......................................................................................................................59
3) Lois de conservation :..........................................................................................................60
a) Conservation de l'énergie mécanique :...........................................................................60
b) Conservation du moment cinétique :.............................................................................61
II Energie potentielle effective :....................................................................................................61
1) Energie potentielle effective :..............................................................................................61
Cours de mécanique S2-PoPS et L1: C.Pasquier, Université d'Orsay 4

2) Mouvement d'une particule soumise à un champ de force centrale attractif :.....................62
3) Mouvement d'une particule soumise à un champ de forces centrales répulsif – diffusion de
Rutherford :...............................................................................................................................64
III Application à la force de gravitation - Mouvement des planètes :............................................65
1) Position du problème :.........................................................................................................65
2) Coniques :............................................................................................................................66
a) Définition géométrique :.................................................................................................66
b) Cercle et ellipse :.............................................................................................................66
c) Hyperbole :......................................................................................................................67
d) Parabole :.........................................................................................................................68
3) Lois de Képler :....................................................................................................................69
4) Force d'attraction :...............................................................................................................69
5) Nature des trajectoires :.......................................................................................................70
6) Graphe des énergies et énergie totale :.................................................................................70
7) Période du mouvement :......................................................................................................71
Chapitre VII : Dynamique d'un système à N corps.............................................................................72
I Centre de masse :........................................................................................................................72
II Elements cinétiques d'un système à N corps :...........................................................................73
1) Définitions :.........................................................................................................................73
2) Référentiel du centre de masse :..........................................................................................73
3) Premier théorème de Koenig :.............................................................................................75
4) Deuxième théorème de Koenig :.........................................................................................75
5) Forces extérieures et intérieures :........................................................................................76
6) Théorème du centre d'inertie :.............................................................................................77
7) Théorème du moment cinétique :........................................................................................77
III Cas particulier d'un système à 2 corps :...................................................................................77
1) Eléments cinétiques d'un système à 2 corps :......................................................................77
2) Masse réduite :.....................................................................................................................78
IV Collisions :...............................................................................................................................79
1) Introduction :........................................................................................................................79
2) Modélisation :......................................................................................................................79
3) Conservation de la quantité de mouvement :.......................................................................80
4) Exemples :...........................................................................................................................81
Chapitre VIII: Dynamique des solides ...............................................................................................84
I Elements cinétiques d'un solide :................................................................................................84
1) Solide :.................................................................................................................................84
2) Centre de masse :.................................................................................................................84
3) Eléments cinétiques d'un solide :.........................................................................................85
4) Théorèmes de Koenig :........................................................................................................85
II Solide en rotation autour d'un axe fixe :....................................................................................85
1) Définitions :.........................................................................................................................85
2) Moment d'inertie :................................................................................................................86
3) Théorème d'Huygens :.........................................................................................................88
4) Energie cinétique :...............................................................................................................88
III Dynamique d'un solide :...........................................................................................................88
1) Théorème du moment cinétique :........................................................................................88
2) Pendule pesant :...................................................................................................................89
3) Pendule de torsion :.............................................................................................................90
4) Analogies entre translation et rotation unidimensionnelles :...............................................90
Cours de mécanique S2-PoPS et L1: C.Pasquier, Université d'Orsay 5