Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =si f

Recherche de la limite lorsque x tend vers 0
de la fonction f(x) =
Par Frank Bongongui, Samuël Lin, Ioan T’Kint et Babak Zohrevand.
Centre scolaire de Ma Campagne à Ixelles
Première approche : Recherche par essais
Un premier réflexe lorsqu’on recherche une limite peut être de remplacer x par
différentes valeurs de plus en plus proche de 0.
•
Recherche de la limite à droite.
Si x = 0,1
alors
= 0,99
x = 0,01
= 0,9999
x = 0,001
= 0,999999833
x = 0,0001
= 0,999999998
x = 0,00001
=1
•
Recherche de la limite à gauche.
Si x = -0,1
alors
= 0,99
x = -0,01
= 0,9999
x = -0,001
= 0,999999833
x = -0,0001
= 0,999999998
x = -0,00001
=1
•
La limite recherchée est donc 1.
Nous connaissons la limite mais ceci n’est pas une démonstration !
Limite de sinx / x
1
Deuxième approche : par la règle de l’Hospital
Avant de procéder à cette recherche, il est peut-être nécessaire de vous rappeler les
conditions d’application de la règle de l’HOSPITAL:
En analyse, la règle de l’Hospital (également appelée règle de Bernoulli) utilise les
dérivées dans le but de déterminer certaines limites de quotients lorsqu’on rencontre
une indétermination.
Si f et g sont 2 fonctions numériques d’une variable réelle telles que
présente un cas d’indétermination du type
•
•
ou
,
il existe un intervalle ouvert centré en a sur lequel
* f et g sont dérivables (sauf éventuellement en a)
* f et g ne sont ni simultanément nulles, ni simultanément infinies,
sauf éventuellement en a,
* lim
existe
Alors
lim
= lim
Revenons au calcul de la limite recherchée :
lim
=
On lève l’indétermination en utilisant le théorème de
l’Hospital car les conditions d’application sont vérifiées.
lim
= lim
=
=1
Attention !
Ce procédé est tentant mais scabreux puisqu’on utilise ici la dérivée de sin x, or pour
rechercher cette dérivée on a utilisé la lim
.
Cette démonstration est donc difficilement acceptable.
Limite de sinx / x
2
Troisième approche : à partir de longueurs
1)
Il est intéressant de travailler dans le cercle trigonométrique car le rayon est 1 et on y
observe 3 longueurs : sin , et tan .
Nous remarquons très vite que
en divisant par sin α
en simplifiant
en inversant et prenant la limite
1
1
Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, la limite de
quand
tend
vers 0 vaut 1.
Attention !
Nous rejetons cette démonstration car nous n’avons pas pu démontrer que
< tan .
Limite de sinx / x
3
2) Même genre de démonstration mais à partir d’une autre représentation de la
tangente
sinα
α
tanα
La longueur du segment
de droite [AM] représente
la tangente de
puisque
tan
O
=
On observe que
sin
tan , ce qui
est le même point de
départ que la
démonstration précédente.
Quatrième approche : à partir d’aires
Cette démonstration s’établira dans un cercle trigonométrique.
La fonction sin / apparaît lorsque nous utilisons les aires des triangles se trouvant
sur le schéma ci-dessous.
Limite de sinx / x
4
L’aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est /2 et enfin
l’aire du triangle OBC est (1 . tan )/2.
Nous remarquons que
l’aire du triangle OAD < l’aire du secteur OAC < l’aire du triangle OBC.
En remplaçant les aires par celles calculées ci-dessus cela donne :
(cos
. sin )/2 < /2 < (tan )/2.
On multiplie par 2 et on remplace tan
par sin /cos , on obtient :
cos
. sin
Pour faire apparaître
cos
<
<
<
on divise tout par sin
<
, ce qui nous donne :
.
On inverse chaque membre de l’inéquation. L’inéquation devient :
>
> cos
Prenons la limite de tous les termes de l’inéquation lorsque
valeurs positives.
lim
1
lim
lim
tend vers 0 par des
lim
1
Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, lim
=1
Le même type de démonstration à partir d’un dessin symétrique à celui ci-dessus
peut être fait pour la limite à gauche.
On a donc : la limite de
quand
tend vers 0 vaut 1.
Cinquième approche : à partir de l’aire du disque et du périmètre du
cercle
1) En utilisant la notion d’aire
Soit un cercle de rayon 1.
Nous exprimons son aire de 2 manières :
 Aire d’un cercle de manière générale est
sachant qu’ici r = 1, l’aire du cercle est .
 On découpe le cercle en une multitude de triangles
isocèles avec un angle au centre . Nous constatons
qu’il reste un triangle isocèle d’angle au centre plus
petit : .
Sachant que
lim
et
………
= 2 - n , on peut dire que
= 0 (théorème du sandwich)
Limite de sinx / x
5
•
Aire d’un triangle :
En 4ème on a vu que l’aire d’un triangle quelconque est (b.c.sin
)/2
L’aire d’un triangle est donc
•
Aire de n triangles :
Comme 2 -
=n
⇔ n=
L’aire de n triangles est donc
.
L’aire du cercle est égale à la somme des aires de tous les triangles lorsque l’angle
tend vers 0 et donc aussi l’angle
= lim
+ lim
on regroupe
= lim
=
.lim
.lim
+ lim
+0
1 = lim
2) En utilisant la notion de périmètre
Reprenons la même figure et exprimons le périmètre du cercle de 2 manières :
 Périmètre d’un cercle de manière générale est
r sachant qu’ici r = 1, le
périmètre du cercle est 2 .
 On utilise le même découpage en triangles
Le côté du triangle opposé à
effet si AE est bissectrice
sin(
2
/2)=
= lim
=
= lim
/2)) + lim
. sin( /2) + lim
(2
/2) en
et donc
(n. 2sin(
= lim
vaut 2sin(
).lim
2sin(
sin(
/2)
/2)
+0
= 2 .lim
Limite de sinx / x
6
= 2 .(1/2). lim
et donc 1 = lim
Sixième approche : à l’aide de la formule de Mac-laurin
Pour trouver la limite lorsque x tend vers 0 de
, il est utile d’approximer
sin x par un polynôme afin de pouvoir le diviser par x.
On va utiliser la méthode de Mac-Laurin.
Préliminaire : recherche de la formule de Mac-Laurin
f(x) = a +a x + a x² + a x³ +…+ a x
Vu qu’on cherche la valeur autour de 0, on va donc calculer l’image en 0.
f(0) = a
Pour l’instant on a le a mais on ne connaît pas le coefficient des autres termes en x
de notre polynôme. Pour les trouver, on va donc rechercher les dérivées successives
en zéro:
f ’(x)= a + 2a x + 3 a x² + 4 a x³+ … + n a x
f ’(0)= a
f ’’(x)= 2 a + 2 . 3 a x + 3.4 a x² + … + (n-1). n a x
f ’’(0)= 2 a
f ’’’(x)=2.3 a + 2.3.4 a x + … + ( n-2)(n-1) n a x
f ’’’(0)= 2.3 a
On voit que l’on obtient:
f(x)= f(0) + f ’(0)
+f ’’(0)
+f ’’’(0)
+…+f (0)
Revenons au calcul de limite
On applique le développement de Mac-Laurin à la fonction sin x et on obtient :
sin x = sin 0 + cos 0
- sin 0
- cos 0
+ sin 0
+ cos 0
+…
Limite de sinx / x
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sin x =
-
+
-
+ ...+
= -
(-1)
(-1)
et donc lim
Donc la lim
Utilité
Il nous a semblé utile, après avoir recherché et critiqué tant de démonstrations, de
recherché l’utilité de cette limite. En voici trois applications.
1)
Remplaçons
(
par 0 dans cette fonction, nous obtenons un cas d’indétermination
) qu’il faut lever.
Si nous multiplions par le binôme conjugué du numérateur, nous pouvons faire
apparaître la limite de
.
Donc,
.
Par la propriété de la limite d’un produit qui est le produit des limites, nous obtenons
finalement :
.
2) La dérivée de la fonction sin α est cos α
=
Par la propriété de la limite d’un produit et d’une somme, on a
Nous aurions pu aussi calculer cette dérivée en utilisant les formules de Simpson, au
lieu de développer
.
Limite de sinx / x
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3) Intégration numérique de
Nos méthodes habituelles ne fonctionnent pas pour calculer
.
Le programme de graphmatica non plus, il signale un problème en x=0 même si son
graphique ne le montre pas.
En utilisant la limite trouvée et la décomposition en 3 trapèzes, on trouve rapidement
=
=
avec une petite
erreur qu’on pourrait minimiser avec un découpage plus fin.
Remarque :Nous aurions aussi voulu comprendre son utilité dans les séries de
Fourier mais cela nous semblait compliqué pour le peu de temps que nous pouvions
y consacrer.
Bibliographie:
• www.ies-co.jp/math/java/calc/LimS
• Actimath 5 H.Delfeld - F.Pasquasy - I.t’Kindt-Demulder – M.-M. Timmermans
Ed Van In
• Article de “The college mathematics journal“ n°2 mars 1990 “The function
sinx/x“ de William B. Gearhart et Harris S.Shultz
Limite de sinx / x
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