Le Cassini des futurs MPSI (vol. 2) 1 Enonc´ es

Le Cassini des futurs MPSI (vol. 2)
August 27, 2015
1 Enonc´es
1.1 Arithm´etique
1. Montrer que 345+ 456peut s’´ecrire sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers.
2. D´eterminer le reste de la division euclidienne de Pn
i=0 2ipar 2n.
3. R´esoudre dans Z3:x+y =7z
4. Soit xun entier relatif. D´emontrer que l’´equation (x+ 2y)2= 1317 n’admet pas de couple solution (x, y)
dans Z
5. Soit n∈N. On pose a= 21n+4 et b= 16n+ 3 . PGCD de aet b?
6. Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que P GCD(a+b, ab) = p, o`u pest un nombre premier.
a. D´emontrer que pdivise a2.
b. En d´eduire que pdivise a. On constate donc, de mˆeme, que pdivise b.
c. D´emontrer que P GCD(a, b) = p.
7. On d´esigne par a et b des entiers naturels tels que a≤b
a. R´esoudre le syst`eme : (P GCD(a, b)=5
P P CM(a, b) = 170
b. En d´eduire les solutions du syst`eme : (P GCD(a+b, ab) = 5
P P CM(a, b) = 170
8. R´esoudre pour (x, y)∈Z,1
x+1 y=1 5
9. Soit p un nombre premier plus grand 5 que, montrez que p-1 est divisible par 24.
10. D´emontrez l’existence d’une infinit´e d’entiers xtel que ∀n∈N, x +n4n’est pas un nombre premier.
11. Quel est le chiffre des unit´es de 7777777 ?
12. Par combien de z´eros se termine100! Puis 1000!? Et 10000! ?
Equivalent en l’infini du nombre de z´eros de 10n! ?
13. Montrer que, pour tout entier naturel k, 2kdivise ansi et seulement si 2kdivise n.
1

14. Trouver x +y sachant que : x, y ∈Net(xy +x+y= 71
x2y+xy2= 880
15. 
x1+ 4x2+ 9x3+... + 49x7= 1
4x1+ 9x2+ 16x3+... + 64x7= 12
9x1+ 16x2+ 25x3+... + 81x7= 123
. Calculer 16x1+ 25x2+... + 100x7
16. Trouver un entier naturel k tel que 2k+ 237 + 234 soit un carr´e parfait.
17. R´esoudre dans N:1
x+1 y=1 2003
18. (**) Montrer que tout rationnel positif peut s’´ecrire sous la forme a3+b3
c3+d3, o`u a, b, c, d sont des entiers
naturels, non nuls.
19. Pour tout entier naturel nstrictement plus grand que 1, d´emontrer que n4+ 64 n’est pas premier.
20. En notant Ela fonction partie enti`ere:
a. Soient aet bdeux entiers strictement positifs.
Pour tout kdans {0, ..., b −1},calculer E(k.a
b) + E(a−k.a b)
b. En d´eduire la formule du PGCD: P GCD(a, b) = a+b−a.b + 2.Pb−1
k=1 E(k.a
b)
21. (**) Montrer que si 24 divise n+ 1, alors 24 divise la somme des diviseurs de n.
22. Pour quelles valeurs de n, 2n+ 12n+ 2014nest-il un carr´e parfait ?
23. Prouver que si ndivise 2n+ 1 alors 3 divise n(nstrictement sup´erieur `a 1).
24. Soient pet qdeux nombres premiers inf´erieurs `a 100. Si les nombres p+ 6, p+ 10, q+ 4, q+ 10 et p+q+ 1
sont tous premiers, quelle est la plus grande valeur que peut prendre p+q?
25. Si l’on ´ecrit les nombres de 0 `a 2015 en base 3, combien de ces nombres sont des palindromes (nombres qui
peuvent se lire indiff´eremment de gauche `a droite ou de droite `a gauche) ?
26. Si a, b, c, d et erepr´esentent les ˆages de 5 personnes et qu’on a a= 2b= 3c= 4d= 6e, quelle est la plus
petite valeur possible de a+b+c+d+e?
27. D´eterminer tous les couples (a, b) d’entiers positifs qui satisfont l’´equation a2+ 10b= 2010.
28. Soit nun entier naturel. A quelle condition n´ecessaire et suffisante n4+ 4nest-il premier ?
29. (*) La fonction d’Euler φ:N→Nassocie `a tout entier nle nombre d’entiers k < n premiers avec n.
Soit n∈N, on note n=pα1
1...pαk
k.Montrer que : φ(n) = n(1 −1
p1)...(1 −1 pk).
30. Soit n∈N.
a. Montrer que nest un carr´e parfait si et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.
b. On suppose n > 1. Montrer que ndivise n
kpour tout k∈ {2, ..., n −1}
si et seulement si nest un nombre premier.
31. On d´efinit le n-i`eme nombre de Fermat par la formule Fn= 22n+ 1 avec nappartenant `a l’ensemble des
entiers naturels , montrer que les entiers Fnsont deux `a deux premiers entre eux.
32. Par combien de z´eros se termine le nombre 2004!
33. Montrer que tout entier non divisible par 2 ou par 5 admet un multiple dont l’´ecriture en base 10 est
constitu´ee uniquement de 1 (c`ad 11111....)
2

34. Soient aet ndeux entiers sup´erieurs `a 2. On suppose que l’entier an−1 est premier
a. Montrer que a= 2
b. Montrer que nest premier
35. Soit aun entier naturel tel que a3poss`ede cinq fois plus de diviseurs naturels que a, combien de diviseurs a
poss`ede-t-il ?
36. (**) Soit un entier n > 1. Montrer que Sn=Pn
k=1 1
kn’est pas un entier.
37. (**) D´emontrer que pour tout ndans N: 2ndivise E((3 + √5)n) + 1 avec Ela fonction partie enti`ere.
38. a, b, c sont trois entiers.
On suppose que a2+b2+c2est divisible par 6 et ab +bc +ac est divisible par 3. Montrer que a3+b3+c3est
divisible par 6.
39. (**) Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs aet btels que a<bv´erifiant
ab=basont de la forme a= (1 + 1
n)net b= (1 + 1 n)n+1,nentier naturel non nul.
40. (*) Pour tout entier naturel n, on note Inle nombre d’entiers p pour lesquels 50n<7p<50n+1
a. D´emontrer que pour tout entier n, vaut 2 ou 3.
b. D´emontrer qu’il existe une infinit´e d’entiers n pour lesquels vaut 3 et donner le plus petit
d’entre eux.
41. Trouvez les nombres `a 4 chiffres de la forme aabb qui sont le carr´es d’entier.
42. (*) Soit Sle sous ensemble de Zdes entiers relatifs xtels qu’il existe(a, b, c) dans Z3tels que
x=a3+b3+c3−3abc
Sest-il stable par ×?
43. Soient a≥2 un entier et met ndeux entiers strictement positifs. Exprimer pgcd(am−1, an−1) en fonction
de a,met n.
44. Soient :
-Pnle produit des npremiers nombres premiers (la primorielle)
-pnle n-i`eme nombre premier
-Qnle produit des npremiers nombres premiers impairs
a. D´emontrer que pour nquelconque, Pn+1 ne peut jamais ˆetre un carr´e parfait.
b. D´emontrer que pour nquelconque, Q2
n+ 1 ne peut jamais ˆetre un cube parfait.
c. Pour quelles valeurs de na-t-on Pn> p2
n+1?
d. (**) D´emontrer que pour n > 1, Pn−1 ne peut jamais ˆetre une puissance parfaite.
On pourra utiliser le fait que pour ndans N, il existe un nombre premier compris strictement entre n
et 2n. (Postulat de Bertrand)
45. R´esoudre dans Zle syst`eme suivant : (x≡a[9]
x≡b[11]
46. R´esoudre dans : N3:1
x+2 y−3 z= 1
47. Les d´enominateurs de deux fractions irr´eductibles sont 600 et 700. Quelle est la plus petite valeur possible
du d´enominateur de leur somme (lorsqu’on l’´ecrit comme fraction irr´eductible) ?
48. Montrer que n! divise Qn−1
k=0 (2n−2k).
3

49. Soit pun nombre premier.
Pour tout entier n, on note vp(n) l’unique exposant de pdans la d´ecomposition en facteurs premiers de n.
Montrer la formule de Legendre : vp(n!) = Pk>0E(n
pk) = n−sp(n)
p−1(o`u Ed´esigne la partie enti`ere du r´eel et la
somme des chiffres de l’´ecriture en base pde n).
(La somme ne contient qu’un nombre fini de termes non nuls).
50. Montrer que 2 ∗6∗10 ∗.. ∗(4n−2) est un multiple de (n+ 1)! pour tout n>0.
51. Montrer que x3+y3+z3= 19692n’admet pas de solutions enti`eres.
52. Soit f:Q∗
+→Q∗ +une fonction telle que pour tout rationnel strictement positif x,f(x+ 1) = f(x)+1
et f(1
x) = 1 f(x). Montrer que pour tout rationnel strictement positif x,f(x) = x.
53. R´esoudre dans N2:n(n+ 1)(n+ 2) = m2
54. Soit n > 6. On consid`ere tous les nombres a1, ..., akinf´erieurs `a net premiers avec n.
On suppose que ak−ak−1=... =a3−a2=a2−a1>0.
Montrer que nest premier ou est une puissance de 2.
55. Soient 2012 entiers positifs n1, ...n2012 tels que n2
1+... +n2 2011 =n2 2012 Prouver qu’au moins deux de ces
entiers sont des nombres pairs.
56. Soit nun entier naturel non nul. On pose Fn= 22n+ 1 Montrer que 2Fnest congru `a 2 modulo Fn
57. Soit fune fonction minor´ee de Zdans R.
On suppose que fv´erifie, pour tout entier n:f(n)≥f(n+1)+f(n−1)
2
Montrer que fest constante.
58) (*) Soit pun nombre premier et a,bdeux entiers naturels.
On suppose de plus que pest congru `a 3 modulo 4.
Prouver que : p|a2+b2si et seulement si pdivise aet b.
1.2 Equations, in´egalit´es
1. Soient a, b, c > 0 avec abc = 1 . Montrer que : a+b+c
3≥10
qa3+b3+c3
3
2. R´esoudre l’´equation px+ 3 −4√x−1 + px+ 8 −6√x−1 = 1
3. Soit f:R2→Rune fonction born´ee.
Montrer que supx∈Rinfy∈Rf(x, y)≤infy∈Rsupx∈Rf(x, y)
4. On consid`ere m∗nsoldats organis´es en un rectangle de mlignes et ncolonnes. Qui, du plus grand des plus
petits soldats de chaque ligne, ou du plus petit des plus grands soldats de chaque colonne est le plus grand ?
5. R´esoudre cos(2x)−√3sin(2x)=1
8. R´esoudre: cos3(x) + sin3(x)=1
9. R´esoudre (en x) et discuter sin(x) + m.cos(x) = √1 + m2.cos(3x).
(On pourra poser m=tan(α))
10. R´esoudre (en x) et discuter sin(x)tan(x)(4 −tan2(x
2)) = m.tan2(x 2).
4

11. Soit a, b, c trois r´eels positifs tels que abc = 1
Montrer que : a
(a+1)(b+1) +b (b+1)(c+1) +c (c+1)(a+1) ≥3 4
12. Montrer que pour tout re´el x:cos(sin(x)) > sin(cos(x)).
13. Soient x et y deux r´eels strictement positifs, montrer que xy+yx>1
14. (**) Soient x,y des r´eels diff´erents et strictement positifs. Montrer que xx+yy> xy+yx
15. Soient a, b, c trois r´eels, tels que abc = 1 . Montrer que : a2+b2+c2+ab +ac +bc ≥6
16. Soient 0 < λ1< λ2. On note T={(x1, x2)∈R2|x1, x2≥0, x1+x2≤1}.
Pour x= (x1, x2)∈T, on note f(x) = (λ1x1+λ2x2)( x1
λ1+x2 λ2)
D´eterminez la valeur maximale que prend la fonction f, lorsque xd´ecrit l’ensemble T.
17. Montrer que ln(1 + x).ln(1 + 1
x)≤ln(2)2pour xpositif
18. Soit fune fonction r´eelle telle que : x+|f(x)−1|= 2f(x)−2.
Calculer f(x) pour x∈R
19. Montrer que pour tout (z1, z2, z3, z4)de C4,P4
k=1 |zk| ≤ P1≤j<i≤4|zi+zj|
20. Soient 0 < a1< a2. Montrer que pour tout (x, y)∈[a1, a2], on a x
y+y x≤a1 a2+a2 a1
21. Soient (a1, ..., an) et (b1, ..., bn) des r´eels strictement positifs et p, q deux r´eels strictement positifs v´erifiant :
1
p+1 q= 1
On veut montrer l’in´egalit´e : Pn
i=1 aibi≤(Pn
i=1 bq
i)1
q(Pn
i=1 ap
i)1
p
a. Montrer que pour x, y > 0 , on a xy ≤xp
p+yq q
b. Montrer que l’in´egalit´e de d´epart est vraie lorsque : (Pn
i=1 ap
i)1
p= (Pn
i=1 bq
i)1
q)=1
c. Montrer alors le cas g´en´eral.
d. Soit n∈Net p > 1 .
Montrer qu’il existe deux constantes C1et C2`a pr´eciser telles que pour tous a1, ..., an>0 on ait :
C1(Pn
i=1 ap
i)1
p≤Pn
i=1 ai≤C2(Pn i=1 ap
i)1
p
22. R´esoudre dans R3le syst`eme x+y+z= 3 ;x2+y2+z2= 3
23. Trouver l’ensemble des fonctions fde Cdans Ctelles que f(z) + i.f(¯z)=2i.
24. Soient z1, ..., zndes nombres complexes. Montrer que |Pn
k=1 zk|
1+|Pn
k=1 zk|≤Pn
k=1 |zk|
1+|zk|
25. Soient a,b,cdes r´eels tels que :(cos(a) + cos(b) + cos(c)=0
sin(a) + sin(b) + sin(c)=0 .
Que vaut donc cos(2a) + cos(2b) + cos(2c) ?
26. Soitf:Q→0; 1 telle que f(0) = 0 et f(1) = 1 et telle que, de plus, pour tout x, y dans Q, si f(x) = f(y)
alors f(x+y
2) = f(x) . Que vaut f(x) pour x > 1 rationnel ?
27. Soit c∈R.
D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur cpour que l’´equation cos(x)4+sin(x)4=cadmette au
moins une solution.
28. a. Montrer que, pour tout x≥0,x−x2
2≤ln(1 + x)≤x
b. En d´eduire la limite de la suite (un) d´efinie par : ∀n∈N∗, un=Qn
k=1(1 + k
n2)
(On admettra Pn
k=1 k2=n(n+1)(2n+1)
6)
5