TOPOLOGIE POUR ECONOMISTES Analyse, Preuves et Applications

TOPOLOGIE POUR ECONOMISTES
Analyse, Preuves et Applications
Daniel Mukoko Samba
Jean Paul K. Tsasa Vangu
1ère édition
1ier draft
2012

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Avant – propos
Les grandes avancées constatées en sciences économiques ces cinquante dernières années
sont dues essentiellement à une compréhension profonde et à une utilisation intelligente de
l’outil mathématique. Depuis, l’économiste ne cesse de repousser les frontières de son
imaginaire jusqu’à faire de l’analyse mathématique, selon les termes propre de R.E. Lucas,
le seul moyen de faire de la théorie économique, tout le reste n’étant qu’images et débats !
A travers cet ouvrage, nous proposons aux économistes en herbe un arsenal d’outils
d’analyse devant les préparer à affronter les sujets et thèmes de recherche traités au
niveau de la frontière des connaissances. A l’effet de s’approcher pertinemment de cette
frontière, il faut une initiation rigoureuse et surtout méthodique. Constatant quelques
faiblesses et failles dans ce processus d’initiation au niveau national, nous avons résolu
destiner la première édition de cet ouvrage aux universités locales afin de contribuer à
l’amélioration de la qualité du capital humain, facteur important dans le développement et
le progrès de toute société qui se veut ambitieuse.
En intitulant cet ouvrage « Topologie pour économistes », nous désirons forger une nouvelle
vision sur le plan académique et motiver une mise à jour du contenu du programme dans
les facultés d’économie de nos universités locales. En effet, l’économie est une discipline
relativement jeune, cependant son développement s’est fait à grande vitesse. A ce jour,
force est de constater que la rigueur mathématique, en caractérisant la plupart de grandes
théories économiques, a renvoyé la dimension philosophique essentiellement au niveau de
la construction des hypothèses et de l’interprétation des résultats. Au regard de cette
métamorphose, il est important que le contenu du programme en économie au sein de nos
facultés soit dynamique afin de s’adapter à chaque fois à la nouvelle donne imposée par
l’actualité scientifique. Nous estimons que c’est à ce prix que nos universités seraient à
même de combler leur retard et absence sur la scène internationale.
L’ouvrage « Topologie pour économistes » s’adresse, plus particulièrement, aux étudiants
de premier et deuxième cycle en économie de nos universités locales. Il a pour objectif
d’offrir les bases solides sur quelques notions en topologie qui semblent indispensables à
une compréhension rigoureuse de nombreux concepts et notions fondamentaux utilisés
couramment par l’économiste, tels que les limites, la continuité, le voisinage, la dérivée ou
encore l’équilibre.
Au-delà de ces considérations classiques, comme le note Carl P. Simon et Lawrence Blume,
nous estimons également que pour le meilleur ou pour le pire, les Mathématiques sont
devenues le langage des analyses économiques modernes. Cependant, force est de
constater que l’attention accordée à certaines branches des Mathématiques comme la
topologie ou la théorie de la mesure et de l’intégration dès le premier cycle, voire le second
cycle en économie est trop faible et même quasi-neutre au sein des facultés de nos
universités locales.

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Comme les enseignements d’initiation à la logique, à la philosophie, au droit ou à l’éthique
qui offrent chacun dans son domaine respectif, des bases nécessaires à l’étudiant dès son
entrée à l’université, de même cet ouvrage se propose également d’initier l’étudiant au
raisonnement rigoureux et de forger en lui, le reflexe et le souci de comprendre les
fondements de différentes analyses rencontrées dans son parcours qui, pour la plupart,
exige implicitement la maîtrise de quelques concepts et notions en topologie. Le contenu de
cet ouvrage apparaît de ce fait, comme un complément indispensable aux enseignements
de mathématiques générales et de théorie des probabilités qui, à ce jour, tels que présentés
dans nos universités, apparaissent de plus en plus moins ambitieuses au regard de la
dynamique de la science économique.
Nous adressons également cet ouvrage aux enseignants et chercheurs locaux désirant
œuvrer sur la frontière de la recherche. En effet, nous estimons que sans une bonne
initiation à la manipulation des concepts et notions fondamentaux de topologie, de théorie
de la mesure et de l’intégration, les chercheurs issus de facultés d’économie de nos
universités locales et y œuvrant ne sauraient être internationalement compétitives, ou sinon
devront réaliser plusieurs tours de passe pour y parvenir.
En nommant cet ouvrage « Topologie pour économistes », une question double se pose
implicitement : quel doit être le contenu d’un tel ouvrage et comment doit–il être présenté ?
A la première phase de l’interrogation, nous estimons que le contenu d’un tel ouvrage doit
posséder les caractéristiques suivantes, être à la fois : (i) synthétique (ii) démonstratif ; (iii)
intuitif ; (iv) illustratif ; (v) facilement conciliable aux principaux concepts abordés dans la
plupart de cours d’économie au niveau des cycles inférieurs (graduat et licence). Et la
réponse à la deuxième phase de la question (cf. table des matières) permet d’atteindre les
cinq objectifs décrits précédemment.
In fine, dès les cycle inférieurs, l’économiste a intérêt à se familiariser aux concepts de
topologie, ne serait – ce pour de raisons d’ordre historique. En effet, remarquons que la
topologie a joué un rôle majeur dans l’avancée et le développement des sciences
économiques. A titre illustratif, nous citons :
(i) la dérivation formelle d’une solution en théorie des jeux à l’aide du théorème du point
fixe de Kakutani (proposée en 1954 par Nash, Prix Nobel d’économie 1994) ;
(ii) la preuve de la proposition d’existence d’équilibre général partant des équations de
Walras (démonstration rendue possible en 1953 par Arrow, Prix Nobel d’économie
1972 ; Debreu, Prix Nobel d’économie 1983 et McKenzie, 1953) ;
(iii) ou encore la transposition des équations de Bellman en analyse macroéconomique dès
les années 1970 – 80 notamment par Sargent (Prix Nobel d’économie 2011) et par
Lucas (Prix Nobel d’économie 1995).

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Remarquons au passage, que la proposition de ces différents cadres formels d’analyse
exigeait une connaissance raffinée, notamment sur le concept d’espaces et sur la
manipulation des hypothèses fondant les preuves de théorèmes du point fixe.
In fine, au regard de la place majeure qu’occupe la connaissance des concepts de topologie
dans la compréhension de grands enjeux caractérisant le développement des sciences
économiques, nous avons résolu d’intituler cet ouvrage « Topologie pour économistes », à
l’instar de nombreux intitulés rencontrés sur le marché de livres, Mathématiques pour
économistes, statistiques pour économistes, Probabilités pour économistes, etc.
Daniel Mukoko Samba
Professeur d’université
Jean – Paul K., Tsasa
PhD student

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Sommaire
Introduction
Chapitre I : Eléments sur la théorie des ensembles
I.1 : Introduction à la notion d’ensemble
I.2 : Application et Fonction
Chapitre II : Structure d’espace vectoriel
II.1 : Espace vectoriel
II.2 : Produit scalaire et Métrique
Exercices
Chapitre III : Applications linéaires
III.1 : Morphisme
III.2 : Théorème de rang et Kernel
III.3 : Systèmes linéaires
III.4 : Equations différentiels
Exercices
Chapitre IV : Nombres réels et Nombres complexes
IV.1 : Ensemble des réels
IV.2 : Ensemble des complexes
Exercices
Chapitre V : Suite et Cauchy-convergence
V.1 : Suite, Métrique et Complétude
V.2 : Critère de Cauchy
V.3 : Règles de Cauchy et d’Alembert
V.4 : Règle d’Abel
Exercices
Chapitre VI : Fonctions réelles
VI.1 : Limites, Continuité et Différentiation
VI.2 : Fonctions Exponentielle, logarithmique et trigonométriques
VI.3 : concavité, Convexité et Quasi-concavité
Exercices
Chapitre VII : Espaces topologiques
VII.1 : Construction d’une topologie
VII.2 : Intérieur, Adhérence et Frontière d’une partie