ℕ

Matière : Mathématiques Cours : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
Parties du cours :
1. L'ensemble
ℕ
- Division euclidienne.
2. Nombres pairs - Nombres impairs.
3. Nombre premier – Décomposition en facteurs premiers.
4. Multiples d'un nombre – Le plus petit commun multiple (PPCM ).
5. Diviseur d'un nombre – Le plus grand commun diviseur (PGCD).
1 - L'ensemble
ℕ
- Division euclidienne.
1 - L'ensemble
ℕ
:
On désigne par
ℕ
l'ensemble des entiers naturels :
ℕ = {0;1;2;3;4...}
.
On désigne par
ℕ*
l'ensemble des entiers naturels non nuls :
ℕ*= {1;2;3;4...}
Remarques :
- Tous les éléments de l'ensemble
ℕ
sont positifs.
- Les entiers naturels ne contiennent pas de virgule.
si
n
est un entier naturel, on écrit :
n∈ ℕ
et se lit
n
appartient à
ℕ
.
si
n
n'est pas un entier naturel, on écrit :
n∉ ℕ
et se lit
n
n'appartient pas à
ℕ
Exemples :
2∈ ℕ
/
2,5 ∉ ℕ
/
21
7∈ ℕ
/
22
7∉ ℕ
-------------------------------- ( Exercice 1 ) ---------------------------------
2 - Division euclidienne :
En arithmétique dans l'ensemble
ℕ
, la division euclidienne est une opération qui à
deux entiers appelés dividende et diviseur associe deux autres entiers appelés
quotient et reste.
Page 1 Pr. Sahbani
Définition :
Notations :
Définition :

Matière : Mathématiques Cours : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
Soient
a
et
b
deux entiers naturels, il existe deux entiers naturels notés
q
et
r
tel que :
a=b×q+r
a
: dividende
b
: diviseur
q
: quotient
r
: reste
Exemples :
Dividende
126
24
Diviseur
5
Quotient
6
Reste
On a :
126 =5×24 +6
.
Dividende
184
15
Diviseur
12
Quotient
4
Reste
On a :
184 =12 ×15 +4
.
-------------------------------- ( Exercice 2 ) ---------------------------------
3 – Critères de divisibilité
On dit qu'un nombre
a
est divisible par
b
si le reste de la division euclidienne de
a
par
b
est nul.
Par 2 : un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemples: 13 574 ; 279 836.
Page 2 Pr. Sahbani
Notations :

Matière : Mathématiques Cours : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
Par 3 : un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemples: 741 (7+4+1 = 12) ; 8 433 (8+4+3+3 = 18).
Par 4 : un nombre est divisible par 4 lorsque les deux chiffres de droite forment un nombre
divisible par 4.
Exemples: 35148 ; 57376.
Par 5 : un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est : 0 ou 5
Exemples: 3 570 ; 14 235.
Par 9 : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple : 12 345 678 (1+2+3+4+5+6+7+8 = 36).
-------------------------------- ( Exercice 3 ) ---------------------------------
2 - Nombres pairs - Nombres impairs.
Le nombre
n
est pair si et seulement si
n
2∈ ℕ
, les nombres pairs sont :
0; 2; 4; 6; 8...
Le nombre
n
est impair si et seulement si
n
2∉ ℕ
, les nombres impairs sont :
1; 3; 5; 7; 9..
Autrement :
- On dit que
n
est pair s'il existe un nombre
k∈ ℕ
tel que
n=2k
.
- On dit que
n
est impair s'il existe un nombre
k∈ ℕ
tel que
n=2k+1
.
-------------------------------- ( Exercice 4 ) --------------------------------
-------------------------------- ( Exercice 5 ) --------------------------------
-------------------------------- ( Exercice 6 ) --------------------------------
Page 3 Pr. Sahbani
Définition :

Matière : Mathématiques Cours : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
3 - Nombre premier – Décomposition en facteurs premiers.
1 - Nombre premier :
Soit
p
un entier naturel différent de
1
.
On dit que le nombre
p
est premier s'il n'est divisible que par
1
et lui même.
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Remarque :
•Un entier naturel différent de
1
qui n'est pas premier est appelé composé.
Exemples :
12
est divisible par :
1, 2, 3, 4, 6, 12
donc
12
n'est pas premier.
7
est divisible par :
1
et
7
alors
7
est premier.
1
n'est pas premier.
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Remarque :
•Un entier naturel différent de
1
et inférieur à 100 est premier s'il n'est pas divisible
par
2, 3, 5 ou 7
.
2 - Décomposition en facteurs premiers :
Tout entier naturel non nul et différent de 1 s'écrit sous forme de produit des facteurs
premiers.
Exemples :
Page 4 Pr. Sahbani
Définition :
Propriété :

Matière : Mathématiques Cours : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
12
2
156
2
6
2
78
2
3
3
39
3
1
13
13
1
On obtient :
12 =22×3
156 =22×3×13
-------------------------------- ( Exercice 7 ) --------------------------------
4 - Multiples d'un nombre – Le plus petit commun multiple (PPCM ).
1 - Multiples d'un nombre :
Les multiples de
n
sont :
0, n , 2n ,3n...
Autrement :
b
est un multiple de
a
s'il existe un nombre
n∈ ℕ
tel que :
b=n×a
Exemples :
- Les multiples de 2 sont les nombres pairs
- Les multiples de 3 sont :
{0, 3, 6, 9, 12, 15 ...}
, car :
0×3=0
/
1×3=3
/
2×3=6
/
3×3=9
...
- Les multiples de 7 sont :
{0, 7, 14, 21 ...}
, car :
0×7=0
/
1×7=7
/
2×7=14
/
3×7=21
...
Remarques :
- Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers.
- si
m
est un multiple non nul du nombre
x
alors :
x⩽m
.
Page 5 Pr. Sahbani
Définition :