L`ensemble du cours 2013-14, avec table des matières et index

Formation Interuniversitaire de Physique
Ann´ee 2013-2014
Math´ematiques pour physiciens
Jean-Bernard Zuber

Figure 1 –
6 math´ematiciens qui ont laiss´e des contributions fondamentales dans le sujet de ce cours.
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) et (Jean-Baptiste) Joseph Fourier (1768 - 1830) ;
Sim´eon Denis Poisson (1781 - 1840) et Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) ;
Henri Lebesgue (1875 - 1941) et Laurent Schwartz (1915 - 2002)
J.-B. Z L3 FIP 2013 30 janvier 2014

Bibliographie
[1] Walter Appel, Math´ematiques pour la physique et les physiciens !, H& K ´ Editions
[2] Claude Aslangul, Des math´ematiques pour les sciences,Cours et Exercices, de Broeck, 2011
[3] Claude Aslangul, Des math´ematiques pour les sciences,Exercices corrig´es, de Broeck, 2013
[4] Henri Cartan, Th´eorie ´el´ementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables
complexes, Hermann 1961
[5] Jacques Gapaillard, Int´egration pour la licence, Dunod 2002
[6] John Lamperti, Probability, Benjamin 1966
[7] W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, Masson 1977.
[8] Laurent Schwartz, M´ethodes math´ematiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965.
[9] Laurent Schwartz, Th´eorie des distributions, Hermann, 1966.
[10] Laurent Schwartz, Analyse I. Topologie G´en´erale et Analyse Fonctionnelle, Hermann, 1991.
Parmi ces ouvrages, certains sont ´ecrits dans un esprit assez proche de celui du pr´esent
cours, en particulier [1], dont je me suis beaucoup inspir´e. Le lecteur trouvera d’innombrables
applications et exercices dans [2] et [3].

ii BIBLIOGRAPHIE
Plan du cours
–1 Rappels, convergence, s´eries, fonctions 1 cours
–2 Int´egration 2 cours
–3 Distributions 11
2cours
–4 Transformation de Fourier 11
2cours
–5 Probabilit´es 21
2cours
–6 S´eries enti`eres. Fonctions d’une variable complexe 1 cours
–7 Fonctions holomorphes. Th´eor`eme de Cauchy 21
2cours
–8 Fonctions de variables complexes, applications 11
2cours
–9 Transformation de Laplace 11
2cours
–10 Aspects de la th´eorie des groupes 1 cours

Table des mati`eres
1 Rappels, convergence, s´eries, fonctions 1
1.1 Topologie de la droite r´eelle (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Suites convergentes. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Ouverts, ferm´es. Points d’accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Les deux propri´et´es fondamentales de R.................. 3
1.1.4 Compl´ements ................................. 3
1.2 Bribes de topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Petitglossaire................................. 4
1.2.2 Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Suites convergentes, suites de Cauchy dans un espace norm´e . . . . . . . 6
1.3 Suites et s´eries de fonctions. Convergence simple, uniforme, en norme. . . . . . . 7
1.3.1 Convergence d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Continuit´e d’une limite de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 D´erivabilit´e d’une limite de fonctions d´erivables. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Int´egrabilit´e d’une limite de fonctions int´egrables. . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 S´eries. S´eries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Int´egration 17
2.1 Int´egraledeRiemann................................. 17
2.1.1 Rappels sur l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Int´egrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Probl`emes avec l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Int´egrale de Lebesgue. Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Id´eeintuitive ................................. 19
2.2.2 Mesure (Bribes de th´eorie de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Retour `a l’int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Int´egrales de Lebesgue sur R2ou Rn.................... 26