Loi binomiale Activité 1 page 226......................................................

Loi binomiale
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
Index
Activité 1 page 226 ................................................................................................................................... 1
Activité 2 page 227 ................................................................................................................................... 4
17 page 246 ............................................................................................................................................... 6
18 page 246 ............................................................................................................................................... 6
19 page 246 ............................................................................................................................................... 7
21 page 247 ............................................................................................................................................... 8
23 page 247 ............................................................................................................................................... 9
34 page 249 ............................................................................................................................................. 10
57 page 252 ............................................................................................................................................. 11
Activité 1 page 226
A/ Une expérience aléatoire élémentaire.
Vers la définition d'une épreuve de Bernoulli (Jacob Bernoulli : (1654-1705))
P(S) =
1
3
, d'où, P(E) = 1 –
1
3
=
2
3
Bilan : On considère une épreuve à deux issues (S et S ) ou (S et E ) (Comme Succès et Échec)
On pose P(S) = p et, par conséquent P(S) = 1 – p = q
Un telle épreuve à deux issues S et S est une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
B/ Quatre répétitions : Un schéma de Bernoulli.
1a)
« C'est à force d'observations, de réflexion que l'on trouve. Ainsi, piochons, piochons continuellement» Claude Monet
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S
p
S
1-p=q

Loi binomiale
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
b) L'issue SSSS a pour probabilité
(
1
3
)
2
×
(
2
3
)
2
L'issue SSSS a pour probabilité
(
1
3
)
2
×
(
2
3
)
2
c) P(" Obtenir deux succès ") = P(SSSS) + P(SSSS) + P(SSSS) + P(SSSS ) + P(SSSS) + P(SSSS)
= 6×
(
1
3
)
2
×
(
2
3
)
2
2)
k0 1 2 3 4 Total
P(X = k)
(
2
3
)
4
4×
(
1
3
)
×
(
2
3
)
3
6×
(
1
3
)
2
×
(
2
3
)
2
4×
(
1
3
)
3
×
(
2
3
)
(
1
3
)
4
1
Bilan : On appelle schéma de Bernoulli une expérience aléatoire où on répète n épreuves de Bernoulli de
paramètre p identiques et indépendantes.
On peut associer un arbre où un chemin est une liste de n éléments S et S.
Un chemin ayant k succès a donc n – k échecs.
(
S…S
⏞
k
S…S
⏞
n−k
)
« C'est à force d'observations, de réflexion que l'on trouve. Ainsi, piochons, piochons continuellement» Claude Monet
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S
1/3
S
1/3
S
1/3
S
1/3
S
2/3
S
2/3
S
1/3
S
2/3
S
2/3
S
1/3
S
1/3
S
2/3
S
2/3
S
1/3
S
2/3
S
2/3
S
1/3
S
1/3
S
1/3
S
2/3
S
2/3
S
1/3
S
2/3
S
2/3
S
1/3
S
1/3
S
2/3
S
2/3
S
1/3
S
2/3

Loi binomiale
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
On considère la variable aléatoire X prenant pour valeurs le nombre de succès lors de ces n répétitions.
X prend par conséquent n + 1 valeurs entières de 0 à n .
La probabilité d'un chemin ayant k succès et n – k échecs est pk×qn–k où q = 1 – p.
Pour déterminer la loi de probabilité de X, on est amené à compter le nombre de chemins ayant k succès et n – k
échecs.
Notation du nombre de chemins, les coefficients binomiaux.
Le nombre de chemins donnant k succès et n – k échecs est noté
(
n
k
)
et se lit : k parmi n
Ces nombres
n
k
sont appelés coefficients binomiaux
D'après l'exemple :
(
4
0
)
= 1,
(
4
1
)
= 4,
(
4
2
)
= 6,
(
4
3
)
= 4,
(
4
4
)
= 1
Pour ceux qui veulent en savoir plus :
(
n
k
)
=
n(n−1)×…×(n−k+1)
k×…×1
C/ Cinq répétitions : Une propriété des coefficients binomiaux
1) On a un et un seul chemin pour l'événement (Y = 0) . P(Y = 0) =
(
2
3
)
5
On a un et un seul chemin pour l'événement (Y = 5) . p(Y = 5) =
(
1
3
)
5
« C'est à force d'observations, de réflexion que l'on trouve. Ainsi, piochons, piochons continuellement» Claude Monet
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S
p
S
p
,,,,,,,,,,,,,,,,
S
p
S
1-p
S
1-p
,,,,,,,,,,,,,,,,
S
p
S
1-p
S
1-p
S
p
,,,,,,,,,,,,,,,,
S
p
S
1-p
S
1-p
,,,,,,,,,,,,,,,
S
p
S
1-p

Loi binomiale
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
2) a) La probabilité d'un chemin ayant deux succès (et donc trois échecs) est
(
1
3
)
2
×
(
2
3
)
3
b) Si un tel chemin se termine par S, on doit avoir avant un seul Succès lors des quatre premières répétitions.
On a en ce cas : 4 chemins.
Si un tel chemin se termine par S, on doit avoir avant deux Succès lors des quatre premières répétitions.
On a en ce cas : 6 chemins.
Finalement, on a 4 + 6 = 10 chemins donnant deux succès en cinq répétitions.
c) P(Y = 2) =
10×
(
1
3
)
2
×
(
2
3
)
3
Bilan : Pour calculer le nombre de chemins
(
n+1
k
)
représentant k succès lors de n + 1 répétitions à partir du
nombre de chemins lors des n répétitions, on peut distinguer deux cas
- soit on a eu k succès, n – k échecs pour n répétitions et 1 échec supplémentaire,
- soit on a eu k – 1 succès, n – k + 1 échecs pour n répétitions et 1 succès supplémentaire.
On a donc :
(
n+1
k
)
=
(
n
k
)
+
(
n
k−1
)
Dans l'exemple :
(
5
2
)
⏟
2 succès parmi 5
=
(
4
2
)
⏟
2 succès parmi 4
1 échec supplémentaire
+
(
4
1
)
⏟
1 succès parmi 4
1 succès supplémentaire
D/ Dix répétitions
1) Z peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 10.
P(Z = 0) =
(
2
3
)
10
et P(Z = 10) =
(
1
3
)
10
2 a) L'issue contenant 4 succès et 6 échecs a pour probabilité :
(
1
3
)
4
×
(
2
3
)
6
quelque soit l'ordre des succès et des échecs.
b) c) il faut connaître le nombre de chemins donnant 4 succès et 6 échecs pour déterminer P(Z = 4).
P(Z = 4) =
(
10
4
)
(
1
3
)
4
×
(
2
3
)
6
où
(
10
4
)
est le nombre de chemins.
d) Comme
(
10
4
)
= 210, P(Z = 4) ≈ 0,2276 à 10–4 près
Activité 2 page 227
À chaque intersection deux choix possibles : Sud ou Est.
(On a alors une épreuve de Bernoulli)
1) les trois chemins SSEEE, SEESE, ESESE conduisent au point L.
« C'est à force d'observations, de réflexion que l'on trouve. Ainsi, piochons, piochons continuellement» Claude Monet
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
2) Voir plan complété.
3) pour arriver à L, on est arrivé à l'intersection précédente soit en T, soit en S.
Le nombre de chemins menant à L est donc la somme des chemins menant à R et à L.
4) a) Le nombre
(
5
2
)
représente le nombre de chemins permettant de se déplacer de 5 unités : 2 fois vers le
Sud et 3 fois vers l'Est.
b) Voir plan
c)
(
n
k
)
=
(
n−1
k−1
)
+
(
n−1
k
)
d)
(
n
k
)
=
(
n
n−k
)
(
n
0
)
=
(
n
n
)
= 1
(
n
1
)
=
(
n
n−1
)
= n.
« C'est à force d'observations, de réflexion que l'on trouve. Ainsi, piochons, piochons continuellement» Claude Monet
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