énoncé et corrigé du DM n° 1

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques
Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261)
Janvier-Juin 2015.
Devoir Maison no1
Exercice 1 : Convergence et calcul d’intégrales
1. Étudier la nature des intégrales suivantes
(a) !+∞
0
ch t−cos t
t5/2dt;
(b) !+∞
0
ch t−cos t
(et−1)5/2dt;
(c) !+∞
1
ln "1−sh 1
sh t#dt
(d) !+∞
0
√tsin(1/t2)
ln(1 + t)dt;
(e) !+∞
0
ln(1 + ta)
tbdt
2. Montrer l’existence et calculer la valeur de !1
0
ln t
√1−tdt.
(Utiliser le fait que t#→ −2(√1−t−1) est une primitive de t#→ 1/√1−t.)
3. Étudier la convergence de $+∞
1|sin x|xdx.
(Considérer un=$nπ
(n−1)π|sin x|xdxet utiliser l’équivalent $π/2 0sinnxdx∼
n→+∞%π/(2n).)
Exercice 2 : Fonction Bêta d’Euler Déterminer l’ensemble des réels x, y tels que l’intégrale suivante
converge
B(x, y)=!1
0
tx−1(1 −t)y−1dt
Exercice 3 : Intégrales elliptiques Soit k∈]−1;1[ un nombre réel.
1. Montrer que les intégrales
I(k)=!1
0
dx
%(1 −x2)(1 −k2x2)et J(k)=!1
0
x2
%(1 −x2)(1 −k2x2)dx
sont convergentes.
(Indication : trouver un changement de variable convenable enreconnaissantI(0).)
2. Dans cette question, on donne une interprétation géométrique des quantités I(k)et J(k)quand
k!0.Onfixe0<b"adeux réels et on considère l’ellipse Ed’équation
x2
a2+y2 b2=1.
Montrer que la longueur de Eest 4a·(I(k)−k2J(k)) où k=%1−b2/a2est l’excentricité de E.
3. Montrer que la série entière
π
2&
m!0"1·3···(2m−1)
2·4···2m#2
·k2m
converge et que sa somme vaut I(k).
(On pourra prouver et utiliser la formule $π/2
0sinmtdt=π
2
1·3···(m−1)
2·4···mvalable pour tout entier natu-
rel mpair.)
1

Exercice 4 : Quelques questions théoriques sur les fonctions intégrables
1. Soit f:[0,+∞[→Rune fonction de classe C1.
(a) On suppose que fet f′sont intégrables sur [0,+∞[.Montrerque
lim
x→+∞f(x)=0.
(b) On suppose maintenant que f2et f′2sont intégrables sur R+.Montrerquefadmet une limite
en +∞et la déterminer.
2. On considère cette fois une fonction f:R+→Rdécroissante et intégrable sur R+.
(a) Montrer que lim
x→+∞f(x)=0.
(b) Montrer que lim
x→+∞xf(x)=0.
(c) Donner un exemple de fonction continue définie de R+dans R+,intégrablesurR+mais qui
n’admet pas de limite en +∞.
2

Quelques précisions et indications pour l’exercice 3 du DM no1
Question 2 Lorsque fest une fonction de classe C1sur un intervalle I,alorspourtousa, b ∈Iavec a"b,
la longueur de la courbe {(x, f(x)) |x∈I}formée par le graphe de fentre les points de coordon-
nées (a, f(a)) et (b, f(b)) est donnée par la formule
La,b(f)=!b
a%1+(f′(x))2dx
En remarquant que l’on peut donner l’équation de la partie de l’ellipse dans le demi-plan supé-
rieur {y!0}sous la forme y=f(x),retrouverlerésultatattendu.
Question 3 Par définition, on note pour tout réel αet tout entier naturel m
"α
m#=α×(α−1) ×···×(α−m+1)
m!
Pour résoudre la question, on pourra déterminer, pour α∈R,lerayondeconvergencedelasérie
t#−→ &
m!0"α
m#tm
et montrer que cette série entière converge uniformément surlesintervallescompactsde]−1,1[
vers la fonction Pα:t#→ (1 + t)αen calculant (1 + x)S′(x)pour x∈]−1;1[,oùSest la somme de
la série.
On pourra ensuite appliquer ce résultat aux fonctions qui sont intégrées pour définir I(k)et J(k).
3

Corrigé du Devoir Maison no1
Correction de l’exercice 1 On appelle fl’intégrande des intégrales considérées.
1. (a) La fonction fest continue sur ]0; +∞[et
f(t)=
1+t2/2−(1 −t2/2) + o
t→0(t2)
t5/2∼t→0
1
√t
qui est intégrable en 0d’après le critère de Riemann donc $1
0fconverge. Puis on a ch t∼t→+∞
et/2donc f(t)∼t→+∞ett−5/2/2qui est d’intégrale divergente donc $+∞
1fdiverge et par suite
$R+fdiverge.
(b) La fonction fest continue sur R∗
+.Commeet−1∼t→0ton a f(t)∼t→0t−1/2qui est intégrable
en 0et vu f(t)∼t→+∞et/(2e5/2t)=e
−3/2t/2intégrable en +∞on en déduit que $R∗
+f
converge.
(c) On a sh t=(e
t−e−t)/2et sh′(t)=cht=(e t+e −t)/2>0pour tout réel tet par suite sh est
strictement croissante sur Rdonc pour tout t>1on a 1−sh 1/sh t>0.Ilenrésultequela
fonction fest définie et continue sur ]1 ; +∞[et pour tout x>0on a pour t=x+1
sh t=sh(x+1)=shxch 1 + sh 1 ch x
sh 1
sh t=1 ch x+shx·ch 1/sh 1 =1 1+x·ch 1/sh 1 + o
x→0(x)=1−x·ch 1
sh 1 +o
x→0(x)
Cela montre que
f(t)=ln"(t−1) ·ch 1
sh 1 +o
t→1(t−1)#=ln(ch1/sh 1 + o t→1(1)) + ln(t−1)
ce qui prouve que fest intégrable en 1.
On a ensuite pour t→+∞
f(t)=ln"1−sh 1
sh t#∼−sh 1 sh t∼−2sh1·e−t
ce qui établit l’intégrabilité de fen +∞.Finalementl’intégraleconverge.
(d) La fonction fest continue sur R∗
+.Deplus
|f(t)|"√t
ln(1 + t)∼
t→0
1
√t
donc f(t)= O
t→0(t−1/2)ce qui montre l’intégrabilité en 0.Puisl’inégalité|sin x|"|x|montre
que
|f(t)|"t−3/2
ln(1 + t)=o
t→+∞(t−3/2)
ce qui établit l’intégrabilité en +∞donc fest intégrable sur R∗
+.
(e) La fonction f:t#→ ln(1 + ta)t−best continue sur R∗
+pour tout couple (a, b)∈R2.Plusieurs
cas se présentent suivant les valeurs de aet b.
Tout d’ab ord étudions le comp ortement en 0:
•si a>0alors f(t)∼t→0ta−bqui est intégrable si et seulement si b−a<1(Riemann) ;
•si a=0alors f(t)=ln2t−best intégrable si et seulement si b<1(Riemann) ;
4

•si a<0alors f(t)∼t→0at
−bln test intégrable si et seulement si b<1(intégrale de
Bertrand).
Puis étudions le comportement en +∞:
•si a>0alors f(t)∼t→+∞at
−bln tqui est intégrable si et seulement si b>1(intégrale de
Bertrand) ;
•si a=0alors f(t)=ln2t−best intégrable si et seulement si b>1(Riemann) ;
•si a<0alors f(t)∼t→+∞ta−best intégrable si et seulement si b−a>1(Riemann).
En conclusion l’intégrale converge si et seulement si 1+a<b<1ou 1<b<a+1.
2. La fonction f:t#→ ln t/(√1−t)est continue sur ]0 ; 1[.Onaf(t)∼t→0ln tqui est intégrable. Puis
f(t)∼t→1−√1−tdonc fadmet une limite finie à savoir 0en 1.Onendéduitque$1
0fconverge.
La fonction G:x#→ −2(√1−x−1) est une primitive de g:x#→ 1/√1−xde sorte que pour tous
0<a"b<1on a
!b
a
f='−2(√1−t−1) ln t(b
a+2!b
a
√1−t−1
tdt
Le C1difféomorphisme u:t#→ √1−tde ]0 ; 1[ dans lui-même permet de faire le changement de
variable t=1−u2pour fournir
!b
a
√1−t−1
tdt=!√1−b
√1−a
u−1
1−u2(−2udu)=!√1−b
√1−a
2u
1+udu=[2u−2ln(1+u)]√1−b
√1−a
En faisant a→0et b→1on obtient
!1
0
ln t
√1−tdt=4(ln2−1)
3. Comme π<4,|sin x|"1pour tout xet que a#→ taest décroissance sur ]0; 1],ona
∀n!1∀x∈[(n−1)π;nπ]|sin x|x!|sin x|4n
et par suite
∀n!1un!!nπ
(n−1)π|sin x|4ndx=!π
0|sin x|4ndx=2!π/2 0|sin x|4ndx
L’équivalent rappelé dans l’énoncé montre alors que )undiverge. Or )n
k=1 uk=$nπ
0|sin x|xdx
pour tout n!1donc cela montre que l’intégrale $+∞
0|sin x|xdxdiverge.
Correction de l’exercice 2 On fixe x, y > 0dans la suite ainsi que la fonction f:t#→ tx−1(1 −t)y−1.
•Cette fonction est positive et continue sur l’intervalle ]0,1[.
•On a f(t)∼t→0tx−1et d’après le critère de Riemann, la fonction de signe constant t#→ tx−1est
intégrable en 0si et seulement si x−1>−1c’est-à-dire x>0
•de la même manière f(t)∼t→1(1 −t)y−1est intégrable en 1si et seulement si y>0.
Si l’on souhaite directement montrer la divergence de B(x, y)pour x<0par exemple on peut minorer
de la façon suivante
!1
ε
f(t)dt!!1/2
ε
f(t)dt!(1/2)y−1!1/2
ε
tx−1dt=(1/2)y−11
x(2−x−εx)−− −→
ε→0−∞
Pour x=0la primitive est ln donc la minoration est
!1
ε
f(t)dt!21−y(ln(1/2) −ln ε)
5