Probabilités Kara-Zaitri Lydia École préparatoire en sciences et techniques d’Oran Programme de première année / 2 Chapitre 7 Transformation d’un couple aléatoire réel 7.1 Changement de variables de R2 vers R2 Soient (X, Y ) et (U, V ) deux couples aléatoires reéls, tels que : (U, V ) = φ(X, Y ) = (φ1 (X, Y ) ; φ2 (X, Y )) où φ, φ1 et φ2 sont des fonctions reélles. Nous pouvons déterminer la loi de probabilité du couple (U, V ) à partir de la loi de probabilité du couple (X, Y ) . 1. (X, Y ) discret et (U, V ) discret : La loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par : ∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) : X P(U = u ; V = v) = (u,v)=φ(x,y) Exemple. Soit (X, Y ) un c.a.d de loi de probabilité : Y \ X 0 1 0 3/9 2/9 1 1/9 3/9 Donner la loi du couple (U, V ) tel que : ( U =X +Y V =X −Y 3 P(X = x ; Y = y) 7.1. DE R2 VERS R2 CHAPITRE 7. TRANSFORMATION D’UN COUPLE ALÉATOIRE RÉEL 2. (X, Y ) continu et (U, V ) discret : La loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par : ZZ ∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) : P(U = u ; V = v) = fX;Y (x ; y)dx dy (u,v)=φ(x,y) Exemple. Soit le couple (X, Y ) de densité : si 0 < x < 1 et 0 < y < 1, 4xy fX,Y (x, y) = 0 sinon. Donner la loi du couple (U, V ) tel que : si 0 < x ≤ 1/2 1 U= 2 si 1/2 < x < 1 et V = 1 si 0 < y ≤ 1/2 2 si 1/2 < y < 1 3. (X, Y ) continu et (U, V ) continu : Si la fonction φ est bijective , La loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par : ∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) où : Jφ−1 : = fU ;V (u; v) = fX;Y φ−1 (u ; v) Jφ−1 d φ−1 1 du d φ−1 2 du d φ−1 1 dv d φ−1 2 dv Exemple. Soit le couple (X, Y ) de densité : 2 −λ (x+y) λ e fX,Y (x, y) = 0 Donner la loi du couple (U, V ) tel que : ( 6= 0 si x > 0 et y > 0, sinon. U =X +Y V =X −Y Remarque. Si la fonction φ n’est pas bijective, et qu’elle admet plusieurs images réciproques : ψ1 ; ψ2 ; · · · ; ψn , la loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par : ∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) : fU ;V (u; v) = n X fX;Y (ψi (u ; v)) | Jψi | i=1 Exemple. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale centrée et réduite. Donner la loi du couple (U, V ) tel que : ( U = X2 V = X2 + Y 4 CHAPITRE 7. TRANSFORMATION D’UN COUPLE ALÉATOIRE RÉEL 7.2 7.2. DE R2 VERS R Changement de variables de R2 vers R Soit (X, Y ) un couple aléatoire reél, et U une variable aléatoire telle que : U = φ(X, Y ) où φ est une fonction de R2 vers R. Nous pouvons déterminer la loi de probabilité de la variable U à partir de la loi de probabilité du couple (X, Y ) . 1. (X, Y ) continu et (U, V ) continu : 0 On pose une deuxième variable aléatoire V = φ (X ; Y ) et on calcule la loi de probabilité conjointe du couple (U ; V ) . La loi de probabilité de la variable U est la loi marginale du couple (U ; V ) . Exemple. Soit le couple (X, Y ) de densité : 2−x−y fX,Y (x, y) = 0 si 0 < x < 1 et 0 < y < 1, sinon. Donner la loi de probabilité de la variable U = X − Y . 2. Loi de probabilité de la somme X + Y : Si X et Y sont deux variables continues et indépendantes, la loi de probabilité de la variable U = X + Y est donnée par : Z +∞ ∀u ∈ U (Ω) : fU (u) = fX (x) fY (u − x) dx −∞ ou : Z ∀u ∈ U (Ω) : +∞ fX (u − y) fY (y) dy fU (u) = −∞ 5