Probabilités

Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

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Chapitre 7
Transformation d’un couple aléatoire
réel
7.1 Changement de variables de R2vers R2
Soient (X, Y )et (U, V )deux couples aléatoires reéls, tels que :
(U, V ) = φ(X, Y )=(φ1(X, Y ) ; φ2(X, Y ))
où φ,φ1et φ2sont des fonctions reélles.
Nous pouvons déterminer la loi de probabilité du couple (U, V )à partir de la loi de probabilité du
couple (X, Y ).
1. (X, Y )discret et (U, V )discret : La loi de probabilité du couple (U, V )est donnée par :
∀(u, v)∈(U, V )(Ω) : P(U=u;V=v) = X
(u,v)=φ(x,y)
P(X=x;Y=y)
Exemple. Soit (X, Y )un c.a.d de loi de probabilité :
Y\X0 1
0 3/9 2/9
1 1/9 3/9
Donner la loi du couple (U, V )tel que :
(U=X+Y
V=X−Y
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CHAPITRE 7. TRANSFORMATION D’UN COUPLE ALÉATOIRE RÉEL 7.1. DE R2VERS R2
2. (X, Y )continu et (U, V )discret : La loi de probabilité du couple (U, V )est donnée par :
∀(u, v)∈(U, V )(Ω) : P(U=u;V=v) = ZZ(u,v)=φ(x,y) fX;Y(x;y)dx dy
Exemple. Soit le couple (X, Y )de densité :
fX,Y (x, y) = 
4x y si 0<x<1et 0< y < 1,
0sinon.
Donner la loi du couple (U, V )tel que :
U=
1si 0< x ≤1/2
2si 1/2<x<1
et V=
1si 0< y ≤1/2
2si 1/2< y < 1
3. (X, Y )continu et (U, V )continu : Si la fonction φest bijective , La loi de probabilité du
couple (U, V )est donnée par :
∀(u, v)∈(U, V )(Ω) : fU;V(u;v) = fX;Yφ−1(u;v)Jφ−1
où :
Jφ−1=
d φ−1
1
d u
d φ−1
2
d u
d φ−1
1
d v
d φ−1
2
d v
6= 0
Exemple. Soit le couple (X, Y )de densité :
fX,Y (x, y) = 
λ2e−λ(x+y)si x > 0et y > 0,
0sinon.
Donner la loi du couple (U, V )tel que :
(U=X+Y
V=X−Y
Remarque. Si la fonction φn’est pas bijective, et qu’elle admet plusieurs images réciproques :
ψ1;ψ2;· · · ;ψn, la loi de probabilité du couple (U, V )est donnée par :
∀(u, v)∈(U, V )(Ω) : fU;V(u;v) =
n
X
i=1
fX;Y(ψi(u;v)) |Jψi|
Exemple. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale
centrée et réduite. Donner la loi du couple (U, V )tel que :
(U=X2
V=X2+Y
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CHAPITRE 7. TRANSFORMATION D’UN COUPLE ALÉATOIRE RÉEL 7.2. DE R2VERS R
7.2 Changement de variables de R2vers R
Soit (X, Y )un couple aléatoire reél, et Uune variable aléatoire telle que :
U=φ(X, Y )
où φest une fonction de R2vers R.
Nous pouvons déterminer la loi de probabilité de la variable Uà partir de la loi de probabilité du
couple (X, Y ).
1. (X, Y )continu et (U, V )continu :
On pose une deuxième variable aléatoire V=φ0(X;Y)et on calcule la loi de probabilité
conjointe du couple (U;V).
La loi de probabilité de la variable Uest la loi marginale du couple (U;V).
Exemple. Soit le couple (X, Y )de densité :
fX,Y (x, y) = 
2−x−ysi 0<x<1et 0< y < 1,
0sinon.
Donner la loi de probabilité de la variable U=X−Y.
2. Loi de probabilité de la somme X+Y:Si Xet Ysont deux variables continues et indépendantes,
la loi de probabilité de la variable U=X+Yest donnée par :
∀u∈U(Ω) : fU(u) = Z+∞
−∞
fX(x)fY(u−x)dx
ou :
∀u∈U(Ω) : fU(u) = Z+∞
−∞
fX(u−y)fY(y)dy
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