Département de mathématiques et de statistique

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE STATISTIQUE
FACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCES -UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
SIGLE DU COURS :
TITRE DU COURS:
NOM DE LA PROFESSEURE :
DATE DE
L'EXAMEN :
MAT
1301
Mathématiques élémentaires
Christiane ROUSSEAU
Le 13 octobre 2011, 8h30- 10h20
DIRECTIVES
PÉDAGOGIQUES : • Aucune documentation
• Calculatrice non programmable permise
• Répondre à toutes les questions
• Justifier vos réponses
(10) 1. Soit a, b, c, trois entiers tels que a ::; b et c ::; O. Montrer que ac 2: be.
(10) 2. Montrer que pour tout nE N \ {0} onan+ 4 < 7n
2.
Intra
(10) 3. Soit a1, ... a5 des entiers positifs et soient b1 = [al, az, a3, a4, as] et b2 = [al, a2, a3, a4]. Lequel des
deux nombres h
et b2 est le plus grand?
(20) 4(a). Donner la fraction continue de V6- 1.
(10) 4(b). Calculer l'approximation de V6- 1 par sa quatrième réduite et donner une borne supérieure
pour l'erreur produite.
(20) 5. Trouver le nombre b dont l'écriture en fraction continue est b = [2, 4, 1,2].
(10) 6. Si b = [a
1, a2,
... J est l'écriture en fraction continue d'un nombre b > 1, quelle est l'écriture en
fraction continue
du nombre 1/b?
(10) 7. On se donne un entier naturel b > 2, et le nombre n dont l'écriture en base b2 est n = (a
0
)p, où
a0 = b2 - 1. Donner l'écriture de ce nombre en base b.
On rappelle les formules permettant de trouver la n'ème réduite, &., d'une fraction continue:
q"
{Pn+2 = an+2Pn+l + Pn,
qn+2 = an+2qn+l + qn,
Christiane ROUSSEAU
où
1
{
Po= 1,
qo = 0,
et