exercices 1

24 mars 2016
178 exercices de
mathématiques
pour
Terminale S
Stéphane PASQUET
i

Sommaire
Disponible sur http: // www. mathweb. fr
24 mars 2016
I Continuité & dérivabilité ............................. 1
I.1 Calculs élémentaires en +∞................................ 1
I.2 En +∞avec des formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 En un nombre fini avec des formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.4 Règledel’Hôpital...................................... 2
I.5 Fonctionf:x7→ 2x−√x
2+√x.................................. 2
I.6 Fonctionsf:x7→ √x2+ 1 −2xet g:x7→ x
√x2+1 ................. 2
I.7 Prolongement par continuité def:x7→ x−2
√4−x−2en2 .................. 3
I.8 Prolongement par continuité def:x7→ √x2+x+2−2
x−1en1................ 3
I.9 Étude de la fonctionf:x7→ |2x2−x−1|
√1−x2.......................... 3
I.10 Approximation d’un angle par la longueur d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Fonction exponentielle .............................. 20
II.1 Produits, quotients et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.2 Simplification d’expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.3 Équations.......................................... 20
II.4 Équations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.5 Inéquations......................................... 21
II.6 Inéquations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.7 Fonctionf:x7→ e2x−(x+ 1)ex............................ 21
II.8 CourbedeGauss...................................... 22
II.9 Fonctionf:x7→ ex−√x.................................. 23
II.10 Fonctionf:x7→ √xex................................. 23
II.11 Fonctionfk:x7→ ln (ex+kx)−x.......................... 23
II.12 Fonctionf:x7→ (x−1) (2 −e−x).......................... 24
II.13 Fonctionf(x) = (2x+ 1)e−x............................. 25
II.14 Fonction f:x7→ ex−e−x
ex+e−x................................ 26
III Logarithme népérien ............................... 42
III.1 Simplification d’écritures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.2 Équations ......................................... 42
III.3 Inéquations ........................................ 42
III.4 Limites........................................... 43
III.5 Limites........................................... 43
ii

III.6 Démonstration de cours : lim
x→+∞
ln x
x........................... 43
III.7 Calculsdedérivées..................................... 44
III.8 Fonctionf:x7→ ln(x2+1)
x2+1 sansconsignes ........................ 44
III.9 Fonctionf:x7→ ln 1 + 1
x.............................. 44
III.10 Fonctionf:x7→ (x+ 1) ln(x2−2x+ 1) ..................... 44
III.11 Comparaison de πeet eπ................................ 45
III.12 Concentration de bactéries dans le corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.13 Fonction f:x7→ (x2+ 1) ln x−x......................... 46
III.14 Fonctionf:x7→ 2 ln x
x[(ln x)2+1] avec intégrale à la fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III.15 Équation ex−ln x= 0 ................................. 47
IV Suites ........................................ 69
IV.1 Suite définie par un+1 =un+ 2n+ 3 ......................... 69
IV.2 Suite définie par un+1 =1
2−un.............................. 69
IV.3 Suite définie par un+1 =f(un)avec f(x) = 2x+1
x+1 .................. 69
IV.4 Suite définie par un+1 =f(un)avec f(x) = x+6
x+2 ................... 70
IV.5 Suite définie par un+1 =f(un)avec f(x) = 4x−1
4x.................. 70
IV.6 Suite définie par un+1 =1
2un+ 2n−1........................ 71
IV.7 Démonstration par récurrence :
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6............. 71
IV.8 Étude générale des suites de la forme un+1 =λun+P(n).............. 71
IV.9 Suite définie par un+1 =1
2un−2 3............................ 72
IV.10 Calcul de la limite de n+cos(n)
n2.............................. 72
IV.11 Suitesimbriquées..................................... 72
IV.12 Des suites dans les probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IV.13 Étude d’une fonction ln etsuiteextraite ........................ 74
IV.14 Étude générale des suites imbriquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
IV.15 Suite définie par un+1 =kun(1 −un)........................ 76
IV.16 Suite (αn)desolutiond’équations ........................... 77
IV.17 La puce (probabilités et suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
IV.18 Équation ex=1
x..................................... 78
IV.19 Suite de points, suites imbriquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
IV.20 MéthodedeNewton................................... 80
IV.21 L’escargotdeGardner .................................. 81
V Trigonométrie ................................... 111
V.1 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V.2 Équations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V.3 Inéquations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V.4 Inéquations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
V.5 Calculdelimites ......................................112
V.6 Encadrementdecosx ...................................112
V.7 Étude de la fonction x7→ cos x
1+sin x.............................112
V.8 Fonction x7→ cos3xcos(3x)..............................113
V.9 Fonction x7→ sin3xcos(3x)..............................113
V.10 D’après un sujet de bac, Nouvelle Calédonie 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
iii

VI Probabilités ..................................... 131
VI.1 Une histoire de QCM, Amérique du Sud 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
VI.2 Sacs défectueux, La Réunion 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
VI.3 MP3 défectueux, Polynésie 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
VI.4 Uneécoleàtroisclasses..................................133
VI.5 AgenceLOCAR ......................................133
VI.6 Urne et variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
VI.7 Urne et fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
VI.8 Jeanneetsonportable ..................................135
VI.9 Ordinateur et automobile chez les étudiants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
VI.10 Enquêtedansunjournal.................................136
VII Nombres complexes ................................ 144
VII.1 Ensembledepoints....................................144
VII.2 Application complexe f(z) = z−2+i
z+2i ..........................144
VII.3 Racines n-ièmesdel’unité ................................145
VII.4 Calcul des valeurs exactes decos π
5,cos 2π 5et cos 4π 5..................145
VII.5 ThéorèmedeVonAubel .................................146
VII.6 PointdeVecten......................................147
VII.7 ThéorèmedeNapoléon..................................148
VII.8 Équation à coefficients complexes et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
VII.9 Construction d’un pentagone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
VII.10 Application z7→ z2
i−z..................................150
VII.11 Cocyclicité........................................150
VII.12 Application z7→ z
1+z..................................151
VIII Intégrales ...................................... 170
VIII.1 Décomposition en éléments simples de f(x) = 1
x3−2x2−5x+6 .............170
VIII.2 Trouverlecercle.....................................170
VIII.3 Volume d’un bouchon de pêche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
VIII.4 Suite et intégrale : In=R1
0
enx
ex+1 dx..........................171
VIII.5 Intégrale et suite définie par un=ln(n!)
ln(nn)........................171
VIII.6 Suite définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
VIII.7 Rπ
2
0e−nx sin xdxet Rπ
2
0e−nx cos xdx........................172
VIII.8 φ(x) = Rx
1
ln t
(1+t)3dt...................................172
VIII.9 Approximation d’une aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
VIII.10 Intégrale et fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
VIII.11 Suiteetintégrale....................................174
IX Lois continues ................................... 187
IX.1 Feutricolore........................................187
IX.2 À la caisse d’un supermarché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
IX.3 Tempsdetrajet ......................................188
IX.4 Lapartiedejeuvidéo...................................188
IX.5 Lalivraisonàdomicile...................................188
IX.6 ParadoxedeBertrand...................................189
IX.7 Larencontre........................................189
IX.8 L’aiguilledeBuffon ....................................189
IX.9 Polynésie,2004 ......................................190
IX.10 Liban,2006........................................190
iv

IX.11 Amériquedusud,2005 .................................190
IX.12 Le chauffe-eau (avec loi normale et intervalle de fluctuation) . . . . . . . . . . . . . . 191
IX.13 D’après Bac France métropolitaine, 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
IX.14 Vaches laitières de race « Française Frisonne Pis Noir » . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
IX.15 Testdeconformité....................................193
IX.16 Les premiers mots de la vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
IX.17 TestsdeQ.I........................................193
IX.18 Durée de vie d’un appareil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
X Géométrie dans l’espace ............................. 206
X.1 Équation paramétrique de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
X.2 Intersectiondeplans....................................206
X.3 Droitesconfondues.....................................206
X.4 Dansuncube .......................................206
X.5 Polynésie,2010.......................................207
X.6 ROC et équations de plans et droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
XI Enseignement de spécialité : arithmétique ................... 220
XI.1 Critèrededivisibilité....................................220
XI.2 Avec une somme géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
XI.3 Divisibilitépar2et3 ...................................220
XI.4 Divisibilitépar8......................................220
XI.5 Reste de la division euclidienne par 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
XI.6 Critère de divisibilité par 7 sans calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
XI.7 Divisibilitépar10et20 ..................................221
XI.8 Calculd’unmaximum...................................221
XI.9 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
XI.10 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
XI.11 Nombrepremier .....................................221
XI.12 Nombrespremiers ....................................221
XI.13 31x−28y= 1 .....................................222
XI.14 108x+ 55y= 1 ....................................222
XI.15 Trouver le nombre d’hommes et de femmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
XI.16 Aveclanotiondepgcd..................................222
XI.17 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
XI.18 Avec une équation diophantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
XI.19 Divisibilité ........................................222
XI.20 Divisibilité de a6−b6par3...............................223
XI.21 Reste d’une division par 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
XI.22 Reste d’une division par 7 (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
XI.23 Reste d’une division par 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
XI.24 Reste d’une division par 7 (ter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
XI.25 Nombre premier et congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
XI.26 Divisibilité et congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
XI.27 PGCDetcongruences ..................................223
XI.28 Combodecongruences..................................223
XI.29 Équationx2≡ −11 mod 100 .............................224
XI.30 Parrécurrence ......................................224
XI.31 22n+ 15n−1modulo9................................224
XI.32 Suitesetcongruences ..................................224
v