TD1

Topologie Alg´ebrique TD1
30 Septembre 2011
1 Langage de Cat´egorie
Exercice 1.1 (Exemples de cat´egories) V´erifier que les suivantes sont des
cat´egories : d´ecrire les objets, les morphismes et les r`egles de composition de
morphismes :
1. Set : les ensembles ;
2. Cat : les petites cat´egories ;
3. Fct(C,C0): les foncteurs entre deux cat´egories Cet C0;
4. Gp : les groupes ;
5. Ab : les groupes ab´eliens ;
6. Ring : les anneaux unitaires ;
7. A−Mod : les A-modules, o`u Aest un anneau unitaire ;
8. Algk: les k-alg`ebres unitaires (associatives, mais non-n´ecessairement com-
mutatives), o`u kest un corps ;
9. Algc
k: les k-alg`ebres unitaires commutatives, o`u kest un corps ;
10. RepC(G): les repr´esentations complexes d’un groupe fini G;
11. Top : les espaces topologiques ;
12. Top•: les espaces topologiques point´es ;
13. Mfd : les vari´et´es diff´erentielles ;
14. MfdC: les vari´et´es complexes ;
15. (les groupes de Lie), r´eel ou complexe ;
16. (les alg`ebres de Lie), r´eel ou complexe ;
17. Psh(X): les pr´efaisceaux ab´eliens sur un espace topologique Xdonn´e ;
18. Shv(X): les faisceaux ab´eliens sur un espace topologique Xdonn´e ;
19. (les complexes de groupe) ;
20. (les R−espaces vectoriels topologiques) ;
21. (les espaces mesurables) ;
22. Nouveaux exemples sont bienvenus ! ! !
Exercice 1.2 En utilisant les exemples dans l’exercice pr´ec´edent, donner des
exemples de :
1. cat´egories additives ;
2. cat´egories ab´eliennes. D´ecrire les noyaux, conoyaux, images.
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3. Sous cat´egories. Elles sont pleines ?
Exercice 1.3 (Exemples de foncteurs) V´erifier que les suivantes sont des
foncteurs.
1. (Foncteurs d’oubli) A−Mod →Ab →Set,RepC(G)→C−Mod,Gp →Ab,
MfdC→Mfd,Top•→Top →Set,Shv(X)→Psh(X);
2. (Groupes de (co-)homologie, Groupes d’homotopie)
π1:Top•→Gp;
Hi,Hi:Top →Ab;
πi:Top•→Ab; (i≥2).
3. (Alg`ebre de Lie) Lie : (Groupes de Lie)→(Alg`ebres de Lie)
4. (Op´erations sur les faisceaux) Soit f:X→Yune application continue
entre espaces topologiques. Construire les foncteurs suivants :
f∗:Shv(X)→Shv(Y);
f−1:Shv(Y)→Shv(X);
Γ:Shv(X)→Ab
Exercice 1.4 (Exemples d’´equivalences de cat´egories) Il faut bien dis-
tinguer la notion d’´equivalence de cat´egories et celle d’isomorphisme de cat´e-
gories.
1. D’abord, on rappelle une m´ethode pour ´etablir une ´equivalence entre
deux cat´egories : soit
F:C1→C2
un foncteur, supposons que Fest pleinement fid`ele et essentiellement
surjectif, alors Fest une ´equivalence de cat´egories. Construire un foncteur
‘inverse’.
2. Soit kun corps. On consid`ere la cat´egorie C: les objets sont des nombres
entiers positifs : Obj C=N, et l’ensemble des morphismes entre deux
entiers net mest l’ensemble des matrices de taille n×m`a coefficient
dans k, et la composition des morphismes est d´efinie par le produit des
matrices. ´ Etablir une ´equivalence de cat´egorie entre Cet la cat´egorie des
k-espaces vectoriels de dimension finie.
3. Soit K⊂Lune extension finie galoisienne de corps, reformuler la th´eo-
rie de Galois par une ´equivalence de cat´egories. (Attention au sens des
fl`eches)
4. Soit Gun groupe fini, on note RepC(G)la cat´egorie des repr´esentations
lin´eaires de dimension finie de Gsur C.´ Etablir l’´equivalence de cat´egories
entre RepC(G)et la cat´egorie de C[G]-modules de dimension finie, o`u
C[G]est l’alg`ebre de groupe G. On note souvent cette cat´egorie G−Mod.
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5. Soit Gune alg`ebre de Lie complexe de dimension finie. Trouver une C-
alg`ebre A, telle que la cat´egorie des repr´esentations de Gde dimension
finie sur Cest ´equivalente `a la cat´egorie des A-modules de dimension
finie sur C. On la note souvent G−Mod.
6. Soit Aun anneau unitaire non-commutatif, on d´efini un anneau A◦avec
les ´el´ements, la mˆeme structure de groupe ab´elien, mais le produit a∗b
dans A◦est d´efini comme ba dans A.´ Etablir des ´equivalences de cat´egories
suivantes :
– entre A−Mod et Mod −A◦;
– entre A−Mod −Bet A⊗B◦−Mod ;
Exercice 1.5 (Foncteurs adjoints) Soient C,Ddeux cat´egories, et F:
C→D,G:D→Cdes foncteurs. Par d´efinition, on dit que (F,G)est une
paire de foncteurs adjoints, ou plus pr´ecis´ement, Fest adjoint `a gauche de G,
ou bien Gest adjoint `a droite de F, s’il existe deux morphismes de foncteurs,
:F◦G→idD,
η: idC→G◦F
tels que les morphisme induits
GηG −−→ GFG G −−→ G
FFη −−→ FGF F −−→ F
sont des identit´es. On appelle et ηles adjonctions.
1. Pour tout X∈Obj(C)et Y∈Obj(D), on a un isomorphisme qui est
fonctoriel en Xet en Y:
MorD(F(X),Y)'MorC(X,G(Y)).
Autrement dit, on a un isomorphisme de bi-foncteurs :
MorD(F(−),−)'MorC(−,G(−)).
Comment reconstruire les adjonctions `a partir de cet isomorphisme ?
2. (Isomorphisme de Cartan) Soient A,B∈Ring deux anneaux unitaires,
soit M∈A−Mod −Bun bimodule. On consid`ere deux foncteurs :
M⊗B−:B−Mod →A−Mod
HomA(M,−) : A−Mod →B−Mod
Montrer qu’ils font bien une paire de foncteurs adjoints.
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3. (Exemples) En principe, on peut souvent reformuler une propri´et´e uni-
verselle en utilisant le langage de foncteur adjoint :
(a) Donner les foncteurs adjoints `a gauche des foncteurs d’oubli suivants :
Ab →Set,Gp →Set,Top•→Top,Top →Set,Shv(X)→Psh(X), o`u X
est un espace topologique.
(b) Donner le foncteur adjoint `a gauche du foncteur qui associe une k-
alg`ebre son groupe des ´el´ements inversibles :
×:Algk→Gp .
(c) Donner le foncteur adjoint `a gauche du foncteur qui associe une C-
alg`ebre son alg`ebre de Lie complexe correspondante (le crochet de Lie
est donn´e par le commutateur).
4. (Limites projectives et limites inductives) Soit Iune petite ca-
t´egorie, Cune cat´egorie. On consid`ere la cat´egorie D:=Fct(I,C)des
foncteurs de Ivers C. On a un foncteur
:C→D=Fct(I,C)
qui envoie un objet Ade Cau foncteur ’constant’ A qui associe tout
objet de Il’objet Aet associe toute fl`eche dans Ile morphisme idA.
(a) Si le foncteur admet un adjoint `a gauche, not´e lim
−−→, on dit que C
admet les limites inductives index´ees par I. Si le foncteur admet
un adjoint `a droit, not´e lim
←−−, on dit que Cadmet les limites projectives
index´ees par I. Reformuler la d´efinition de limite projective et inductive
par certaine propri´et´es universelles.
(b) On suppose Iest la cat´egorie suivante :
• −−−−−→ •
y
•
et Iop est la cat´egorie oppos´ee.
Existe-t-il la limite projective ou inductive index´ee par Iou Iop, si
C=Set,Top,Ab,Gp,Algc
k?
D´ecrire les limites.
(c) Si Iest une cat´egorie discr`ete, on appelle la limite projective produit,
et la limite inductive coproduit. D´ecrire le produit et le coproduit dans
la cat´egorie Set,Top,Gp,Ab,Algc
k.
Exercice 1.6 (´ Equivalence de Morita) 1. Soit kun corps. Soient A,B
deux k-alg`ebres (non-commutatives en g´en´erale). On se donne deux bi-
modules M∈B−Mod −A,N∈A−Mod −B. Supposons M⊗AN'Bdans
B−Mod −B, et N⊗BM'Adans A−Mod −A. Donner une ´equivalence
de cat´egorie entre A−Mod et B−Mod en utilisant certains foncteurs de
produit tensoriel avec Met N. On dit que Aet Bsont Morita ´equivalents
par M,N.
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2. Comme un exemple, montrer que Aest Morita ´equivalent `a Matn(A), et
pr´eciser M,Ncorrespondants.
3. On suppose que Aet Bsont Morita ´equivalents par M,Ncomme ci-dessus,
montrer que A⊗kA◦et B⊗kB◦sont Morita ´equivalents par M⊗kNet
N⊗kM. (Clarifier d’abord la structure de ‘quadri-module’ la-dessus).
4. Montrer que si Aet Bsont Morita ´equivalents, alors les centres ZA et
ZB sont isomorphes comme k-alg`ebres. (Indication : quel est l’image de
Asous l’´equivalence de cat´egorie entre A−Mod −Aet B−Mod −B?)
5. Donner une preuve cat´egorique du fait que le centre de Matn(A)est ZA
vu comme des matrices scalaires.
6. * (Th´eor`eme de Morita) La r´eciproque de 1. est vraie : on suppose
que les deux cat´egories A−Mod et B−Mod sont ´equivalentes. Alors il
existe une paire de modules M∈B−Mod −A,N∈A−Mod −B, telle que
M⊗AN'Bdans B−Mod −B, et N⊗BM'Adans A−Mod −A.
7. Soient A,Bdeux k-alg`ebres commutatives, alors A−Mod est ´equivalente
`a B−Mod si et seulement si Aest isomorphe `a Bentant k-alg`ebres.
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