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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Algébre2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 2
(06 M ars 2016)
Opérations sur les sous-espaces vectoriels
Exercise 1 Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E. Montrer que
F \ G = F + G , F = G:
Exercise 2 Soient F et G deux sous-espaces d’un K-espace vectoriel E. Montrer que
F [ G est un sous-espace vectoriel de E , F
G ou G
F:
Exercise 3 (DM) Soient F; G et H des sous-espaces vectoriels d’un K-espace
vectoriel E. Prouver que
G
F ) F \ (G + H) = G + (F \ H):
Sous-espace vectoriel engendré par une partie
Exercise 4 Soient dans R4 les vecteurs e1 (1; 2; 3; 4) et e2 (1; 2; 3; 4). Peuton déterminer x et y
(i) pour que (x; 1; y; 1) 2 V ectfe1 ; e2 g?
(ii) (DM) pour que (x; 1; 1; y) 2 V ectfe1 ; e2 g?
Exercise 5 Dans R4 on considère l’ensemble E des vecteurs (x1 ; x2 ; x3 ; x4 )
véri…ant x1 + x2 + x3 + x4 = 0. L’ensemble E est-il un sous espace vectoriel de
R4 ? Si oui, en donner une base.
0 1
0 1
0 1
1
1
1
Exercise 6 On considère les vecteurs e1 = @1A ; e2 = @2A ; e3 = @2A
1
2
3
1. Montrer que tout vecteur X de R3 est combinaison linéaire de e1 ; e2 ; e3 :
2. Est-ce le cas si l’on considère seulement la famille e1 ; e2 ?
0 1
1
3. Est-ce le cas si l’on remplace e3 par le vecteur ee3 = @ 4A ?
4
1
80 1 0 1 0 1 0 19
1
2
0 =
< 1
4. (DM) Est-ce le cas si l’on choisit la famille @1A ; @2A ; @3A ; @1A
:
;
1
2
3
1
Exercise 7 Déterminer, parmi les familles suivantes, celles qui sont des bases
de R3 .
80 1 0 19
80 1 0 1 0 19
80 1 0 1 0 19
1 =
1
3 =
0
1 =
< 2
< 1
< 1
@1A ; @2A ; B2 = @1A ; @ 1A ; @1A ; B3 = @0A ; @1A ; @1A
B1 =
:
;
:
;
:
;
1
1
1
1
1
1
1
0
80 1 0 1 0 19
80 1 0 1 0 1 0 19
1
1 =
1
1
1 =
< 1
< 1
@1A ; @ 1A ; @ 1 A ; (DM)B5 = @1A ; @ 1A ; @ 1 A ; @ 1A :
(DM)B4 =
:
;
:
;
1
1
1
1
1
1
1
Exercise 8 Donner une base pour chacun des espaces vectoriels suivants
0 1
a
2a 5b + c = 0
1. A = f@ b A 2 R3 telle que
g
b+c=0
c
0 1
8
+
2 =0
<
B C
C 2 R4 telle que
+
+
=0 g
2. B = fB
@ A
:
2
+3 =0
8
0 1
a
< 4a 2b + c = 0
2a + 4b + c = 0 g:
3. (DM)C = f@ b A 2 R3 telle que
:
a+b+c=0
c
Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Exercise 9 Comparer V ect(A \ B) et V ect(A) \ V ect(B).
Exercise 10 Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E. Montrer
que
V ect(A [ B) = V ect(A) + V ect(B):
Exercise 11 Soient F = f 2 C 1 (R; R)jf (0) = f 0 (0) = 0 et G = x 7! ax + bj(a; b) 2 R2 .
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C 1 (R; R).
n
o
R1
Exercise 12 (DM) Soient F = f 2 C([ 1; 1]; C) =
f
(t)dt
=
0
et G =
1
ff 2 C([ 1; 1]; C) = f constanteg. Montrer que F et G sont des sous-espaces
vectoriels supplémentaires de C([ 1; 1]; C).
Exercise 13 Soient H = f(x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Kn = x1 + x2 +
+ xn = 0g et
u = (1; :::; 1) 2 Kn . Montrer que H et V ect(u) sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de Kn .
2
Exercise 14 (DM) Soient E = C([0; ]; R); F = ff 2 E = f (0) = f ( =2) =
f ( )g et G = V ect(sin; cos). Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de E.1
1 DM
: Devoir Maison
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