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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Algébre2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N2
(06 Mars 2016)
Opérations sur les sous-espaces vectoriels
Exercise 1 Soient Fet Gdes sous-espaces vectoriels de E. Montrer que
F\G=F+G,F=G:
Exercise 2 Soient Fet Gdeux sous-espaces d’un K-espace vectoriel E. Mon-
trer que
F[Gest un sous-espace vectoriel de E,FG ou G F:
Exercise 3 (DM) Soient F; G et Hdes sous-espaces vectoriels d’un K-espace
vectoriel E. Prouver que
GF)F\(G+H) = G+ (F\H):
Sous-espace vectoriel engendré par une partie
Exercise 4 Soient dans R4les vecteurs e1(1;2;3;4) et e2(1;2;3;4). Peut-
on déterminer xet y
(i) pour que (x; 1; y; 1) 2V ectfe1; e2g?
(ii) (DM) pour que (x; 1;1; y)2V ectfe1; e2g?
Exercise 5 Dans R4on considère l’ensemble Edes vecteurs (x1; x2; x3; x4)
véri…ant x1+x2+x3+x4= 0. L’ensemble Eest-il un sous espace vectoriel de
R4? Si oui, en donner une base.
Exercise 6 On considère les vecteurs e1=0
@
1
1
1
1
A; e2=0 @
1
2
2
1
A; e3=0 @
1
2
3
1
A
1. Montrer que tout vecteur Xde R3est combinaison linéaire de e1; e2; e3:
2. Est-ce le cas si l’on considère seulement la famille e1; e2?
3. Est-ce le cas si l’on remplace e3par le vecteur ee3=0
@
1
4
4
1
A?
1

4. (DM) Est-ce le cas si l’on choisit la famille 8
<
:0
@
1
1
1
1
A;0 @
1
2
2
1
A;0 @
2
3
3
1
A;0 @
0
1
1
1
A9
=
;
Exercise 7 Déterminer, parmi les familles suivantes, celles qui sont des bases
de R3.
B1=8
<
:0
@
2
1
1
1
A;0 @
1
2
1
1
A9
=
;;B2=8
<
:0
@
1
1
1
1
A;0 @
1
1
1
1
A;0 @
3
1
1
1
A9
=
;;B3=8
<
:0
@
1
0
1
1
A;0 @
0
1
1
1
A;0 @
1
1
0
1
A9
=
;
(DM)B4=8
<
:0
@
1
1
1
1
A;0 @
1
1
1
1
A;0 @
1
1
1
1
A9
=
;;(DM)B5=8
<
:0
@
1
1
1
1
A;0 @
1
1
1
1
A;0 @
1
1
1
1
A;0 @
1
1
1
1
A9
=
;:
Exercise 8 Donner une base pour chacun des espaces vectoriels suivants
1. A=f0
@
a
b
c
1
A2R3telle que 2a5b+c= 0
b+c= 0 g
2. B=f0
B
B
@
1
C
C
A2R4telle que 8
<
:
+2= 0
++= 0
2+ 3= 0
g
3. (DM)C=f0
@
a
b
c
1
A2R3telle que 8
<
:
4a2b+c= 0
2a+ 4b+c= 0
a+b+c= 0
g:
Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Exercise 9 Comparer V ect(A\B)et V ect(A)\V ect(B).
Exercise 10 Soient Aet Bdeux parties d’un K-espace vectoriel E. Montrer
que
V ect(A[B) = V ect(A) + V ect(B):
Exercise 11 Soient F=f2C1(R;R)jf(0) = f0(0) = 0et G=x7! ax +bj(a; b)2R2.
Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C1(R;R).
Exercise 12 (DM) Soient F=nf2C([1;1];C)=R1
1f(t)dt = 0oet G=
ff2C([1;1];C)= f constanteg. Montrer que Fet Gsont des sous-espaces
vectoriels supplémentaires de C([1;1];C).
Exercise 13 Soient H=f(x1; x2; :::; xn)2Kn= x1+x2+   +xn= 0get
u= (1; :::; 1) 2Kn. Montrer que Het V ect(u)sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de Kn.
2

Exercise 14 (DM) Soient E=C([0; ]; R); F =ff2E = f(0) = f(=2) =
f()get G=V ect(sin;cos). Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de E.1
1DM : Devoir Maison
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