Fiche 23 Fiche de synthèse sur l`intégration de sup

Lycée Blaise Pascal TSI 1 année
FICHE : INTÉGRATION
Subdivision
Soit [a,b]un segment. On appelle subdivision du segment [a,b]toute famille (xk)1ÉkÉnde
réels tels que :
a=x0<x1< ·· · < xn−1<xn=b
Fonction continue par morceaux
— Soit [a,b]un segment. On dit qu’une fonction ϕ:[a,b]→Rest continue par morceaux sur
[a,b]lorsqu’il existe une subdivision τ:a=x0< ··· < xn=ndu segment [a,b]telle que :
1. Pour tout k∈0,n−1, la restriction de ϕà]xk,xk+1[est continue.
2. Pour tout k∈0, n−1,ϕrestreinte à ]xk,xk+1[admet une limite finie strictement
à droite en xket strictement à gauche en xk+1. Autrement dit, la restriction de ϕà
]xk,xk+1[est prolongeable par continuité sur [xk,xk+1].
— Une telle subdivision est dite adaptée ou subordonnée àϕ.
Théorème fondamental
Si
H1 fest continue par morceaux sur le segment [a,b]
alors Rb
af(x)dxexiste.
Autrement dit, si fest continue par morceaux sur le segment [a,b]alors elle est intégrable sur
[a,b].
Propriétés de l’intégrale
oient fet gdeux fonctions continues par morceaux sur le segment [a,b]
1
fÉg=⇒ Z
[a,b]
fÉZ
[a,b]
g
2Soit c∈]a,b[.
Z
[a,b]
f=Z
[a,c]
f+Z
[c,b]
f
3Comme fest une fonction réelle continue par morceaux sur le segment [a,b], il existe des
réels met Mtels que ∀x∈[a,b],mÉf(x)ÉM. On a alors :
m(b−a)ÉZb
a
f(x)dxÉM(b−a)
4
¯¯¯¯Zb
a
f(x)dx¯¯¯¯ÉZb
a¯¯f(x)¯¯dx
5On a l’inégalité de la moyenne :
¯¯¯¯Z
[a,b]
f g¯¯¯¯Ésup
[a,b]¯¯f¯¯Z
[a,b]¯¯g¯¯
Primitive
Soit fune fonction définie sur une partie Ià valeurs dans R. On appelle primitive de fsur I
toute fonction F : I →Rtelle que :
H1 Fest dérivable sur I.
H2 ∀x∈I, F′(x)=f(x)
Soit f: I →R. Si Fet Gsont deux primitives de fsur Ialors il existe c∈Rtel que : G=F+c.
Une formule essentielle
Zu′uα=
uα+1
α+1si α6= −1
ln|u|si α= −1
Théorème fondamental de l’analyse
H1 Soit Iun intervalle de R.
H2 Soit fune fonction continue sur I
Soit a∈Ialors la fonction :

F : I −→ R
x7−→ Zx
a
f(t)dt
est de classe C1sur Iet est la seule primitive de fqui s’annule en a:
F′=fet F(a)=0.
Corollaire du TFA
Soient :
H1 Soit Iun intervalle de R.
H2 Soit fune fonction continue sur I
alors fadmet une primitive Fsur I.
Autrement dit :toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive sur ce segment.
Formule d’intégration par parties
Soit Iun intervalle de R. On suppose que :
H1 uet vdes fonctions de classe C1sur I. On a :
alors :
Zb
a
intègre
z}|{
u′(t)v(t)
|{z}
dérive
dt=[u(t)v(t)]b
a−Zb
a
u(t)v′(t)dt
Changement de variable
✞
✝
☎
✆
Pour calculer Rb
af(t)dt:
1. On vérifie que ϕ:£α,β¤→Iest de classe C1sur le segment £α,β¤et que ϕ(α)=a,ϕ¡β¢=b.
2. On pose (x=ϕ(t)
dx =ϕ′(t)dt
3. On écrit : Rb
af(u)du=Rβ αf¡ϕ(t)¢ϕ′(t)dt
✞
✝
☎
✆
Attention de bien penser à transformer les bornes
Formule de Taylor
Soit fune fonction de classe Cn+1sur un intervalle Ide R. Si (a,x)∈I2. Alors :
f(x)=
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k+Zx
a
(x−t)n
n!f(n+1) (t)dt
— Le polynôme
Tn(x)=
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k=f(a)+(x−a) 1! f′(a)+...+(x−a)n n!f(n)(a)
est appelé polynôme de Taylor de fde degré n.
— L’intégrale
Rn(x)=Zx
a
(x−t)n
n!f(n+1) (t)dt
est appelée reste intégral.Somme de Riemann
Soit une fonction fcontinue sur le segment [0,1]. On définit les suites de termes généraux
Rn=1
n
n−1
X
k=0
fµk
n¶et Tn=1 n
n
X
k=1
fµk
n¶
Rn−−−−−→
n→+∞ Z1
0
f(x)x et Tn−−−−−→
n→+∞ Z1
0
f(x)x
O~
ı
~
R6
O~
ı
~
T6