Fonctions de classe C% par morceaux 1) Définitions a) Définition

Fonctions de classe C n par morceaux
1) Dé…nitions
a) Dé…nition générique pour les fonctions dé…nies sur un segment
Def : Soit n 2 N . On dit que
Le pas de
est dé…ni par
= (x0 ; x1 ; :::xn ) est une subdivision de [a; b] ssi a = x0 < x1 < ::: < xn = b:
( ) = max1
k n (xk
xk
1 ):
Def : Soit f : [a; b] ! R. On dit que f est de type X par morceaux ssi il existe une subdivision (x0 ; x1 ; :::xn )
de [a; b] telle que pour tout k 2 f1; 2; :::; ng; la restriction de f à l’intervalle ouvert ]xk
fonction de type X sur le segment [xk
1 ; xk ].
On dit alors que la subdivision
1 ; xk [
se prolonge en une
est adpatée à f (il en est de même
de toute subdivision plus …ne).
Ainsi, les fonctions en escaliers sont les fonctions constantes par morceaux.
Important : Pour des subdivisions
et
0
adaptées à f et g, la subdivision
[
0
est adaptée à la fois à f et à g.
b) Fonctions continues par morceaux sur un segment
Def équivalente : f : [a; b] ! R est continue par morceaux ssi il existe une subdivision (x0 ; x1 ; :::xn ) de [a; b] telle
que f est continue sur les intervalles ]xk
1 ; xk [
et admet aux points xk une limite à gauche et une limite à droite
(excepté en a et en b où il existe une seule de ces deux limites).
Autre caractérisation : Une fonction f dé…nie sur un segment est continue par morceaux ssi elle peut s’écrire comme
la somme d’une fonction en escaliers et d’une fonction continue.
Important : Deux fonctions f et g : [a; b] ! R continues par morceaux qui coïncident excepté en un nombre …ni
Rb
Rb
de points ont même intégrale : a f (t) dt = a g(t) dt:
Rb
Important : Si f est continue par morceaux et positive sur le segment [a; b], alors, a f (t) dt = 0 ssi f est nulle
en tout point de continuité, donc est nulle excepté en un nombre …ni de points.
En e¤et, on considère une subdivision = (x0 ; x1 ; :::xn ) adaptée à f .
Rb
Rx
P
On a a f (t) dt = nk=1 xkk 1 fk (t) dt, où fk : [xk 1 ; xk ] est le prolongement continu de la restriction f à ]xk
Rb
Rx
Rx
Comme a f (t) dt = 0 et xkk 1 fk (t) dt 0, alors xkk 1 fk (t) dt = 0, d’où on déduit fk = 0:
1 ; xk [.
0 ([a; b]; R) des fonctions f : [a; b] ! R continues par morceaux est une sous-algèbre de
Remarque : L’ensemble Cmx
B([a; b]; R), l’algèbre des fonctions bornées de [a; b] dans R. De plus, si f et g sont continues par morceaux, alors
jf j et sup(f; g) sont continues par morceaux (on a sup(f; g) =
1
2
jf + gj
1
2
jf
gj).
c) Cas des fonctions dé…nies sur un intervalle quelconque
Def : Une fonction f : I ! R est de classe C n par morceaux ssi ses restrictions à tout segment (inclus dans I) sont
de classe C n par morceaux.
Exemples : (|) Les fonctions signe sgn et partie entière E sont des fonctions en escaliers sur R.
La fonction frac : R ! [0; 1[ x 7 ! x
E(x) est une fonction continue par morceaux.
La fonction d : R ! [0; 21 ] x 7 ! d(x; Z) est continue sur R et de classe C 1 par morceaux.
Remarque : On considère parfois les fonctions en escaliers sur R : il s’agit alors des fonctions nulles à support
borné, c’est-à-dire nulles en dehors d’un segment [a; b], et dont la restriction à [a; b] est en escaliers.
2) Fonctions continues et de classe C 1 par morceaux
a) Caractérisation des fonctions continues et de classe C 1 par morceaux
Remarque : Une fonction de classe C 1 par morceaux n’est pas nécessairement continue.
Prop : f : [a; b] ! R est continue et de classe C 1 par morceaux ssi il existe une subdivision
telle que pour tout i 2 f1; 2; :::; ng, fj[xi
1 ;xi ]
= (x0 ; :::; xn ) de [a; b]
est de classe C 1 :
Remarque : Ainsi, f est dérivable à gauche et à doite en tout point.
c) Pseudo-dérivées d’une fonction continue et de classe C 1 par morceaux et théormèe fondamantal
Prop : Soit f : [a; b] ! R continue et de classe C 1 par morceaux. La fonction f 0 , qui est dé…nie sauf éventuellement
en un nombre …ni de points, se prolonge en des fonctions continues par morceaux qu’on note aussi f 0 par abus:
Rb
Alors on a a f 0 (t) dt = [f (t)]ba :
Rb
Remarque : La valeur de a f 0 (t) dt ne dépend pas du choix des valeurs qui prolongent f 0 sur [a; b].
Preuve : On considère une subdivision
= (x0 ; x1 ; :::; xn ) de [a; b] adaptée à f .
Rx
On a alors, pour tout k 2 f1; 2; :::; ng, f (xk ) f (xk 1 ) = xkk 1 f 0 (t) dt:
En sommant pour k 2 f1; 2; :::; ng, on obtient par télescopage : f (xn )
Remarque : Si f est seulement de classe C 1 par morceaux, on a
R xk
xk
f (x0 ) =
1
R xn
x0
f 0 (t) dt:
f 0 (t) dt = lim(xk
1)
+
f
lim(xk
1)
f ,
mais les termes ne se télescopent pas nécessairement en les sommant.
c) Intégration par parties
Prop : Soient u et v : [a; b] ! R deux fonctions continues et de classe C 1 par morceaux.
Rb 0
Rb
Alors a u0 v = [uv]ba
a vu :
Preuve : La fonction uv est continue et de classe C 1 par morceaux.
Rb
Rb
Rb
Par b), on obtient donc [uv]ba = a (uv)0 = a u0 v + a vu0 :
En pratique : Soient f continue par morceaux et g continue et de classe C 1 par morceaux sur [a; b].
Rb
Rb
Rx
0
En considérant F (x) = k + a f (t) dt, on a a f (t)g(t) dt = [F (t)g(t)]ba
a F (t)g (t) dt.
d) Intégrale d’une fonction continue par morceaux
Prop : Soit f : I ! R une application continue par morceaux et a 2 I:
Rx
Alors F : x 7 ! a f (t) dt est continue et de classe C 1 par morceaux.
De plus, F 0 et f coïncident en tout point où f est continue.
Preuve : F est lipschitzienne sur [a; b] de rapport k = sup[a;b] jf j, car jF (x)
F (y)j
jx
yj sup[a;b] jf j :
D’autre part, F est dérivable en tout point x où f est continue, et on a alors F 0 (x) = f (x):
Exemple : (|) On a
Rx
0
sgn(t) dt = jxj :
Remarque : Plus généralement, avec k
1, si g : I ! R est de classe C k
Rx
G : x 7 ! a g(t) dt est de classe C k et de classe C k+1 par morceaux.
1
et de classe C k par morceaux, alors