Fonctions de classe C% par morceaux 1) Définitions a) Définition

Fonctions de classe Cnpar morceaux
1) Dé…nitions
a) Dé…nition générique pour les fonctions dé…nies sur un segment
Def : Soit n2N. On dit que = (x0; x1; :::xn)est une subdivision de [a; b]ssi a=x0< x1< ::: < xn=b:
Le pas de est dé…ni par () = max1kn(xkxk1):
Def : Soit f: [a; b]!R. On dit que fest de type X par morceaux ssi il existe une subdivision (x0; x1; :::xn)
de [a; b]telle que pour tout k2 f1;2; :::; ng;la restriction de fà l’intervalle ouvert ]xk1; xk[se prolonge en une
fonction de type X sur le segment [xk1; xk]. On dit alors que la subdivision est adpatée à f(il en est de même
de toute subdivision plus …ne).
Ainsi, les fonctions en escaliers sont les fonctions constantes par morceaux.
Important : Pour des subdivisions et 0adaptées à fet g, la subdivision [0est adaptée à la fois à fet à g.
b) Fonctions continues par morceaux sur un segment
Def équivalente :f: [a; b]!Rest continue par morceaux ssi il existe une subdivision (x0; x1; :::xn)de [a; b]telle
que fest continue sur les intervalles ]xk1; xk[et admet aux points xkune limite à gauche et une limite à droite
(excepté en aet en boù il existe une seule de ces deux limites).
Autre caractérisation : Une fonction fdé…nie sur un segment est continue par morceaux ssi elle peut s’écrire comme
la somme d’une fonction en escaliers et d’une fonction continue.
Important : Deux fonctions fet g: [a; b]!Rcontinues par morceaux qui coïncident excepté en un nombre …ni
de points ont même intégrale : Rb
af(t)dt =Rb ag(t)dt:
Important : Si fest continue par morceaux et positive sur le segment [a; b], alors, Rb
af(t)dt = 0 ssi fest nulle
en tout point de continuité, donc est nulle excepté en un nombre …ni de points.
En e¤et, on considère une subdivision = (x0; x1; :::xn)adaptée à f.
On a Rb
af(t)dt =Pn
k=1 Rxk
xk1fk(t)dt, où fk: [xk1; xk]est le prolongement continu de la restriction fà]xk1; xk[.
Comme Rb
af(t)dt = 0 et Rxk xk1fk(t)dt 0, alors Rxk xk1fk(t)dt = 0, d’où on déduit fk= 0:
Remarque : L’ensemble C0
mx([a; b];R)des fonctions f: [a; b]!Rcontinues par morceaux est une sous-algèbre de
B([a; b];R), l’algèbre des fonctions bornées de [a; b]dans R. De plus, si fet gsont continues par morceaux, alors
jfjet sup(f; g)sont continues par morceaux (on a sup(f; g) = 1
2jf+gj  1 2jfgj).
c) Cas des fonctions dé…nies sur un intervalle quelconque
Def : Une fonction f:I!Rest de classe Cnpar morceaux ssi ses restrictions à tout segment (inclus dans I) sont
de classe Cnpar morceaux.
Exemples : (|) Les fonctions signe sgn et partie entière Esont des fonctions en escaliers sur R.
La fonction frac : R![0;1[ x7! xE(x)est une fonction continue par morceaux.
La fonction d:R![0;1
2]x7! d(x; Z)est continue sur Ret de classe C1par morceaux.
Remarque : On considère parfois les fonctions en escaliers sur R: il s’agit alors des fonctions nulles à support
borné, c’est-à-dire nulles en dehors d’un segment [a; b], et dont la restriction à [a; b]est en escaliers.

2) Fonctions continues et de classe C1par morceaux
a) Caractérisation des fonctions continues et de classe C1par morceaux
Remarque : Une fonction de classe C1par morceaux n’est pas nécessairement continue.
Prop :f: [a; b]!Rest continue et de classe C1par morceaux ssi il existe une subdivision = (x0; :::; xn)de [a; b]
telle que pour tout i2 f1;2; :::; ng,fj[xi1;xi]est de classe C1:
Remarque : Ainsi, fest dérivable à gauche et à doite en tout point.
c) Pseudo-dérivées d’une fonction continue et de classe C1par morceaux et théormèe fondamantal
Prop : Soit f: [a; b]!Rcontinue et de classe C1par morceaux. La fonction f0, qui est dé…nie sauf éventuellement
en un nombre …ni de points, se prolonge en des fonctions continues par morceaux qu’on note aussi f0par abus:
Alors on a Rb
af0(t)dt = [f(t)]b
a:
Remarque : La valeur de Rb
af0(t)dt ne dépend pas du choix des valeurs qui prolongent f0sur [a; b].
Preuve : On considère une subdivision = (x0; x1; :::; xn)de [a; b]adaptée à f.
On a alors, pour tout k2 f1;2; :::; ng,f(xk)f(xk1) = Rxk
xk1f0(t)dt:
En sommant pour k2 f1;2; :::; ng, on obtient par télescopage : f(xn)f(x0) = Rxn
x0f0(t)dt:
Remarque : Si fest seulement de classe C1par morceaux, on a Rxk
xk1f0(t)dt =lim(xk1)+flim(xk1)f,
mais les termes ne se télescopent pas nécessairement en les sommant.
c) Intégration par parties
Prop : Soient uet v: [a; b]!Rdeux fonctions continues et de classe C1par morceaux.
Alors Rb
au0v= [uv]b
aRb
avu0:
Preuve : La fonction uv est continue et de classe C1par morceaux.
Par b), on obtient donc [uv]b
a=Rb
a(uv)0=Rb au0v+Rb avu0:
En pratique : Soient fcontinue par morceaux et gcontinue et de classe C1par morceaux sur [a; b].
En considérant F(x) = k+Rx
af(t)dt, on a Rb af(t)g(t)dt = [F(t)g(t)]b
aRb
aF(t)g0(t)dt.
d) Intégrale d’une fonction continue par morceaux
Prop : Soit f:I!Rune application continue par morceaux et a2I:
Alors F:x7! Rx
af(t)dt est continue et de classe C1par morceaux.
De plus, F0et fcoïncident en tout point où fest continue.
Preuve :Fest lipschitzienne sur [a; b]de rapport k= sup[a;b]jfj, car jF(x)F(y)j  jxyjsup[a;b]jfj:
D’autre part, Fest dérivable en tout point xoù fest continue, et on a alors F0(x) = f(x):
Exemple : (|) On a Rx
0sgn(t)dt =jxj:
Remarque : Plus généralement, avec k1, si g:I!Rest de classe Ck1et de classe Ckpar morceaux, alors
G:x7! Rx
ag(t)dt est de classe Cket de classe Ck+1 par morceaux.