Probabilités

Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

2

Chapitre 6
Couples aléatoires réels
6.1 Définitions
1. Couple aléatoire réel : On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple de variables
aléatoires (X, Y ).
•(X, Y )est dit couple aléatoire discret (c.a.d)si les variables Xet Ysont discrètes.
•(X, Y )est dit couple aléatoire continu (c.a.c)si les variables Xet Ysont continues.
2. Loi de probabilité conjointe :
(a) Cas discret : La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y )est donnée par :
•X(Ω) et Y(Ω),
• ∀xi∈X(Ω) et yj∈Y(Ω) :Pij =P(X=xi∩Y=yj).
Tels que : Pxi∈X(Ω) Pyj∈Y(Ω) Pij = 1 .
Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.
Exemple. Une urne contient 3 boules numérotées : 1,2et 3. On tire successivement et
sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2),(1; 3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.
Soient les variables aléatoires : Xqui donne le numéro de la 1ère boule tirée et Yqui
donne le plus grand des deux numéros obtenus.
•X(Ω) = {1,2,3}.
•Y(Ω) = {2,3}.
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y )est donnée par :
Y\X123
2 1/6 1/6\
3 1/6 1/6 2/6
3

CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS 6.1. DÉFINITIONS
(b) Cas continu : La loi de probabilité conjointe d’un c.a.c (X, Y )est donnée par la fonction
fX;Yappelée "densité de probabilité conjointe" telle que :
• ∀(x, y)∈(X, Y )(Ω) :fX;Y(x, y)≥0.
•RRR2fX;Y(x, y)dx dy = 1.
Exemple. Soit la densité de probabilité conjointe fX;Ydéfinie par :
fX,Y (x, y) = 
c x y exp(−x2−y2)si x≥0et y≥0,
0sinon.
Donner la valeur de c.
3. Loi de probabilité marginale :
(a) Cas discret :
•La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Xest donnée pour tout xi∈
X(Ω) par :
Pi. =P(X=xi) = X
j
P(X=xi∩Y=yj)
•La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Yest donnée pour tout yj∈
Y(Ω) par :
P.j =P(Y=yj) = X
i
P(X=xi∩Y=yj)
Elles sont souvent présentées dans le tableau de la loi de probabilité conjointe.
Exemple. Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de Xet de Y.
Y\X1 2 3 P.j
2 1/6 1/6\2/6
3 1/6 1/6 2/6 4/6
Pi. 2/6 2/6 2/6 1
(b) Cas continu :
•La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Xest donnée par :
fX(x) = ZR fX;Y(x, y)dy
•La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Yest donnée par :
fY(y) = ZR fX;Y(x, y)dx
Exemple. Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de Xet de Y.
4

CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS 6.2. CARACTÉRISTIQUES D’UN COUPLE ALÉATOIRE
4. Loi de probabilité conditionnelle : La loi de probabilité de la variable Xsachant que
Y=yest donnée par :
(a) Cas discret :
P(X=x/Y =y) = P(X=xi∩Y=yj)
P(Y=yj);si P(Y=yj)6= 0
(b) Cas continu :
fX/Y =y(x) = fX;Y(x, y)
fY(y);si fY(y)6= 0
5. Indépendance : Les variables aléatoires Xet Ysont dites indépendantes si et seulement si :
(a) Cas discret : ∀(xi, yj)∈(X, Y )(Ω) :
P(X=xi;Y=yj) = P(X=xi)× P(Y=yj)
(b) Cas continu : ∀(x, y)∈R2:
fX;Y(x, y) = fX(x)×fY(y)
6.2 Caractéristiques d’un couple aléatoire
1. Fonction de répartition conjointe : La fonction de répartition conjointe de (X, Y )est dé-
finie par :
FX;Y(x, y) = P(X6x;Y6y)
(a) Cas discret :
FX;Y(x, y) = X
s≤xX t≤y
P(X=s;Y=t)
(b) Cas continu :
FX;Y(x, y) = Zx
−∞ Zy −∞
fX;Y(s, t)ds dt
2. Fonction de répartition marginale :
(a) Cas discret :
•La fonction de répartition marginale de la v.a. Xest donnée par :
FX(x) = X
s≤x
P(X=s)
•La fonction de répartition marginale de la v.a. Yest donnée par :
FY(y) = X
t≤y
P(Y=t)
5