Probabilités

Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/
2
Chapitre 6
Couples aléatoires réels
6.1
Définitions
1. Couple aléatoire réel : On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple de variables
aléatoires (X, Y ).
• (X, Y ) est dit couple aléatoire discret (c.a.d) si les variables X et Y sont discrètes.
• (X, Y ) est dit couple aléatoire continu (c.a.c) si les variables X et Y sont continues.
2. Loi de probabilité conjointe :
(a) Cas discret : La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y ) est donnée par :
• X(Ω) et Y (Ω),
• ∀xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω) : Pij = P(X = xi ∩ Y = yj ).
P
P
Tels que : xi ∈X(Ω) yj ∈Y (Ω) Pij = 1 .
Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.
Exemple. Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire successivement et
sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2), (1; 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} .
Soient les variables aléatoires : X qui donne le numéro de la 1ère boule tirée et Y qui
donne le plus grand des deux numéros obtenus.
• X(Ω) = {1, 2, 3} .
• Y (Ω) = {2, 3} .
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y ) est donnée par :
Y \
X
1
2
3
2
1/6
1/6
\
3
1/6
1/6
2/6
3
CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS
6.1. DÉFINITIONS
(b) Cas continu : La loi de probabilité conjointe d’un c.a.c (X, Y ) est donnée par la fonction
fX;Y appelée "densité de probabilité conjointe" telle que :
• ∀(x, y) ∈ (X, Y )(Ω) : fX;Y (x, y) ≥ 0 .
RR
• R2 fX;Y (x, y) dx dy = 1.
Exemple. Soit la densité de probabilité conjointe fX;Y définie par :

2
2

si x ≥ 0 et y ≥ 0,

 c x y exp(−x − y )
fX,Y (x, y) =


 0
sinon.
Donner la valeur de c.
3. Loi de probabilité marginale :
(a) Cas discret :
• La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est donnée pour tout xi ∈
X(Ω) par :
Pi. = P(X = xi ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
j
• La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est donnée pour tout yj ∈
Y (Ω) par :
P.j = P(Y = yj ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
i
Elles sont souvent présentées dans le tableau de la loi de probabilité conjointe.
Exemple. Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et de Y .
Y \
1
2
3
P.j
2
1/6
1/6
\
2/6
3
1/6
1/6
2/6
4/6
Pi.
2/6
2/6
2/6
1
X
(b) Cas continu :
• La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est donnée par :
Z
fX (x) =
fX;Y (x, y) dy
R
• La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est donnée par :
Z
fY (y) =
fX;Y (x, y) dx
R
Exemple. Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et de Y .
4
CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS
6.2. CARACTÉRISTIQUES D’UN COUPLE ALÉATOIRE
4. Loi de probabilité conditionnelle : La loi de probabilité de la variable X sachant que
Y = y est donnée par :
(a) Cas discret :
P (X = x/Y = y) =
P(X = xi ∩ Y = yj )
;
P(Y = yj )
si P(Y = yj ) 6= 0
(b) Cas continu :
fX/Y =y (x) =
fX;Y (x, y)
;
fY (y)
si fY (y) 6= 0
5. Indépendance : Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si et seulement si :
(a) Cas discret : ∀(xi , yj ) ∈ (X, Y )(Ω) :
P (X = xi ; Y = yj ) = P(X = xi ) × P(Y = yj )
(b) Cas continu : ∀(x, y) ∈ R2 :
fX;Y (x, y) = fX (x) × fY (y)
6.2
Caractéristiques d’un couple aléatoire
1. Fonction de répartition conjointe : La fonction de répartition conjointe de (X, Y ) est définie par :
FX;Y (x, y) = P(X 6 x ; Y 6 y)
(a) Cas discret :
FX;Y (x, y) =
XX
P(X = s ; Y = t)
s≤x t≤y
(b) Cas continu :
Z
x
Z
y
FX;Y (x, y) =
fX;Y (s, t) ds dt
−∞
−∞
2. Fonction de répartition marginale :
(a) Cas discret :
• La fonction de répartition marginale de la v.a. X est donnée par :
FX (x) =
X
P(X = s)
s≤x
• La fonction de répartition marginale de la v.a. Y est donnée par :
FY (y) =
X
t≤y
5
P(Y = t)
CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS
6.2. CARACTÉRISTIQUES D’UN COUPLE ALÉATOIRE
(b) Cas continu :
• La fonction de répartition marginale de la v.a. X est donnée par :
Z x
FX (x) =
fX (s) ds ou FX (x) = lim FX;Y (x, y)
y→+∞
−∞
• La fonction de répartition marginale de la v.a. Y est donnée par :
Z y
FY (y) =
fY (t) dt ou FY (y) = lim FX;Y (x, y)
x→+∞
−∞
3. Esperance mathématique : Soit φ une fonction continue sur (X, Y ) (Ω).
(a) Cas discret :
E (φ(X, Y )) =
X X
φ(x, y) P(X = x ; Y = y)
X(Ω) Y (Ω)
(b) Cas continu :
ZZ
E (φ(X, Y )) =
φ(x, y) fX;Y (x, y) dx dy
R2
4. Moments d’ordres r et s : Soient r et s ∈ N∗ .
• Le moment simple d’ordres r et s est donné par :
µr,s = E (X r Y s )
• Le moment centré d’ordres r et s est donné par :
mr,s = E [(X − E(X))r . (Y − E(Y ))s ]
5. Covariance : La covariance entre X et Y est donnée par :
cov(X, Y ) = m1,1
= E [(X − E(X)) . (Y − E(Y ))]
= E (X . Y ) − E (X) . E (Y )
6. Corrélation : Le coefficient de corrélation entre X et Y est donné par :
ρ(X ; Y ) =
cov(X, Y )
∈ [−1 ; 1]
σ(X) .σ(Y )
Propriétés. Si les variables X et Y sont indépendantes alors :
• E (X . Y ) = E (X) . E (Y ) .
• cov(X, Y ) = 0 .
• ρ(X ; Y ) = 0 .
6
CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS
6.2. CARACTÉRISTIQUES D’UN COUPLE ALÉATOIRE
7. Fonction génératrice des moments : Elle nous permet d’avoir les moments simples d’ordres
r et s, (∀r, s ∈ N∗ ), et est donnée par :
gX;Y (t1 , t2 ) = E et1 X + t2 Y
Le moment simple d’ordres r et s est donné par :
µr,s = E (X r Y s ) =
dr+s gX;Y (t1 , t2 )
|t1 =0 ; t2 =0
dtr1 dts2
7