Probabilités 2015-2016 Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités
Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran
2015-2016
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Chapitre IV :
Lois de probabilité
usuelles
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
1
Loi uniforme discrète :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
1
Loi uniforme discrète :
Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme
discrète sur l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont
équiprobables.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
1
Loi uniforme discrète :
Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme
discrète sur l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont
équiprobables.
c.à.d :
X(Ω) = {k1 , k2 , · · · , kn } et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = ki ) =
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
1
.
n
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
1
Loi uniforme discrète :
Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme
discrète sur l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont
équiprobables.
c.à.d :
X(Ω) = {k1 , k2 , · · · , kn } et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = ki ) =
On note X ; U{k1 , k2 , · · · , kn } .
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Probabilités et statistique
1
.
n
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Propriétés :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1
si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =
a+b
2
et
KARA-ZAÏTRI L.
Var (X) =
(b − a)(b − a + 2)
Probabilités et statistique
12
.
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1
si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =
2
a+b
2
et
Var (X) =
(b − a)(b − a + 2)
si X ; U{1, 2, 3, · · · , n}, alors :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
12
.
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1
si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =
2
a+b
et
2
Var (X) =
(b − a)(b − a + 2)
si X ; U{1, 2, 3, · · · , n}, alors :
E(X) =
n+1
2
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et
Var =
Probabilités et statistique
12
.
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1
si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =
2
a+b
et
2
Var (X) =
(b − a)(b − a + 2)
12
si X ; U{1, 2, 3, · · · , n}, alors :
E(X) =
n+1
2
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et
Var =
n2 − 1
12
Probabilités et statistique
.
.
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
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2
Loi de Bernoulli de paramètre p :
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Lois de probabilité usuelles
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Lois usuelles discrètes
2
Loi de Bernoulli de paramètre p :
Soit p ∈ [0, 1].
On dit que la v.a X suit la loi de Bernoulli de paramètre p,
si elle n’admet que deux résultats possibles :
le succés qui prend la valeur 1 avec une probabilité p,
l’échec qui prend la valeur 0 avec une probabilité
q=1−p.
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Lois usuelles discrètes
c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .
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Lois usuelles discrètes
c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .
On note X ; B(p) .
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Lois de probabilité usuelles
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Lois usuelles discrètes
c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .
On note X ; B(p) .
Propriétés :
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .
On note X ; B(p) .
Propriétés :
si X ; B(p), alors :
E(X) = p
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et
Var = pq.
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Lois usuelles discrètes
3
Loi Binomiale de paramètres n et p :
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Lois usuelles discrètes
3
Loi Binomiale de paramètres n et p :
Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1].
On dit que la v.a X suit la loi Binomiale de paramètres n et
p, si elle donne le nombre de succés quand on répète n
fois une expérience de Bernoulli de paramètre p de
manières indépendantes.
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
3
Loi Binomiale de paramètres n et p :
Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1].
On dit que la v.a X suit la loi Binomiale de paramètres n et
p, si elle donne le nombre de succés quand on répète n
fois une expérience de Bernoulli de paramètre p de
manières indépendantes.
On note X ; B(n, p) .
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Propriétés :
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Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
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Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},
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Lois usuelles discrètes
Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},
∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k ,
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Lois usuelles discrètes
Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},
∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k ,
E(X) = n p,
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},
∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k ,
E(X) = n p,
Var(X) = n p q.
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4
Loi de Poisson de paramètre λ :
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4
Loi de Poisson de paramètre λ :
Soit λ > 0.
On dit que la v.a X suit la loi de Poisson de paramètre λ, si
elle donne le nombre de fois qu’un événement se produit
sur une periode donnée ( une surface, un volume),
sachant que cet événement se produit λ fois en moyenne
sur cette même période ( surface, volume).
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
4
Loi de Poisson de paramètre λ :
Soit λ > 0.
On dit que la v.a X suit la loi de Poisson de paramètre λ, si
elle donne le nombre de fois qu’un événement se produit
sur une periode donnée ( une surface, un volume),
sachant que cet événement se produit λ fois en moyenne
sur cette même période ( surface, volume).
On note X ; P(λ)
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
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Propriétés :
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Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
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Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,
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Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,
∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ
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λk
,
k!
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Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,
∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ
λk
,
k!
E(X) = λ ,
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,
∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ
λk
,
k!
E(X) = λ ,
Var(X) = λ.
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Lois de probabilité usuelles
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles discrètes
Lois usuelles discrètes
Exemple 1 :
Sur une autoroute on a enregistré en moyenne 4 accidents
par semaine.
Quelle est la probabilité que la semaine prochaine il y ait
trois accidents ?
Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident
aujourd’hui ?
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Lois usuelles discrètes
Exemple 1 :
Sur une autoroute on a enregistré en moyenne 4 accidents
par semaine.
Quelle est la probabilité que la semaine prochaine il y ait
trois accidents ?
Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident
aujourd’hui ?
Exemple 2 :
Un réservoir d’eau de 2000 litres contient en moyenne 3
bactéries par litre. Si vous buvez un litre de ce réservoir,
quelle est la probabilité que vous avaliez 8 bactéries ?
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
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Lois usuelles continues
1
Loi uniforme continue :
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Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
1
Loi uniforme continue :
Soient a, b ∈ R tels que a < b.
On dit que la v.a X suit la loi uniforme continue sur [a, b] si
elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =
1




b−a



0
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si x ∈ [a, b],
sinon.
Probabilités et statistique
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Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
1
Loi uniforme continue :
Soient a, b ∈ R tels que a < b.
On dit que la v.a X suit la loi uniforme continue sur [a, b] si
elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =
1




b−a



0
si x ∈ [a, b],
sinon.
On note X ; U[a, b] .
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
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Probabilités et statistique
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Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; U[a, b], alors :
1
b
E(X) = a+
,
2
2
Var (X) =
(b−a)2
12
.
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Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
2
Loi exponentielle de paramètre λ :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
2
Loi exponentielle de paramètre λ :
Soit λ > 0.
On dit que la v.a X suit la loi exponentielle de paramètre
λ, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =

−λx

 λe
si x > 0,


sinon.
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0
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
2
Loi exponentielle de paramètre λ :
Soit λ > 0.
On dit que la v.a X suit la loi exponentielle de paramètre
λ, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =

−λx

 λe
si x > 0,


sinon.
0
On note X ; E(λ) .
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
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Propriétés :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; E(λ), alors :
1
2
E(X) =
1
λ
Var (X) =
,
1
λ2
.
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
3
Loi Normale (Loi Gaussienne, Loi de Laplace-Gauss) :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
3
Loi Normale (Loi Gaussienne, Loi de Laplace-Gauss) :
1
Loi Normale centrée et réduite :
On dit que la v.a X suit la loi Normale centrée et réduite, si
elle admet pour densité de probabilité la fonction :
1 2
1
e− 2 x
f (x ) = √
2π
KARA-ZAÏTRI L.
,
∀x ∈ R.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
3
Loi Normale (Loi Gaussienne, Loi de Laplace-Gauss) :
1
Loi Normale centrée et réduite :
On dit que la v.a X suit la loi Normale centrée et réduite, si
elle admet pour densité de probabilité la fonction :
1 2
1
e− 2 x
f (x ) = √
2π
,
∀x ∈ R.
On note X ; N (0, 1) .
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Fonction de répartition :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Fonction de répartition :
Rx
1 2
F(x) = −∞ √1 e− 2 t dt = ?
2π
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Fonction de répartition :
Rx
1 2
F(x) = −∞ √1 e− 2 t dt = ?
2π
Graphiquement :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Fonction de répartition :
Rx
1 2
F(x) = −∞ √1 e− 2 t dt = ?
2π
Graphiquement :
Cloche symétrique par rapport à l’axe des y .
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (0, 1), alors :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (0, 1), alors :
E(X) = 0 .
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (0, 1), alors :
E(X) = 0 .
Var (X) = 1 .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (0, 1), alors :
E(X) = 0 .
Var (X) = 1 .
F(−x) = P(X ≤ −x) = P(X ≥ x) = 1 − P(X < x) ,
Ainsi : F(−x) = 1 − F(x) .
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
2
Loi Normale de paramètres µ et σ :
On dit que la v.a X suit la loi Normale de paramètres µ et
σ , si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =
1
σ
√
2π
KARA-ZAÏTRI L.
1
e− 2 (
x−µ
σ
2
)
,
∀x ∈ R.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
2
Loi Normale de paramètres µ et σ :
On dit que la v.a X suit la loi Normale de paramètres µ et
σ , si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =
1
σ
√
2π
KARA-ZAÏTRI L.
1
e− 2 (
x−µ
σ
2
)
,
∀x ∈ R.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
2
Loi Normale de paramètres µ et σ :
On dit que la v.a X suit la loi Normale de paramètres µ et
σ , si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =
1
σ
√
2π
1
e− 2 (
x−µ
σ
2
)
,
∀x ∈ R.
On note X ; N (µ, σ) .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Graphiquement :
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Graphiquement :
Cloche symétrique par rapport à l’axe (x = µ).
Pointue pour σ petit, aplatie pour σ grand.
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (µ, σ), alors :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (µ, σ), alors :
E(X) = µ .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (µ, σ), alors :
E(X) = µ .
Var (X) = σ 2 .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Lois usuelles continues
Lois usuelles continues
Propriétés :
si X ; N (µ, σ), alors :
E(X) = µ .
Var (X) = σ 2 .
La v.a X∗ =
X−µ
σ
; N(0, 1).
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
1
Approx. de la loi Binomiale par la loi de Poisson :
.
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
1
Approx. de la loi Binomiale par la loi de Poisson :
Soit X ; B(n; p) .
Si n ≥ 30 ; p ≤ 0, 1 et np ≤ 15, nous pouvons approcher
.
la loi Binomiale B(n; p) par la loi de Poisson
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
1
Approx. de la loi Binomiale par la loi de Poisson :
Soit X ; B(n; p) .
Si n ≥ 30 ; p ≤ 0, 1 et np ≤ 15, nous pouvons approcher
la loi Binomiale B(n; p) par la loi de Poisson P(np) .
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Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
2
Approx. de la loi Binomiale par la loi Normale :
.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
2
Approx. de la loi Binomiale par la loi Normale :
Soit X ; B(n; p) .
Si n ≥ 30 ; np ≥ 15 et npq ≥ 5, nous pouvons approcher
.
la loi Binomiale B(n; p) par la loi Normale
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Lois de probabilité usuelles
Approximations
Approximations
2
Approx. de la loi Binomiale par la loi Normale :
Soit X ; B(n; p) .
Si n ≥ 30 ; np ≥ 15 et npq ≥ 5, nous pouvons approcher
√
la loi Binomiale B(n; p) par la loi Normale N (np ; npq) .
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Correction de continuité :
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Correction de continuité :
Si X ; B(n; p) et qu’on l’approche par la loi Normale
√
N (np ; npq).
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Correction de continuité :
Si X ; B(n; p) et qu’on l’approche par la loi Normale
√
N (np ; npq).
Pour calculer P(X = k ) avec la loi Normale, il faut calculer
P(k − 12 < X ≤ k + 21 ) .
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