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Éléments de statistique
Frédéric Santos, <[email protected]>
M1 AbP, Université de Bordeaux
Édition 2015–2016
Contenu du cours
1.Généralités............................. 1
§1.1.Objectifs et pratique de la statistique, 1. — §1.2.Statistique et informatique, 2. —
§1.3.Échantillonnage, 2. — §1.4.Typologie des variables, 3.
2. Quelques éléments de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§2.1.Variable aléatoire, 4 (Cas d’une loi discrète, 4. Cas d’une loi continue, 4). — §2.2.
Fonction de répartition, 5 (Cas d’une loi discrète, 5. Cas d’une loi continue, 5). — §2.3.
Moments, 5. — §2.4.La loi normale, 6.
3.LelogicielR............................ 6
§3.1.Généralités, 6. — §3.2.Tableurs : règles de saisie des données, 7. — §3.3.Gestion des
packages, 9. — §3.4.L’interface graphique, 9.
4. Statistique descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§4.1.Cas de variables quantitatives continues, 10 (Résumés numériques, 10. Représentations
graphiques, 12). — §4.2.Cas de variables qualitatives, 13. — §4.3.Cas de variables quanti-
tatives discrètes, 14. — §4.4.Quantiles empiriques, 14. — §4.5.Liaison entre deux variables
numériques, 15.
5. Statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§5.1.Retour sur la loi normale, 16. — §5.2.Notion d’intervalle de confiance, 17. — §5.3.
Intervalle de confiance pour la moyenne, 18. — §5.4.Intervalle de confiance pour la variance,
20. — §5.5.Principe des tests d’hypothèses paramétriques, 20 (Objectifs, 20. Heuristique des
tests d’hypothèses, 21. Principe de fonctionnement, 21. Risques d’erreur, 21. La p-valeur d’un
test, 22). — §5.6.Tests paramétriques usuels, 23 (Comparaison de la moyenne à une valeur
de référence, 23. Comparaison de deux variances, 24. Comparaison des moyennes de deux
échantillons indépendants, 25. Comparaison des moyennes de deux échantillons appariés, 27).
—§5.7.Tests de normalité, 27. — §5.8.Équivalents non-paramétriques des tests usuels, 28.
—§5.9.Test d’indépendance du χ2, 28.
Références.............................. 31
1. Généralités
Pour l’ensemble du cours, on pourra consulter les ouvrages généraux [Fro07], [Pag10] et [GDM11].
§1.1. Objectifs et pratique de la statistique
La statistique fréquentiste 1offre toute une collection de méthodes visant à analyser des en-
sembles d’observations de manière objective et reproductible — c’est-à-dire que deux analystes
différents, en menant la même étude avec les mêmes outils, devront trouver les mêmes résultats.
Ces méthodes sont généralement fortement liées au calcul des probabilités et à l’algèbre linéaire.
Cette discipline a connu un essor considérable au cours du XXesiècle, en particulier après la
seconde guerre mondiale, puis ensuite avec l’arrivée de moyens informatiques performants.
1. C’est le point de vue dit classique en statistique, s’opposant à la statistique bayésienne, non évoquée dans ce
cours. Cette dernière laisse une place à la subjectivité et à l’intuition du chercheur.
1

2Généralités
Elle est aujourd’hui omniprésente dans tous les secteurs d’activité :
— sciences bio-médicales (études cas-témoins pour la détermination de facteurs de risque,
certification des médicaments génériques, statistique en génomique et génétique, ...) ;
— économie (modèles financiers, risques en assurance, ...) ;
— marketing (études de satisfaction clientèle, impact de campagnes publicitaires, ...) ;
— télécommunications (traitement du signal) ;
— physique et sciences de l’univers (dont la physique statistique est un domaine central) ;
— sciences humaines (modèles démographiques, sociologie quantitative, ...) ;
— sécurité sanitaire, sûreté de fonctionnement en milieu industriel (EDF, Airbus, ...) ;
— écologie et climatologie (rôle majeur dans l’étude du réchauffement climatique), etc.
§1.2. Statistique et informatique
Aujourd’hui, de nombreux logiciels de statistique performants permettent de mener des ana-
lyses poussées de manière rapide, même sur de gros volumes de données. Dans ce cours, seul le
logiciel Rsera utilisé. Voici cependant d’autres logiciels couramment employés :
— PAST : un logiciel gratuit spécialement destiné aux problématiques paléontologiques et
préhistoriques, associé à une épaisse et très pédagogique documentation [HH05] ;
— Gnumeric : un tableur libre et gratuit incluant de nombreuses fonctionnalités statistiques
avancées ;
— Statistica, logiciel payant propriétaire édité par StatSoft (déconseillé) ;
— Excel et son greffon XLStat, édités par Microsoft (déconseillé) ;
— SAS et SPSS, logiciels payants propriétaires, très utilisés dans l’industrie et le monde de la
finance, un peu moins dans le milieu de la recherche à cause de leur prix très élevé.
§1.3. Échantillonnage
On appelle population le groupe (a priori inaccessible dans sa totalité), ou encore le type, d’ob-
jets sur lequel porte notre étude. Un élément de la population est classiquement appelé individu,
voire parfois unité.
Mis à part le cas très particulier des recensements — étude sur population complète — une
étude statistique ne peut jamais être menée sur la totalité de la population, que ce soit pour des
raisons de coût ou simplement de faisabilité. Un échantillon est un sous-ensemble d’individus de la
population, réellement accessibles à l’expérimentateur — et dans le cas des études archéologiques,
cet échantillon est souvent très réduit.
Quelques exemples :
— dans une étude, la population peut par exemple être l’ensemble de tous les Néandertaliens,
l’ensemble de tous les statisticiens 2, ou les ampoules d’un certain type en sortie d’une
chaîne d’usine ;
— un individu sera alors un Néandertalien, un statisticien, ou une ampoule ;
— on ne peut hélas accéder à tous les Néandertaliens ayant existé, pas plus qu’on ne peut se
permettre d’étudier toutes les ampoules produites par une usine : une étude statistique ne
porte que sur un nombre restreint d’individus. L’échantillon, liste réeelle des objets entrant
en compte dans l’étude, peut donc être un ensemble de 12 squelettes néandertaliens, ou 20
statisticiens pris au hasard dans l’annuaire de la Société française de statistique, ou 100
ampoules capturées à l’issue de la chaîne de production.
Une étude statistique suit le schéma suivant :
1. Il s’agit avant tout de choisir et collecter un échantillon d’individus suffisamment repré-
sentatif de la population globale : c’est l’objet de la théorie des sondages — qui ne sera
pas étudiée ici, puisque l’archéologue ne peut évidemment maîtriser son échantillonnage :
il travaille avec ce qu’il trouve !
2. Les mauvais esprits pourront toujours se plaire à faire remarquer qu’il n’y a pas grande différence entre ces
deux populations.

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Figure 1 – Différentes étapes dans une étude statistique
2. On décrit ensuite l’échantillon et on en extrait le maximum d’informations pour résumer
ses caractéristiques : c’est l’objet de la statistique descriptive, ou exploratoire.
3. Enfin, on cherche à savoir à quel point les caractéristiques de l’échantillon peuvent être
représentatives des caractéristiques (inconnues !) de la population globale : il s’agit de « re-
monter » depuis l’échantillon vers la population. On parle alors de statistique inférentielle 3.
Définition 1 (Fluctuation d’échantillonnage). — On appelle fluctuation d’échantillonnage le fait
qu’un échantillon ne représente qu’imparfaitement la population sous-jacente.
Si un institut de sondage veut savoir comment vont voter les Français lors de la prochaine
élection, une stratégie (sommaire) peut être d’appeler 100 Français au hasard pour leur demander
leur intention de vote. À l’issue de cette étude, l’institut trouvera par exemple 15% d’intention de
vote pour le candidat A, 38% pour le candidat B, et 47% pour le candidat C. Mais si l’institut
recommence immédiatement l’expérience avec 100 autres personnes choisies au hasard, il est très
improbable qu’il observe exactement les mêmes pourcentages d’intention de vote sur le second
échantillon : il observera peut-être respectivement 18%, 37% et 45% sur ce second échantillon.
Ce phénomène est précisément la fluctuation d’échantillonnage 4, autrement dit, le fait que les
caractéristiques de l’échantillon (choisi au hasard) ne soient pas parfaitement égales à celles de la
population dans son ensemble.
L’objectif de la statistique inférentielle peut être perçu comme l’évaluation de l’impact de la
fluctuation d’échantillonnage relativement aux différences réelles : si l’institut de sondage effectue
deux enquêtes à deux semaines d’intervalle, les différences observées dans les intentions de vote
relèvent-elles de la simple fluctuation d’échantillonnage au sein d’une population qui, globalement,
n’a pas changé d’avis ? Ou au contraire, relèvent-elles d’une véritable évolution de l’opinion pu-
blique dans son ensemble ? C’est cette question que doit trancher la statistique, avec un risque
associé à la prise de décision.
§1.4. Typologie des variables
Classiquement, on récolte sur chaque individu une ou plusieurs informations, considérées comme
des réalisations de variables aléatoires pouvant être de différents types :
— variables quantitatives continues : longueur d’un tibia sur un squelette néandertalien, durée
de vie d’une ampoule ;
— variables quantitatives discrètes : âge d’un étudiant en années, nombre de dents restées
intactes sur un squelette ;
— variables qualitatives hiérarchisées, ou ordinales : état de conservation du squelette (bon,
moyen, mauvais), opinion politique des étudiants (de la plus à gauche à la plus à droite) ;
— variables qualitatives non hiérarchisées : présence ou absence de carie sur une dent, orien-
tation des jambes dans une sépulture (Nord, Ouest, ...).
3. Du latin inferre, littéralement « porter dans », traduisant l’objectif de « porter dans la population » les
informations découvertes dans l’échantillon.
4. Le concept de fluctuation d’échantillonnage a toujours été un ressort comique assez classique, comme en
témoigne l’aphorisme du grand philosophe Jean-Claude Van Damme : « Selon les statistiques, il y a une personne
sur cinq qui est déséquilibrée. S’il y a quatre personnes autour de toi et qu’elles te semblent normales, c’est pas
bon ». Dans un autre genre, certaines tribulations de Perceval et Karadoc dans la série Kaamelott doivent également
beaucoup à cette notion.

4Quelques éléments de probabilité
2. Quelques éléments de probabilité
«Toute connaissance dégénère en probabilité. » — David Hume
§2.1. Variable aléatoire
Le concept est en général bien vulgarisé par les spécialistes du traitement du signal qui utilisent
le terme de source. Intuitivement, on peut voir cela comme une source générant aléatoirement des
valeurs, mais dont le comportement est encadré par une loi, c’est-à-dire la probabilité d’obtenir
chaque valeur ou ensemble de valeurs. En d’autres termes, même si « individuellement » on ne peut
prévoir le résultat d’une réalisation de la variable aléatoire, on sait comment devraient globalement
se répartir les valeurs issues d’un grand nombre de réalisations 5.
2.1.1. Cas d’une loi discrète. — Si une variable aléatoire Xne peut générer qu’un nombre
fini de valeurs x1, x2, , xn(comme dans le cas d’un lancer de dé, où on obtient aléatoirement
un nombre entre 1 et 6), sa loi est totalement déterminée par les probabilités d’obtention de chaque
valeur, notées piX xi. Il va de soi que chaque piest compris entre 0et 1, et que la somme
de toutes les probabilités piest égale à 1.
Par exemple, dans le cas du lancer d’un dé équilibré, toutes les valeurs entre 1 et 6 sont
équiprobables. Alors, si Xest le résultat du lancer :
X1X2X6 1 6
Cela signifie que le dé est bien conçu, de telle façon qu’aucune valeur n’est théoriquement plus
probable qu’une autre (on parle de loi uniforme). Il est impossible de prédire de manière fiable le
résultat d’un lancer de dé, mais on sait par contre qu’en le lançant un grand nombre de fois, on
devrait avoir sensiblement autant de 1, que de 2, ..., que de 6.
Si on truque légèrement le dé en y intégrant une bille de plomb afin de déplacer son centre de
gravité, on peut par exemple imaginer que la loi de Xdeviendra :
X1 1 2 ; X2X3X6 1 10
2.1.2. Cas d’une loi continue. — Si Xpeut générer n’importe quel nombre réel (comme
dans le cas d’une loi normale, cf. infra), une énumération exhaustive des probabilités d’obtention
de chaque valeur est évidemment impossible. La loi de Xest dans ce cas définie par la probabilité
d’obtention d’une valeur comprise entre deux nombres quelconques aet b: la connaissance de
X a, b pour tous réels aet bdétermine la loi de Xde manière unique.
En particulier, on dit que Xadmet la fonction fpour densité si on a :
X a, b
b
a
f u du
avec f1(l’aire totale sous la courbe de la fonction fest 1).
Le lecteur familier avec la théorie de l’intégration en déduira que la probabilité pour Xde
prendre une valeur située entre aet best donnée par l’aire sous la courbe de fsur l’intervalle
a, b . D’où le nom de « densité » : la forme de fdétermine les valeurs où il est probable ou peu
probable de « tomber ».
Définition 2. — On dit que la série x1, , xnest composée de valeurs indépendantes et
identiquement distribuées (i.i.d.), si elles sont issues de la même distribution de probabilité (elles
suivent la même loi). Dans la vie concrète, cela signifie qu’elles sont obtenues de manière indé-
pendante par itération de la même expérience. Par exemple, 10 lancers de dé avec le même dé
équilibré constituent une série de valeurs i.i.d. (selon la loi uniforme).
5. Ce qui signe la différence entre l’aléatoire et l’anarchique ou l’imprévisible.

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Figure 2 – Densité d’une loi N0,1: les valeurs les plus probables pour cette loi sont situées
dans l’intervalle 2,2.
§2.2. Fonction de répartition
La loi d’une variable aléatoire Xest déterminée de manière unique par sa fonction de répartition
FX, définie par :
FXtX t
Il s’agit donc d’une fonction donnant les probabilités cumulées de prendre n’importe quelle valeur
jusqu’à un seuil tdonné.
2.2.1. Cas d’une loi discrète. — Par exemple, dans le cas d’un lancer de dé équilibré :
FX1X1X1 1 6
FX2X2X1ou X2 1 6 1 6 1 3
FX3X3X1ou X2ou X3 1 6 1 6 1 6 1 2
.
.
.
FX6X6 1
2.2.2. Cas d’une loi continue. — Si Xadmet fpour densité, on a :
FXt X t X , t
t
f u du
Il s’agit ici de l’aire sous la courbe de fsur l’intervalle , t , ce qui représente bien, d’après
ce qui précède, la probabilité de prendre n’importe quelle valeur inférieure à t. Sur la figure 3,
l’aire coloriée sous la courbe représente la probabilité de prendre n’importe quelle valeur jusqu’à
1: il s’agit de F1.
Une propriété évidente des fonctions de répartition est qu’elles sont croissantes et toujours
comprises entre 0 et 1.
§2.3. Moments
Définition 3 (Espérance). — On définit l’espérance de X, notée X, comme le résultat moyen
que l’on peut s’attendre à obtenir à l’issue de l’expérience aléatoire : c’est une valeur moyenne
théorique qui n’a pas forcément toujours de sens concret.
Dans le cas d’une loi discrète, avec les notations ci-dessus, on a X xipi; et dans le cas
d’une loi continue à densité f, on a Xxf x dx.