Connaitre le cosinus, le sinus, la tangente d`un angle aigu

Mathématiques en classe de 3ème au collège Haxo – S.Percot
CHAPITRE7:Trigonométrie
Lescompétencestravaillées:
Connaitrelecosinus,lesinus,latangented'unangleaigu(objE24:p340)
Calculerunelongueurpartrigonométrie(objE25:p342)
Déterminerunanglepartrigométrie(objE26:p344)
I:Connaitrelecosinus,lesinus,latangented'unangleaigu
Définition:Dansuntrianglerectangle,pourunangleaigudonné,ondéfinittroisrapportsdelongueurs:
Côté opposé à cet angle aigu
Lesinusdecetanglequiestégalauquotient:
Hypoténuse
Côté adjacent à cet angle aigu
Lecosinusdecetanglequiestégalauquotient:
Hypoténuse
Côté opposé à cet angle aigu
Latangentedecetanglequiestégaleauquotient:
Côté adjacent à cet angle aigu
Exemple:DansuntriangleABCrectangleenA,onadonc:
! = AB ! = AC ! = AB sin ACB
cos ACB
tan ACB
BC
BC
AC
Remarque:Lescalculatricesdonnentdetrèsbonnesvaleurs
approchéesdecesrapports.Ilfautsimplementvérifierqu’ellessont
bienconfiguréesen«Degrés».Parexemple,pourlecosinusde68°:
Propriété:Dansuntrianglerectangle,lecosinusetlesinusd’undesanglesaigusesttoujourscomprisentre0
et1.
Remarque:Eneffet,dansuntrianglerectangle,l’hypoténuseestleplusgrandcôtédonclerapportentrel’un
desdeuxautrescôtésetl’hypoténuseesttoujourscomprisentre0et1.
Propriété:Dansuntrianglerectangle,pourtoutangleaigudemesurex:
sin x
2
2
tan x =
(sin x ) + (cos x ) = 1
cos x
Exercicesdumanuelliésàcettenotion:
Exercices1à15page340-341
II:Calculerlalongueurd’uncôtéd’untrianglerectangle
Pourcalculeruncôtéd’untrianglerectangledontonconnaitunangleaiguetlalongueurd’uncôtéilfaut:
Parexemple:
-Faireunschémadutriangleen
pourcalculer
précisantquelscôtéssont
l’hypoténuse,lecôtéopposéàl’angle ACdansletriangle
ABCrectangleenA.
connuetlecôtéadjacentàl’angle
connu.
-Ensuiteilfautsedemanderquelest lecôtécherchéetquelestlecôté
connu.
C’estlesinusquifaitinterveniràlafoisl’hypoténuseetlecôté
opposéàl’angle.Onpeutdoncécrire:
-Ilfautécrireuneégalitéavecle
AC
! = AC d’où rapportquifaitintervenircesdeux
sin B
sin 29° =
BC
6
côtés.
etdonc AC = 6 × sin 29° Lacalculatriceconnaitunevaleurapprochéede sin 29° -Onaainsiuneéquationàuneseule
inconnue(lecôtécherché)qu’ilsuffit
donc AC ≈ 2,9 cm
derésoudre.
Exercicesdumanuelliésàcettenotion: Exercices1à15page344-345
Exercicesdumanuelliésàcettenotion:
Exercices1à14page342-343
III:Déterminerlamesured’unangledansuntrianglerectangle
Pour déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle dont on connait les longueurs de deux
côtésilfaut:
Parexemple
pourdéterminerla
-Faireunschémadutriangleen
! précisantquelscôtéssontl’hypoténuse, mesuredel’angle B
lecôtéopposéàl’angleconnuetle
dansletriangleABC
côtéadjacentàl’angleconnu.
rectangleenA.
-Ensuiteilfautsedemanderquelssont lesdeuxcôtéconnus.
-Ilfautécrireuneégalitéavecle
rapportquifaitintervenircesdeux
C’estlecosinusquifaitinterveniràlafoisl’hypoténuseetle
côtés.
côtéadjacentàl’angle.Onpeutdoncécrire:
! = AB d’où ! = 11 cos B
cos B
-Onaainsiuneéquationàuneseule
BC
15
inconnue(l’anglecherché)donton
! :
Lacalculatricesaitalorsretrouverunevaleurapprochéede B
pourratrouverunevaleurapprochée
grâceàlacalculatrice.
! ≈ 43° donc B