Chapitre . Cosinus d`un angle aigu

Chapitre . Cosinus d’un angle aigu
Ce chapitre ne fait pas partie du socle.
I.vocabulaire
On considère un triangle ABC rectangle en A.On dit que :
le segment [BC] est l’hypoténuse
[AB] est le côté adjacent à l’angle d
B
B
côté adjacent à d
B
C
A
[AC] est le côté adjacent de l’angle d
C.
II.
hypoténuse
côté adjacent à d
C
cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport de la longueur du
côté adjacent à l’angle par la longueur de l’hypoténuse.
AB
Si ABC est rectangle en A, cos a
ABC =
BC
Remarque: dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté et une longueur est toujours positive,
donc sur cette figure,
0 AB BC
0 < AB < BC
Donc
<
<
Donc 0 < cos a
ABC < 1
BC BC BC
Propriété : le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
III.
1)
Applications
Application 1
ABC est rectangle en A, et BC = 7 cm d
B = 40 °. Calculer AB.
AB
ABC est rectangle en A, donc cos d
B =
BC
cos d
B AB
=
1
BC
2)
AB =
BC cos d
B
1
AB = BC cos d
B
AB = 7 cos 40
AB % 5,4 cm
Application 2
ABC est rectangle en A, et AB = 7 cm d
B = 40 °. Calculer BC.
AB
ABC est rectangle en A, donc cos d
B =
BC
cos d
B AB
=
1
BC
BC =
AB × 1
cos d
B
AB =
AB
cos d
B
3) Application 3
ABC est un triangle rectangle en A, et AB = 8 cm
AB =
7
cos 40
BC % 9,1 cm
BC = 10 cm.
Calculer une valeur arrondie de d
B au dixième.
ABC est un triangle rectangle en A, donc cos d
B =
AB
BC
cos d
B =
8
Donc d
B % 36,9 °
10
(On utilise la fonction shift cos de la calculatrice).
sur Casio fx-92 CollègeII:
écriture à l'écran:
I0FJOWX]Ka
cos-1 ( 8 ÷ 1 3 )
Sur Texas Instruments TI Collège
écriture à l'écran:
&5 M @ F O:D
cos-1( 8 ÷ 1 0 )
O
La calculatrice va écrire le résultat suivant: 36.86989765
C'est une valeur arrondie de l'angle.
IV.
Concours des bissectrices d'un triangle.
H
H'
M
1)
Bissectrice d'un angle.
Définition: la bissectrice d'un angle est la demi-droite séparant cet angle en deux angles égaux.
Théorème: la bissectrice d'un angle est l'ensemble de tous les points intérieurs à l'angle situés à
égale distance des côtés de l'angle.
2)
Bissectrice d'un triangle.
Définition: une bissectrice d'un triangle est la bissectrice d'un angle au sommet du triangle.
Théorème: les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point. Ce point est le centre
du cercle inscrit au triangle.
C
V.
Triangle particuliers
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices, les hauteurs, les
médianes et les bissectrices d'un triangle équilatéral sont
confondues.
I
A
Dans un triangle isocèle, la médiatrice principale, la hauteur
principale, la médiane principale, et la bissectrice principale
C
sont confondues.
B
B'
A'
C
O
I
C'
H
A
B
B'
A'
VI. Tableau récapitulatif
droites remarquables
point de concours
médiatrices
centre du cercle circonscrit
médianes
centre de gravité
hauteurs
orthocentre
bissectrices
centre du cercle inscrit
O
I
C'
B
A