Chapitre . Cosinus d`un angle aigu

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Chapitre . Cosinus d’un angle aigu
Ce chapitre ne fait pas partie du socle.
I.vocabulaire
On considère un triangle ABC rectangle en A.On dit que :
le segment [BC] est l’hypoténuse
[AB] est le côté adjacent à l’angle
d
dd
d
B
[AC] est le côté adjacent de l’angle
d
dd
d
C .
II. cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport de la longueur du
côté adjacent à l’angle par la longueur de l’hypoténuse.
Si ABC est rectangle en A, cos
a
aa
a
ABC = AB
BC
Remarque: dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté et une longueur est toujours positive,
donc sur cette figure,
0 < AB < BC Donc 0
BC < AB BC < BC BC Donc 0 < cos a
ABC < 1
Propriété : le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
III. Applications
1) Application 1
ABC est rectangle en A, et BC = 7 cm d
dd
d
B = 40 °. Calculer AB.
ABC est rectangle en A, donc cos
d
B = AB
BC
cos
d
B
1 = AB BC AB = BC cos
d
B
1 AB = BC cos
d
B AB = 7 cos 40 AB % 5,4 cm
2) Application 2
ABC est rectangle en A, et AB = 7 cm d
dd
d
B = 40 °. Calculer BC.
ABC est rectangle en A, donc cos
d
B = AB
BC
cos
d
B
1 = AB BC BC = AB
× 1
cos
d
B AB = AB cos
d
B AB = 7
cos 40 BC
% 9,1 cm
3) Application 3
ABC est un triangle rectangle en A, et AB = 8 cm BC = 10 cm.
Calculer une valeur arrondie de d
dd
d
B au dixième.
ABC est un triangle rectangle en A, donc cos
d
B = AB
BC
cos
d
B = 8
10 Donc
d
B % 36,9 °
(On utilise la fonction shift cos de la calculatrice).
sur Casio fx-92 CollègeII: I0FJOWX]Ka
écriture à l'écran: cos
-1
( 8 ÷ 1 3 )
Sur Texas Instruments TI Collège &5 M @ F O:D
écriture à l'écran: cos
-1
( 8 ÷ 1 0 )
La calculatrice va écrire le résultat suivant: 36.86989765
C'est une valeur arrondie de l'angle.
IV. Concours des bissectrices d'un triangle.
B
A C
hypoténuse
côté adjacent à d B
côté adjacent à d C

1) Bissectrice d'un angle.
Définition: la bissectrice d'un angle est la demi-droite séparant cet angle en deux angles égaux.
Théorème: la bissectrice d'un angle est l'ensemble de tous les points intérieurs à l'angle situés à
égale distance des côtés de l'angle.
2) Bissectrice d'un triangle.
Définition: une bissectrice d'un triangle est la bissectrice d'un angle au sommet du triangle.
Théorème: les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point. Ce point est le centre
du cercle inscrit au triangle.
V. Triangle particuliers
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices, les hauteurs, les
médianes et les bissectrices d'un triangle équilatéral sont
confondues.
Dans un triangle isocèle, la médiatrice principale, la hauteur
principale, la médiane principale, et la bissectrice principale
sont confondues.
VI. Tableau récapitulatif
droites remarquables point de concours
médiatrices centre du cercle circonscrit
médianes centre de gravité
hauteurs orthocentre
bissectrices centre du cercle inscrit
B
C
A
I
B
C
A
O I
C'
B'
A'
B
C
A
O
I
C'
B'
A'
H