Tel Quel [ V a n o i e L' ENJEU MATHEMATIQUE 3 par Ghîslain Desmeules 1- Les artistes en colloque. illgstr^tions:gl9çlis ( on s'accorde 40 points si la solution est correcte. ) Quatre artistes sont réunis en discussion lors d'un colloque portant sur la reconnaissance des droits d'auteur. On a observé qu'il y a une différence de six ans entre chacun lorsqu'on va du plus jeune jusqu'au plus âgé et que la somme de leurs âges est 160. Trois d'entre eux ont un âge qui est un nombre premier. Si on ajoute 388 à la différence des cubes des âges des deux plus jeunes, on obtient le quintuple de la somme des carrés des âges des deux plus âgés. Quel est l'âge de chacun ? 2-Les chiffres perdus. Il s'agit de placer à l'intérieur des cercles chacun des nombres de 1 à 9 inclusivement de façon à rendre l'égalité vraie. (On s'accorde 30 points si on trouve la solution correcte). ^ ifl Q ) Exercice no 1 O-O ^ O- Exercice no 2 o O-O O-O I a GRAND TOTAL sur 100 Résolution de problèmes Les joueurs de billes. Cinq copains jouent aux billes ensemble. A la fin de la partie, chacun dénombre la quantité de billes qu'il possède; tous ont moins que 100 billes. A l'aide des indices ci-dessous, tentez de retrouver le nombre de billes que chacun possède: Anna : si elle avait deux billes de plus, elle en aurait un nombre entier de dizaines et si elle en avait deux de moins, elle aurait un nombre entier de sacs de neuf billes. : avant 'a partie, il avait quarante-huit billesmamtenant, il en a une de plus que les deux tiers de ce qu'il possédait'. Clauds : il peut obtenir un nombre entier de sacs s'il en place sept par sacs et s'il avait une bille de plus, il pourrait les disposer en carré. (Il y a deux solutions possibles). Panjelle : le nombre de billes qu'elle possède est un nombre premier et. si elle avait une bille de moins .elle en aurait un nombre entier de sacs de dix-huit billes. (Il y a deux solutions possibles). Êlic : le nombre de billes qu'il possède nous donne un nombre impair de lots de six billes et, s'il avait une bille de plus, il aurait un nombre impair de sacs de cinq billes. Pour pouvoir distinguer les cas où il y a deux solutions possibles, on a évalué qu'ils ont, en tout, deux cent vingt-cinq billes. m¥ 68 - 24 Une énigme algébrique. La maison sinistrée. Je déguste avec ferveur un hambourgeois juteux dans un restaurant a la sortie du village où je réside, tout en discutant avec Denis un camionneur qui fait ce métier depuis toujours Denis est un homme affable qui, de temps à autre, offre gratuitement ses services pour conduire des jeunes en autobus à un camp de vacances La conversation allant bon train, Denis me parle de l'incendie qui a passablement avarié sa demeure le mois dernier: - Les réparations sont bien amorcées car la compagnie d'assurance n'a pas tardé à me dédommager. Mon frère Daniel qui est habitué à exécuter ce genre de travail s'occupe de la gérance des travaux de renovation et il y participe activement. Précisément, ce matin, il m'a laissé une note pour me rendre compte de l'état des travaux et du temps travaillé par les ouvriers spécialisés qu'il a du engager. Voici les principaux détails de la note de Daniel: - U somme du temps du menuisier, de l'électricien et du plombier nous donne quatre heures de plus que le mien. - La somme du temps de l'électricien, du plombier et du maçon équivaut à une heure de plus que le mien. - La somme du temps du plombier, du maçon et du menuisier égale cinq heures de moins que le mien. - Neuf fois ce qu'on obtient si on enlève le temps du menuisier de celui du plombier est égal à cinq heures de moins que mon temps - La somme du temps de chacun des quatre ouvriers correspond à mon temps augmenté des trois dixièmes de sa valeur. Daniel m'a dit que les travaux tiraient à leur fin et que je pourrais bientôt réintégrer ma demeure. Combien d'heures Daniel et chacun des ouvriers ont-ils travaillé ? m¥ 68 - 25 1824 LES OPÉRATIONS PAYANTES Il s'agit de réaliser 25 séries d'opérations mathématiques en se servant uniquement des 4 chiffres du nombre désigné; il faut toutefois que ces chiffres demeurent toujours dans le même ordre que dans le nombre désigné. La première série doit donner 1. la seconde 2, la troisième 3 et ainsi de suite jusqu'à 25. Il est interdit d'accoler deux chiffres ensemble pour en faire un nombre à deux chiffres; exemple: 18 - 2 - 4 = 12 jlfîsLcaa CfiffliiS- On peut inclure l'exponentiation dans les opérations de base; exemple: 1 + 8 x 2^ = 129 est permis. Afin de rendre le jeu encore plus intéressant, on a dressé une grille d'évaluation basée sur l'habileté à réaliser la série d'opérations la plus telle", c'est-à-dire celle contenant le moins d'artifices mathématiques classés comme ci-dessous: I- les opérations de base ( +, -, x, + et exponentiation ) II- les parenthèses III- les racines carrées IV- les factorielles ( notation ! ) En vous servant du tableau ci-dessous et du nombre de points accordés pour chaque solution (en essayant toujours de réaliser la forme la plus payante), tentez de réaliser la meilleure performance possible. Le score parfait est 250. On appellera efficacité le résultat en % obtenu en faisant la somme des points par rapport au maximum possible. La mienne avec 1824, grâce à 243 points, est de 97,2 %. COMBINAISONS Nombre de points opérations de base 10 V 8 V 7 V 6 V 5 V V 4 V V 3 V 1 V points opérations _ 1 ) 2 ) _ _ 3 ) 4 ) 5 ) — 6 ) 7 ) 8 ) _ _ _ 9 ) 10) 11) =: _ 12) 13) m¥ = 68 - 26 parenthèses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 racines carrées factorielles V V V V V V V V V V opérations 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) Grand total = — = — — — — = — — — — points 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Efficacité Tel Quel -repohses- Réponses L'enjeu nnathématique. 1- les artistes en colloque 31, 37, 43 et 49 ans 2 - les chiffres perdus no 1) ( l + 8 ) / ( 2 + 7 ) + ( 3 + 5 ) / 4 + 5 = 9 no 2) 9 + (2+6)/(1+3) = ( 5 + 7 ) / 4 + 8 Les joueurs de billes. Anna: 38 billes Bernard: 33 billes Danielle: 37 billes Eric: 54 billes Claude: 63 billes La maison sinistrée Le contremaître: Î 4 0 heures le nr>enuisier: 41 heures l'électricien: 47 h le plonnbier: 56 h le maçon: 38 h Les opérations payantes 1824 1 ) - 1 + 8 - 2 - 4 = 1 1x8-2-4= 2 2 ) 1+8 - 2 - 4 = 3 3 ) 1X 8 X 2 / 4= 4 4) 5 + 2 +4= 5 ) 1^x2 + 4 = 6 6 ) -1^ + 2 x 4 = 7 7 ) 13x2x4 = 8 8 ) -1 + 8 - 2 + 4 = 9 9 ) 1x8-2+4= 10 10) 1 + 8 - 2 + 4 = 11 11) 12) 13) { + 2 ) X 4 -1+8 + 2 + 4 = 12 = 13 14) 1 X 8 + 2 + 4 = 15) - 1 + 8 + 2 x 4 = 16) 1 x 8 + 2 x 4 = 17) 1 + 8 + 2 x 4 = Î8) 1 x 8 x 2 + / 4 = 19) - 1 + 8 x 2 + 4 = 1x8x2 +4= 20) 1 +8x2 +4= 21) 22) (1 + 8) X 2 + 4 = -1 + 8 + 2 ^ = 23) 24) 1 x 8 + 2"^ = 1 + 8 + 2^ = 25) M 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 m¥ 68 - 45