Cours - Page personnelle de Julien Chenal

Repérage dans le plan
Cours
Savoir repérer la position d’un point à l’aide de ses coordonnées dans un repère.
Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
Savoir calculer la longueur d’un segment.
savoir utiliser la géométrie analytique pour résoudre un problème.
Objectifs du chapitre
1 Rappels
Soit RST un triangle.
i) Partie directe : Si RST est rectangle en S, alors
ST 2=RS2+RT 2.
ii) Réciproque : Si ST 2=RS2+RT 2, alors le
triangle RST est rectangle en S.
Théorème (Théorème de Pythagore)
Soit A,Bet Ctrois points du plan et
M∈(AC) et N∈(AB).
i) Partie directe : Si les droites (BC) et
(M N ) sont parallèles, alors
AB
AN =AC AM =BC M N .
ii) Réciproque : Si AB
AN =AC AM =BC M N et
si les points A,B,Net A,C,Msont
alignés dans le même ordre, alors les
droites (BC) et (M N ) sont parallèles.
Théorème (Théorème de Thalès)
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2 Repères
2.1 Se repérer sur une droite
Soit Oet Ideux points distincts.
Alors le couple (O,I) est appelé repère
d’origine Ode la droite D=(OI ).
Définition
Pour tout point Mde la droite D, il existe un unique nombre réel xtel que
OM =xO I .
Théorème
BDeux points de Dvérifient cette
égalité : B
Remarques importantes!!
Si M∈[OI ), alors on dira que l’abscisse de Mest x.
Si M∉[OI ), alors on dira que l’abscisse de Mest −x.
Définition
On considère le repère (O,I).
1) a./ Donner les abscisses des points Oet I.
b./ Quelles sont les abscisses des points A,B,Cet D.
c./ Placer les points Eet F, d’abscisse respective −0,5 et 2,5.
d./ Quelle est l’abscisse du milieu de [AB] ?
e./ Quelle est l’abscisse du symétrique de Cpar rapport à O?
2) Reprendre les mêmes questions dans le repère (O,C).
Exercice
2

2.2 Se repérer dans le plan
Soit O,Iet Jtrois points non alignés. On considère (O,I) et (O,J) un repère des droites (OI )
et (O J). Le triplet (O,I,J) est appelé un repère du plan P.
Définition
À tout point Mdu plan, on peut as-
socier deux uniques points Mxet My
tels que :
•Mx∈(OI ), (on dit que Mxest le
projeté orthogonal de Msur (OI ).)
•My∈(O J), (on dit que Myest le
projeté orthogonal de Msur (O J ).)
•OMxM Myest un parallélogramme.
Théorème
On suppose que Mxa pour coordonnées xdans le repère (O,I) et Mya pour coordonnées
ydans le repère (O J).
•L’unique couple (x,y) associé à Mest appelé couple de coordonnées de Mdans le re-
père (O,I,J).
•xest appelé l’abscisse de M.
•yest appelé l’ordonnée de M.
Définition
BLes coordonnées d’un point dépendent du repère choisi ! Si on change de repère, les
coordonnées changent. B
Remarques importantes!!
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On distingue quatre types de repère, suivant la nature du triangle OI J :
Le triangle OI J est quel-
conque : on dit que le re-
père est quelconque.
Le triangle OI J est isocèle
en O: on dit que le repère
est normé.
Le triangle OI J est rec-
tangle en O: on dit que le
repère est orthogonal.
Le triangle OI J est rec-
tangle isocèle en O: on
dit que le repère est ortho-
normé.
1) Justifier que la donnée des points O,Iet Jpermet de constituer un repère de la figure
ci-dessous.
Donner les coordonnées des points A,B,Cet Ddans le repère (O,I,J).
2) Reprendre la question 1) avec les points O,I0et J0.
3) Reprendre la question 1) avec les points O,I00 et J00.
Exercice
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3 Milieux et distances
3.1 Milieu d’un segment
Soit (O,I,J) un repère du plan et A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points. Alors le milieu du seg-
ment [AB] a pour coordonnées
³xA+xB
2;yA+yB 2´.
Propriété
On considère (O,I,J) un repère du plan. Déterminer les coordonnées du milieu de [AB]
dans les cas suivants :
1) a./ A(0;0) et B(1;1),
b./ A(1;1) et B(0;0),
c./ A(−5;3) et B(−5;−10),
d./ A(3;0) et B(5;−2).
2) Vérifier graphiquement en plaçant les points.
Exercice
3.2 Distance entre deux points dans un repère orthonormé
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J), la distance AB vaut :
AB =q(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Propriété
Démonstration.
La démonstration de ce résultat repose sur le théorème de Pythagore.
On note Cle point tel que ABC est un tri-
angle rectangle. Alors Ca pour coordonnées
(xB,yA) donc AC =(xB−xA) et BC =(yB−
yA). Ainsi, en appliquant le théorème de Py-
thagore, on a
AB2=(xB−xA)2+¡yB−yA¢2.
Donc en prenant la racine carrée des deux
membres, on obtient
AB =q(xB−xA)2+(yB−yA)2.
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