Chapitre 2 Configurations du plan et repérage

Chapitre 2
Configurations du plan et repérage
1
1.1
Triangles
Théorèmes des milieux
Théorème 1
• La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième
côté.
• La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre
côté coupe le troisième côté en son milieu.
• La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à
la moitié de la longueur du troisième côté.
B
I
J
C
A
1.2
Droites remarquables
Théorème 2
Dans un triangle :
• les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
• les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Ce point est situé aux 32 de chaque médiane en partant du sommet.
• les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce
point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
• les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle.
Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.
B
B
A′
C′
H
A′
C′
G
C
B
A
C
B′
′
A
8
Chapitre 2
B
A′
B
C
′
O
C
I
B
C
′
A
A
2
2.1
Triangle rectangle
Théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème 3
Soit ABC un triangle.
• Si ABC est rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2 .
• Si BC 2 = AB 2 + AC 2 , alors ABC est rectangle en A.
b
a2 = b2 + c2
c
a
2.2
Cercle circonscrit
Théorème 4
Soit AM B un triangle.
• Si AM B est rectangle en M , alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de
l’hypoténuse.
• Si M est sur le cercle de diamètre [AB] alors AM B est rectangle en M .
M
B
A
2.3
O
Trigonométrie
Théorème 5 (Propriété et définition)
Soit ABC un triangle rectangle en A et α la mesure de l’angle ÷
ABC.
AC
AB AC
,
et
ne dépendent que des angles du triangle ABC.
Les rapports
BC BC
AB
Configurations du plan et repérage
9
On définit le cosinus, le sinus et la tangente de α de la façon suivante :
AC
AC
AB
sin(α) =
tan(α) =
cos(α) =
BC
BC
AB
cos α =
b
b
a
b
tan α =
c
c
sin α =
α
3
c
a
a
Parallélogrammes
Définition 1
Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si [AC] et [BD] ont
le même milieu. Ce milieu est appelé centre du parallélogramme.
D
C
I
A
B
Théorème 6
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même mesure.
k
D
C
D
C
k
A
B
A
3.1
B
Rectangles
Définition 2
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
D
C
A
B
Théorème 7
• Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit.
• Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même
mesure.
10
Chapitre 2
3.2
D
C
D
C
A
B
A
B
Losanges
Définition 3
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure.
C
D
B
A
Théorème 8
• Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de
même mesure.
• Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
C
C
D
D
B
A
3.3
Carrés
Définition 4
4
B
A
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Repérage
4.1
Définitions
Définition 5
Soit d une droite. Soient O et I deux points distincts de cette droite.
Si M est un point de d, on appelle . . . . . . . . . de M dans le . . . . . . . (O,I) le nombre
réel xM défini de la façon suivante :
• Si M ∈ [OI) alors xM = . . . . .
• Si M ∈
/ [OI) alors xM = . . . . . . . .
La droite d munie du repère (O,I) est appelée . . . . . . . . . . . . . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . .
Remarque : l’abscisse d’un point sur une droite ne dépend pas de l’unité de longueur mais
uniquement de la position relative des points.
Configurations du plan et repérage
11
Exemple : On considère la droite ci-dessous. Déterminer l’abscisse de A dans le repère (O,I) puis l’abscisse
de O dans le repère (I,A).
A
O
I
OA
= −2
• A∈
/ [OI) donc l’abscisse de A dans (O,I) est −
OI
IO
1
• O ∈ [IA) donc l’abscisse de O dans (I,A) est
=
IA
3
Définition 6
Un triplet de points (O,I,J) est appelé . . . . . . . du plan si O, I et J
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le point O est appelé . . . . . . . . du repère et les droites (OI)
et (OJ) sont les . . . . . du repère.
Définition 7
Soit (O,I,J) un repère du plan. Soit M un point du plan. On appelle
. . . . . . . . . . . . . . de M le couple (xM ; yM ) défini de la façon suivante :
• Si on appelle N le point d’intersection de la parallèle à (OJ) passant par M et de
(OI), xM est . . . . . . . . . . . de N sur l’axe gradué (O,I).
• Si on appelle P le point d’intersection de la parallèle à (OI) passant par M et de
(OJ), yM est . . . . . . . . . . . de P sur l’axe gradué (O,J).
xM est appelé . . . . . . . . . de M dans (O,I,J) et yM est appelé . . . . . . . . . . . de M dans
(O,I,J).
M
P
J
O
I
N
Exemple : Déterminer les coordonnées de A et B dans le repère (O,I,J) ci-dessous.
On trace les parallèles aux axes passant par A.
Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent
d’écrire : A(−1; 1).
On trace les parallèles aux axes passant par B.
Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent
d’écrire : B(0,5; 2).
4.2
B
A
J
O
I
Milieu d’un segment
Théorème 9
Si A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) et I est le milieu de [AB] alors I ( . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . )
12
Chapitre 2
Exemple : Dans un repère (O,I,J), on considère les points A(−4; 4) et B(2; 1). Déterminer les coordonnées
du milieu I de [AB].
−4 + 2
yA + yB
4+1
5
xA + xB
=
= −1 et yI =
=
=
2
2
2
2
2
Å
5ã
donc I −1;
2
On a xI =
4.3
Distances
Repère orthonormal
Soit (O,I,J) un repère du plan. On se donne une unité de longueur.
Définition 8
On dit que (O,I,J) est orthonormal (ou orthonormé) si :
• Les axes sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• OI = OJ = .
Exemples :
1
J
J
J
O
non orthonormal
4.4
O
I
I
O
orthonormal
non orthonormal
Calcul de distances
Soit (O,I,J) un repère orthonormal.
Théorème 10
Si A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) alors AB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple »
: Dans un repère orthonormal, soit A(3; −1) et B(−1; 5). Calculer AB.
AB =
(−1 − 3)2 + (5 − (−1))2 =
√
16 + 36 =
I
√
√
52 = 2 13.