Chapitre 2 Configurations du plan et repérage

Chapitre 2
Configurations du plan et repérage
1 Triangles
1.1 Théorèmes des milieux
Théorème 1
• La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième
côté.
• La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre
côté coupe le troisième côté en son milieu.
• La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à
la moitié de la longueur du troisième côté.
A
B
C
J
I
1.2 Droites remarquables
Théorème 2
Dans un triangle :
• les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
• les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Ce point est situé aux 2
3de chaque médiane en partant du sommet.
• les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce
point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
• les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle.
Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.
A
B
C
C′
B′
A′
H
A
B
C
C′
B′
A′
G

8Chapitre 2
A
B
C
I
A
B
C
C′
B′
A′
O
2 Triangle rectangle
2.1 Théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème 3
Soit ABC un triangle.
• Si ABC est rectangle en Aalors BC2=AB2+AC2.
• Si BC2=AB2+AC2, alors ABC est rectangle en A.
a
b
ca2=b2+c2
2.2 Cercle circonscrit
Théorème 4
Soit AMB un triangle.
• Si AMB est rectangle en M, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de
l’hypoténuse.
• Si Mest sur le cercle de diamètre [AB] alors AMB est rectangle en M.
O
A
M
B
2.3 Trigonométrie
Théorème 5 (Propriété et définition)
Soit ABC un triangle rectangle en Aet αla mesure de l’angle ÷ ABC.
Les rapports AB
BC ,AC BC et AC AB ne dépendent que des angles du triangle ABC.

Configurations du plan et repérage 9
On définit le cosinus, le sinus et la tangente de αde la façon suivante :
cos(α) = AB
BC sin(α) = AC BC tan(α) = AC AB
a
b
c
α
cos α=c
a
sin α=b
a
tan α=b
c
3 Parallélogrammes
Définition 1 Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si [AC]et [BD]ont
le même milieu. Ce milieu est appelé centre du parallélogramme.
A B
D C
I
Théorème 6
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même mesure.
A B
D C
k
k
A B
D C
3.1 Rectangles
Définition 2 Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
A B
D C
Théorème 7
• Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit.
• Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même
mesure.

10 Chapitre 2
A B
D C
A B
D C
3.2 Losanges
Définition 3 Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure.
A
B
D
C
Théorème 8
• Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de
même mesure.
• Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendi-
culaires.
A
B
D
C
A
B
D
C
3.3 Carrés
Définition 4 Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
4 Repérage
4.1 Définitions
Définition 5 Soit dune droite. Soient Oet Ideux points distincts de cette droite.
Si Mest un point de d, on appelle . . . . . . . . . de Mdans le . . . . . . . (O,I)le nombre
réel xMdéfini de la façon suivante :
• Si M∈[OI)alors xM=.....
• Si M /∈[OI)alors xM=........
La droite dmunie du repère (O,I)est appelée . . . . . . . . . . . . . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . .
Remarque : l’abscisse d’un point sur une droite ne dépend pas de l’unité de longueur mais
uniquement de la position relative des points.

Configurations du plan et repérage 11
Exemple : On considère la droite ci-dessous. Déterminer l’abscisse de Adans le repère (O,I)puis l’abscisse
de Odans le repère (I,A).
O IA
•A /∈[OI) donc l’abscisse de Adans (O,I) est −OA
OI =−2
•O∈[IA) donc l’abscisse de Odans (I,A) est IO
IA =1 3
Définition 6 Un triplet de points (O,I,J)est appelé . . . . . . . du plan si O,Iet J
........................ Le point Oest appelé . . . . . . . . du repère et les droites (OI)
et (OJ)sont les . . . . . du repère.
Définition 7 Soit (O,I,J)un repère du plan. Soit Mun point du plan. On appelle
.............. de Mle couple (xM;yM)défini de la façon suivante :
• Si on appelle Nle point d’intersection de la parallèle à (OJ)passant par Met de
(OI),xMest . . . . . . . . . . . de Nsur l’axe gradué (O,I).
• Si on appelle Ple point d’intersection de la parallèle à (OI)passant par Met de
(OJ),yMest . . . . . . . . . . . de Psur l’axe gradué (O,J).
xMest appelé . . . .. . . . . de Mdans (O,I,J)et yMest appelé . . . . . . . . . . . de Mdans
(O,I,J).
OI
J
M
P
N
Exemple : Déterminer les coordonnées de Aet Bdans le repère (O,I,J)ci-dessous.
On trace les parallèles aux axes pas-
sant par A.
Les abscisses des points d’intersec-
tion sur (O,I) et (O,J) permettent
d’écrire : A(−1; 1).
On trace les parallèles aux axes pas-
sant par B.
Les abscisses des points d’intersec-
tion sur (O,I) et (O,J) permettent
d’écrire : B(0,5; 2).
OI
J
B
A
4.2 Milieu d’un segment
Théorème 9
Si A(xA;yA), B(xB;yB) et Iest le milieu de [AB] alors I( . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . )