Sujet 1

SESSION 2012 PCM1002
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
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MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
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Les calculatrices sont interdites
L’objectif du probl`eme est de d´efinir et d’´etudier la notion de diagonalisabilit´e d’un couple
de matrices
A, B dans plusieurs situations.
Les parties I et V traitent chacune un cas particulier, respectivement en dimension 3 et 4. La
partie II aborde le cas o`u Best inversible et la partie IV ´etudie un crit`ere de diagonalisabilit´e.
La partie III se r´eduit `a l’´etude du cas d’un couple de matrices sym´etriques r´eelles.
La partie I est ind´ependante des quatre autres parties. Les parties III, IV et V sont, pour une
grande part, ind´ependantes les unes des autres.
Il est demand´e, lorsqu’un raisonnement utilise un r´esultat obtenu pr´ec´edemment
dans le probl`eme, d’indiquer pr´ecis´ement le num´ero de la question utilis´ee.
Notations et d´efinitions
Soient net pdeux entiers naturels non nuls, Kl’ensemble Rou Cet Hune partie de K.
Notons Mn,p Kl’espace vectoriel des matrices `a nlignes et pcolonnes `a coefficients dans K,
MnKl’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans K,
SnKl’espace vectoriel des matrices de MnKqui sont sym´etriques,
DnHl’ensemble des matrices diagonales de MnK`a coefficients diagonaux dans H,
GLnKl’ensemble des matrices de MnKqui sont inversibles,
OnRl’ensemble des matrices de MnRqui sont orthogonales,
Inla matrice identit´e d’ordre n.
1/6 Tournez la page S.V.P.

D´efinitions 1 : Soient A, B MnK2et λK.
On note EλA, B l’ensemble des matrices-colonnes XMn,1Ktelles que AX λBX.
On dit que λest valeur propre du couple A, B si EλA, B n’est pas r´eduit `a 0 ,
c’est-`a-dire si AλB n’est pas inversible.
On note χA,B la fonction d´efinie sur Kpar χA,B λdet A λB et Sp A, B l’ensemble
des valeurs propres du couple A, B , c’est-`a-dire l’ensemble des ´el´ements λKtels que
χA,B λ0.
Dans le cas particulier o`u BIn, on remarquera que ces d´efinitions correspondent aux notions
de valeur propre, d’espace propre et de polynˆome caract´eristique de A.
Ainsi, EλA, Inet χA,Insont not´es plus simplement EλAet χA.
Partie I : DIAGONALISABILIT´ E DANS UN CAS PARTICULIER
Soit A
3 1 1
2 1 0
0 0 1
,B
0 0 0
4 2 0
0 0 2
,C
4 2 2
12 6 4
0 0 2
et D
000
020
002
.
On note aussi Fu1,u2,u3pour u1
1
2
0
,u2
1
0
3
et u3
0
1
1
.
I.1.
I.1.a. Montrer que Bn’est pas inversible.
I.1.b. Montrer que Aest inversible.
I.1.c. V´erifier que C A 1B.
I.2.
I.2.a. Montrer que χA,B λ2λ12.
I.2.b. En d´eduire Sp A, B .
I.2.c. D´eterminer une base de E12A, B et en d´eduire que dim E12A, B 2.
I.3.
I.3.a. Calculer χB,A λet en d´eduire que Sp B, A 0,2 .
I.3.b. ´ Etablir les identit´es suivantes :
E0B, A Vect u1E0Cet E2B, A E12A, B Vect u2,u3E2C .
I.3.c. En d´eduire que dim E0B, A dim E2B, A 3.
I.4.
I.4.a. Montrer que Fest une base de M3,1Rform´ee de vecteurs propres de C.
I.4.b. D´eterminer explicitement une matrice RGL3Rtelle que C RDR 1.
I.4.c. Montrer que BARDR 1.
I.4.d. Justifier qu’il existe PGL3Ret QGL3Rtelles que A P I3Qet B P DQ.
2/6
2/6

D´efinitions 2 : Soit A, B, A , B MnK4.
On dit que le couple A, B est r´egulier s’il existe λKtel que χA,B λ0.
On dit que le couple A, B est ´equivalent au couple A , B et on note A, B A , B
si :
PGLnK, Q GLnKA P A Q et B P B Q.
On dit que le couple A, B est diagonalisable si :
DDnK, D DnKA, B D, D .
Partie II : R´ EGULARIT´ E ET DIAGONALISABILIT´ E
II.1. Soit A, B MnK2.
II.1.a. On suppose dans cette question que Best inversible. Pour λK, exprimer
χA,B λen fonction de χB1Aλet en d´eduire que χA,B est une fonction polynomiale
dont on pr´ecisera le degr´e.
II.1.b. On suppose dans cette question que n2. Donner un exemple de couple
A, B MnK2pour lequel χA,B est la fonction nulle alors que ni Ani Bn’est
la matrice nulle.
II.1.c. Montrer que χA,B est une fonction polynomiale de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
II.2.
II.2.a. Montrer que :
A, B A , B P GLnK, Q GLnKλK, A λB P A λB Q.
II.2.b. ´ Etablir que si A, B est ´equivalent `a A , B , alors il existe αK, non nul, tel
que χA,B α χ A ,B , puis que Sp A, B Sp A , B .
II.3. On suppose dans cette question que A, B est r´egulier.
II.3.a. Montrer que :
λK0, χ A,B λ λ nχB,A
1
λ.
II.3.b. Montrer que B, A est r´egulier.
II.3.c. On suppose dans cette question que ret ssont deux entiers tels que 1 r s n
et ar, ar1, . . . , asdes ´el´ements de Ktels que ar0 et as0. On suppose ´egalement
que χB,A s’´ecrit sous la forme :
λK, χ B,A λ
s
k r
akλk.
Montrer que 0 est racine de χB,A d’ordre de multiplicit´e ret que χA,B est de degr´e
nr.
II.3.d. Montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes :
i) Best inversible ;
ii) χA,B est de degr´e n;
iii) 0 Sp B, A .
II.4. On suppose dans cette question que Best inversible. Montrer que si B1Aest
diagonalisable, alors A, B est diagonalisable.
3/6 Tournez la page S.V.P.

D´efinitions 3 : Soit M
SnR, c’est-`a-dire que Mest une matrice sym´etrique r´eelle.
On confondra toute matrice Aade M1Ravec le r´eel a.
On dit que Mest positive si : XMn,1R,t XMX 0.
On dit que Mest d´efinie-positive si Mest positive et inversible.
Partie III : DIAGONALISABILIT´ E DANS LE CAS SYM´ ETRIQUE
III.1.
III.1.a. Montrer que pour Mmi,j 1i,j n MnR,X xi1i n Mn,1Ret
Yyi1i n Mn,1R, alors t
XMY
1i,j n
mi,j xiyj.
III.1.b. En d´eduire que pour XMn,1Rnon nul, t
XX 0.
III.1.c. Montrer que, pour MSnR, les propositions suivantes sont ´equivalentes :
i) Mest d´efinie-positive ;
ii) Sp MR;
iii) il existe POnRet DDnRtelles que M P D t
P;
iv) il existe LGLnRtelle que Mt
LL.
Dans le cas o`u Mest d´efinie-positive, on pose : X, Y Mn,1R2,X, Y Mt
XMY.
III.2. Montrer que si Mest d´efinie-positive, l’application X, Y X, Y Mest un produit
scalaire sur Mn,1R.
III.3. On suppose dans cette question que A, B SnR2avec Bd´efinie-positive. On
suppose alors que Lest une matrice de GLnRtelle que Bt
LL et on d´efinit, par III.2, un
produit scalaire sur Mn,1R, not´e ,B.
III.3.a. Trouver une matrice CSnRtelle que, pour tout λRet XMn,1R,
AX λBX CZ λZ o`u on a pos´e Z LX.
III.3.b. Montrer qu’il existe une base Be1, . . . , ende Mn,1Rqui soit orthonormale
pour le produit scalaire ,Inet telle que, pour tout i1, n , il existe λiRv´erifiant :
Ceiλiei.
III.3.c. Montrer qu’il existe une base Be1, . . . , ende Mn,1Rqui soit orthonormale
pour le produit scalaire ,Bet telle que, pour tout i1, n ,AeiλiBei.
III.3.d. En d´eduire que le couple A, B est diagonalisable.
III.4. On suppose dans toute la fin de la partie III que le couple A, B est r´egulier et que A
et Bsont toutes les deux sym´etriques r´eelles positives.
III.4.a. Montrer l’existence de λ0Rtel que A λ0Bsoit une matrice sym´etrique
r´eelle d´efinie-positive.
III.4.b. En d´eduire que le couple A, B est diagonalisable.
4/6

D´efinitions 4 : Soit A, B MnK2un couple r´egulier.
Pour λSp A, B , on note mλA, B l’ordre de multiplicit´e de λen tant que racine de
χA,B .
Si Best inversible, on note Sp A, B Sp A, B ,m A, B 0 et E A, B 0 .
Si Bn’est pas inversible, on note Sp A, B Sp A, B ,m A, B m0B, A
l’ordre de multiplicit´e de 0 en tant que racine de χB,A et E A, B E0B, A .
On cherche un crit`ere de diagonalisabilit´e de A, B faisant intervenir dim EλA, B .
On dit que A, B v´erifie la propri´et´e Hsi :
λSp A, B , dim EλA, B mλA, B .
Partie IV : UN CRIT` ERE DE DIAGONALISABILIT´ E
Dans toute cette partie, on suppose que KC. Soit A, B MnC2un couple r´egulier.
Il existe donc λ0Ctel que A λ0Bsoit inversible.
Dans toute la suite de la partie IV, on suppose pour simplifier les notations que λ00
si bien que Aest inversible.
On note dle degr´e de χA,B et C A 1B.
Dans les questions suivantes, on pourra ˆetre amen´e `a distinguer le cas o`u Best inversible du
cas o`u Bn’est pas inversible.
IV.1.
IV.1.a. Montrer que E0C E0B, A E A, B .
IV.1.b. Montrer que si λC, alors EλC E1λA, B .
IV.1.c. Soient λ1, . . . , λkdes ´el´ements dinstincts de C. Justifier que si
Sp C λ1, . . . , λk, alors Sp A, B 1
λ1, . . . , 1 λko`u on a pos´e 1 0.
IV.2. V´erifier que mA, B n d, puis que :
λSp A,B
mλA, B n.
IV.3. On suppose dans toute la suite de la partie que A, B v´erifie la propri´et´e H.
IV.3.a. Montrer que
λSp A,B
dim EλA, B n.
IV.3.b. Montrer que Cest diagonalisable.
IV.3.c. ´ Etablir que le couple A, B est diagonalisable.
5/6 Tournez la page S.V.P.