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CCP Maths 1 PC 2012 — Énoncé 1/6
SESSION 2012 PCM1002
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
____________________
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
___________________________________________________________________________________
Lescalculatrices sontinterdites
L’objectif duprobl`emeestded´efiniret d’´etudier lanotiondediagonalisabilit´ed’uncouple
dematrices
A, Bdansplusieurs situations.
Les parties Iet Vtraitentchacuneuncasparticulier,respectivementen dimension3et 4.La
partieII abordele caso`uBestinversibleet la partieIV´etudieuncrit`eredediagonalisabilit´e.
La partieIII ser´eduit`a l’´etudeducasd’uncoupledematrices sym´etriques r´eelles.
La partieIestind´ependantedes quatreautres parties.Les parties III,IVet Vsont,pourune
grandepart, ind´ependantes les unes des autres.
Ilestdemand´e,lorsqu’unraisonnement utiliseunr´esultatobtenu pr´ec´edemment
dans leprobl`eme,d’indiquerpr´ecis´ement lenum´ero delaquestionutilis´ee.
Notationsetd´efinitions
Soientnetpdeuxentiersnaturelsnon nuls,Kl’ensembleRou CetHunepartiedeK.
NotonsMn,pKl’espacevectorieldesmatrices`a nlignesetpcolonnes`a coefficientsdansK,
MnKl’espacevectorieldesmatricescarr´eesd’ordren`a coefficientsdansK,
SnKl’espacevectorieldesmatricesdeMnKquisontsym´etriques,
DnHl’ensembledesmatricesdiagonalesdeMnK`a coefficientsdiagonauxdansH,
GLnKl’ensembledesmatricesdeMnKquisontinversibles,
OnRl’ensembledesmatricesdeMnRquisontorthogonales,
Inlamatrice identit´ed’ordren.
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CCP Maths 1 PC 2012 — Énoncé 2/6
D´efinitions1:SoientA, BMnK2etλK.
On noteEλA, Bl’ensembledesmatrices-colonnesXMn,1KtellesqueAX λBX.
On ditqueλestvaleurpropredu coupleA, BsiEλA, Bn’estpas r´eduit`a 0 ,
c’est-`a-diresiAλBn’estpas inversible.
On noteχA,Blafonction d´efiniesurKpar χA,BλdetAλBetSp A, Bl’ensemble
desvaleurspropresdu coupleA, B,c’est-`a-direl’ensembledes´el´ementsλKtelsque
χA,Bλ0.
Dansle cas particuliero`uBIn,on remarqueraque cesd´efinitionscorrespondentaux notions
devaleurpropre,d’espacepropre etdepolynˆome caract´eristiquedeA.
Ainsi, EλA, InetχA,Insontnot´esplus simplementEλAetχA.
PartieI:DIAGONALISABILIT´ EDANS UNCASPARTICULIER
SoitA
3 1 1
2 1 0
0 0 1
,B
0 0 0
4 2 0
0 0 2
,C
4 2 2
12 6 4
0 0 2
etD
000
020
002
.
On noteaussiFu1,u2,u3pouru1
1
2
0
,u2
1
0
3
etu3
0
1
1
.
I.1.
I.1.a. MontrerqueBn’estpas inversible.
I.1.b.MontrerqueAestinversible.
I.1.c.V´erifierqueCA1B.
I.2.
I.2.a. MontrerqueχA,Bλ2λ12.
I.2.b.En d´eduireSp A, B.
I.2.c.D´eterminerunebasedeE1 2 A, Beten d´eduirequedimE1 2 A, B2.
I.3.
I.3.a. CalculerχB,Aλeten d´eduirequeSp B,A0,2.
I.3.b.´ Etablirlesidentit´es suivantes:
E0B,AVectu1E0CetE2B,AE1 2 A, BVectu2,u3E2C.
I.3.c.En d´eduirequedimE0B,AdimE2B,A3.
I.4.
I.4.a. MontrerqueFestunebasedeM3,1Rform´ee devecteurspropresdeC.
I.4.b.D´eterminerexplicitementunematrice RGL3RtellequeCRDR1.
I.4.c.MontrerqueBARDR1.
I.4.d.Justifierqu’il existePGL3RetQGL3RtellesqueAPI3QetBPDQ.
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CCP Maths 1 PC 2012 — Énoncé 3/6
D´efinitions2:SoitA, B,A,BMnK4.
On ditquele coupleA, Bestr´eguliers’il existeλKtelqueχA,Bλ0.
On ditquele coupleA, Best´equivalentau coupleA,Beton noteA, BA,B
si :
PGLnK,QGLnKAPAQetBPBQ.
On ditquele coupleA, Bestdiagonalisablesi :
DDnK,DDnKA, BD,D.
PartieII :R´ EGULARIT´ E ETDIAGONALISABILIT´ E
II.1. SoitA, BMnK2.
II.1.a. Onsupposedanscettequestion queBestinversible.PourλK,exprimer
χA,Bλenfonction deχB1Aλeten d´eduirequeχA,Bestunefonction polynomiale
donton pr´eciseraledegr´e.
II.1.b.Onsupposedanscettequestion quen2. Donnerun exemplede couple
A, BMnK2pourlequelχA,Bestlafonction nullealorsqueniAniBn’est
lamatrice nulle.
II.1.c.MontrerqueχA,Bestunefonction polynomialededegr´einf´erieurou ´egal `a n.
II.2.
II.2.a. Montrerque:
A, BA,BPGLnK,QGLnKλK,AλBPAλBQ.
II.2.b.´ EtablirquesiA, Best´equivalent`a A,B,alorsil existeαK,non nul, tel
queχA,BαχA,B,puisqueSp A, BSp A,B.
II.3. Onsupposedanscettequestion queA, Bestr´egulier.
II.3.a. Montrerque:
λK0,χA,Bλ λ nχB,A
1
λ.
II.3.b.MontrerqueB,Aestr´egulier.
II.3.c.Onsupposedanscettequestion queretssontdeuxentierstelsque1rsn
etar,ar1, . . . , asdes´el´ementsdeKtelsquear0etas0. Onsuppose´egalement
queχB,As’´ecritsouslaforme:
λK,χB,Aλ
s
kr
akλk.
Montrerque0estracinedeχB,Ad’ordredemultiplicit´eretqueχA,Bestdedegr´e
nr.
II.3.d.Montrerquelespropositions suivantes sont´equivalentes:
i)Bestinversible;
ii)χA,Bestdedegr´en;
iii)0Sp B,A.
II.4. Onsupposedanscettequestion queBestinversible.MontrerquesiB1Aest
diagonalisable,alorsA, Bestdiagonalisable.
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CCP Maths 1 PC 2012 — Énoncé 4/6
D´efinitions3:SoitMSnR,c’est-`a-direqueMestunematrice sym´etriquer´eelle.
Onconfondratoutematrice AadeM1Ravec ler´eela.
On ditqueMestpositivesi : XMn,1R,t XMX0.
On ditqueMestd´efinie-positivesiMestpositive etinversible.
PartieIII :DIAGONALISABILIT´ EDANS LECAS SYM´ ETRIQUE
III.1.
III.1.a. MontrerquepourMmi,j1i,jnMnR,Xxi1inMn,1Ret
Yyi1inMn,1R,alorst
XMY
1i,jn
mi,jxiyj.
III.1.b.En d´eduirequepourXMn,1Rnon nul, t
XX 0.
III.1.c.Montrerque,pourMSnR, lespropositions suivantes sont´equivalentes:
i)Mestd´efinie-positive;
ii)Sp MR;
iii)il existePOnRetDDnRtellesqueMPDt P;
iv)il existeLGLnRtellequeMt
LL.
Dansle cas o`uMestd´efinie-positive,on pose:X,YMn,1R2,X,YMt
XMY.
III.2. MontrerquesiMestd´efinie-positive, l’application X,YX,YMestun produit
scalairesurMn,1R.
III.3. Onsupposedanscettequestion queA, BSnR2avec Bd´efinie-positive.On
supposealorsqueLestunematrice deGLnRtellequeBt
LL eton d´efinit,par III.2, un
produitscalairesurMn,1R,not´e,B.
III.3.a. Trouverunematrice CSnRtelleque,pourtoutλRetXMn,1R,
AX λBXCZλZo`uon apos´eZLX.
III.3.b.Montrerqu’il existeunebaseBe1, . . . , endeMn,1Rquisoitorthonormale
pourleproduitscalaire,Inet telleque,pourtouti1,n, il existeλiRv´erifiant:
Ceiλiei.
III.3.c.Montrerqu’il existeunebaseBe1, . . . , endeMn,1Rquisoitorthonormale
pourleproduitscalaire,Bet telleque,pourtouti1,n,AeiλiBei.
III.3.d.En d´eduirequele coupleA, Bestdiagonalisable.
III.4. Onsupposedanstoutelafin delapartieIII quele coupleA, Bestr´egulieretqueA
etBsont touteslesdeuxsym´etriquesr´eellespositives.
III.4.a. Montrerl’existence deλ0RtelqueAλ0Bsoitunematrice sym´etrique
r´eelled´efinie-positive.
III.4.b.En d´eduirequele coupleA, Bestdiagonalisable.
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CCP Maths 1 PC 2012 — Énoncé 5/6
D´efinitions4:SoitA, BMnK2un coupler´egulier.
PourλSp A, B,on notemλA, Bl’ordredemultiplicit´edeλentantqueracinede
χA,B.
SiBestinversible,on noteSp A, BSp A, B,mA, B0etEA, B0.
SiBn’estpas inversible,on noteSp A, BSp A, B,mA, Bm0B,A
l’ordredemultiplicit´ede0entantqueracinedeχB,AetEA, BE0B,A.
Onchercheun crit`eredediagonalisabilit´edeA, BfaisantintervenirdimEλA, B.
On ditqueA, Bv´erifielapropri´et´eHsi :
λSp A, B,dimEλA, BmλA, B.
PartieIV:UNCRIT` EREDEDIAGONALISABILIT´ E
Danstoute cettepartie,on supposequeKC.SoitA, BMnC2un coupler´egulier.
Ilexistedoncλ0CtelqueAλ0Bsoitinversible.
DanstoutelasuitedelapartieIV, on supposepoursimplifierlesnotationsqueλ00
sibienqueAestinversible.
On notedledegr´edeχA,BetCA1B.
Danslesquestions suivantes,on pourra ˆetreamen´e`a distinguerle cas o`uBestinversibledu
cas o`uBn’estpas inversible.
IV.1.
IV.1.a. MontrerqueE0CE0B,AEA, B.
IV.1.b.MontrerquesiλC,alorsEλCE1λA, B.
IV.1.c.Soientλ1, . . . , λkdes´el´ementsdinstinctsdeC.Justifierquesi
Sp Cλ1, . . . , λk,alorsSp A, B1
λ1, . . . , 1 λko`uon apos´e1 0.
IV.2. V´erifierquemA, Bnd,puisque:
λSp A,B
mλA, Bn.
IV.3. OnsupposedanstoutelasuitedelapartiequeA, Bv´erifielapropri´et´eH.
IV.3.a. Montrerque
λSp A,B
dimEλA, Bn.
IV.3.b.MontrerqueCestdiagonalisable.
IV.3.c.´ Etablirquele coupleA, Bestdiagonalisable.
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