Eléments d`arithmétique dans l`ensemble des naturels
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Ch 1 : éléments d’arithmétique – exercices JA Exercices : Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des naturels 1. Ecrire chaque fraction sous la forme de fraction irréductible. a 310 216 b 96 352 c 75 105 2. Déterminer le PGCD (18 ; 30) Déterminer la liste des diviseurs de 18 ; de 30 Donner le nombre de diviseurs de 18 ; de 30 3. Un grossiste en fleurs a reçu un lot de 7200 roses et 10800 tulipes. Il veut réaliser des bouquets tous identiques composés de roses et de tulipes en utilisant toutes les fleurs. Quel nombre minimal de tels bouquets peut-il composer ? 4. 15 est un diviseur de l’entier a Dans chacun des cas suivants, déterminer si 15 est aussi un diviseur de l’entier b. Justifier b= a + 45 ; b= a + 38 ; b= a + 135 5. Dans le tableau final du spectacle de danse, tous les danseurs étaient en piste. Lorsqu’ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul ; lorsqu’ils se regroupaient par 3 il en restait 2 ; par 4, il en restait 3 ; par 5, il en restait 4. Les danseurs étaient moins de 100. Combien y en avait-il ? 6. a) Vérifier que le nombre 358358 est divisible par 13. On appelle a le quotient. b) vérifier que a est divisible par 11. On appelle b le quotient. c) vérifier que b est divisible par 7 . Quel est le quotient ? d) reprendre les questions précédentes avec/ 731731 ; 824824. e) expliquer 7. Sans déterminer les diviseurs de chacun des nombres, prouver que les nombres 25127 et 25131 n’ont pas de diviseur commun autre que 1. 8. Trouver un nombre entier compris entre 3100 et 3200 qui est à la fois divisible par 3, par 4, par 5 (2 solutions) 9. A 12h 15 min, on voit apparaître simultanément deux signaux lumineux : un bleu, un rouge. Le signal bleu se reproduit régulièrement de 16 min en 16 min. Le signal rouge se reproduit régulièrement de 36 min en 36 min. A quelles heures les deux signaux réapparaissent simultanément ? 10. Sans calculatrice, prouver que : 6 est un diviseur de 1248 25 est un diviseur de 7525 11 est un diviseur de 396 11. on donne deux entiers a et b et on pose la division euclidienne a = b x q + r a) prouver que tout diviseur commun à a et b divise r b) prouver que tout diviseur commun à b et r divise a c) en déduire que les couples (a,b) et (b,r) ont le même PGCD 12. Prouver que si l’un des deux nombres 2 n 1 et 2 n 1 est divisible par 3, l’autre ne l’est pas. 13. On cherche un nombre tel que si l’on transfère son premier chiffre à la fin, le nombre obtenu est le quintuple du premier. Prouver que le premier chiffre d’un tel nombre ne peut être que 1. Conclure. Correction : Ch 1 : éléments d’arithmétique – exercices 1. nous cherchons le PGCD des deux nombres. PGCD (310 ; 216) = 2 310 : 2 155 D’où 216 : 2 108 JA PGCD (75 ; 105) = 15 75 : 15 5 d’où 105 : 15 7 PGCD (96 ; 352) = 32 96 : 32 3 D’où 352 : 32 11 2. PGCD (18 ; 30) = 6 18 2 x 3 2 Car : 30 2 x 3 x 5 PGCD 2 x 3 6 Diviseurs de 18 : 1 ; 2 : 3 : 6 ; 9 ; 18 car 1x18 = 2x9 = 3x6 Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 car 1x30 = 2x15 = 3x10 = 5x6 Nombres de diviseurs de 18 : 1x2x3 = 6 Nombres de diviseurs de 30 : 1x2x2x2= 8 Ou bien : Pour n a x x b y x c z x d t le nombre de diviseur est : (x+1)(y+1)(z+1)(t+1) Ici 30 2 1 x 3 1 x 5 1 donc le nb de diviseurs est : (1+1)(1+1)(1+1) = 2x2x2 = 8 3. Pour obtenir le nombre de bouquets tous identiques, on cherche le PGCD (7200 ; 10800) 10800 = 7200 x 1 + 3600 7200 = 3600 x 2 + 0 Donc PGCD (10800 ; 7200) = 3600 On peut donc composer 3600 bouquets de 2 roses et 3 tulipes. 4. a) b) c) 15 est diviseur de a 15 est diviseur de 45 car 15 x 3 = 45 Donc 15 est diviseur de la somme a + 45 et donc b 15 est diviseur de a 15 n’est pas diviseur de 38 Donc 15 n’est pas diviseur de la somme a + 38 15 est diviseur de a 15 est diviseur de 135 = 9 x 15 Donc 15 est diviseur de la somme a + 135 5. Par 2 il en reste 1 donc n = 2k + 1 donc n est un nombre impair compris entre 1 et 100. Par 5, il en reste 4 ; ce sont donc des nombres qui se terminent par 4 ou 9 mais comme ils sont impairs ils se terminent par 9. Les possibilités sont donc : 9 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 - 99 Par 3, il en reste 2 ; ce ne sont pas des multiples de 3 donc il reste : 19 – 29 – 49 – 59 – 79 – 89 Par 4, il reste 3. Aux nombres précédents, on retire 3 et on garde les multiples de 4. 19 – 59 – 79 Par 3 il reste 2 soit 19 – 2= 17 ; 59 – 2 = 57 (multiple de 3) ; 79 – 2 = 77 Le nombre est donc 59 Vérification : 59 = 2 x 29 + 1 = 3 x 19 + 2 = 4 x 14 + 3 = 5 x 11 + 4 6. a) 358358 = 13 x 27566 donc a = 27566 b) 27566 = 11 x 2506 donc b = 2506 c) 2506 = 7 x 358 donc c = 358 Ch 1 : éléments d’arithmétique – exercices JA d) on trouve à la fin 731 et 824 e) 13 X 11 x 7 = 1001 or 358358 = 358 x 1000 + 358 = 358 ( 1000 + 1) = 358 x 1001 Donc 358358 : 1001 = 358 De même 731731 = 731 x 1000 + 731 = 731 x 1001 824824 = 824 x 1000 + 824 = 824 x 1001 x 1000 Si x 1001 donc si on le divise par 1001 on retrouve : 7. Tout diviseur commun à 25127 et 25131 diviserait leur différence 4. Or les diviseurs de 4 sont 1 ; 2 ; 4 2 et 4 ne sont pas diviseurs de ces nombres donc il n’y a que 1 8. Les nombres divisibles par 5 se terminent par 0 et 5 Mais les nombres qui se terminent par 5 ne sont pas divisibles par 4. Donc les nombres se terminent par 0. 3120 est divisible par 3 donc les nombres qui se terminent par 0 et qui sont divisibles par 3 sont : 3120 – 3150 – 3180 Seul 3180 et 3120 sont divisibles par 4 9. On cherche le PPCM de 16 et 36 16 2 4 36 2 2 x 3 2 donc PPCM(16; 36) 2 4 x 3 2 144 Les signaux réapparaissent simultanément toutes les 144 minutes = 2h 24 min Soit à 12h 15 + 2h 24 = 14h 39 min etc… 10. 1248 = 1200 + 48 6 est un diviseur de 1200 et de 48 donc de la somme. 7525 = 7500 + 25 25 est un diviseur de 7500 et de 25 donc de la somme. 396 ; 3+6 = 9 règle de divisibilité par 11 11. a) si il existe des entiers tel que a = a’m et b = b’m Alors a – bq = (a’ – b’q) m = r Et r est bien divisible par m (le quotient est a’ – b’ q) b) si il existe des entiers tels que r = r’m et b = b’m alors a = bq + r = b’qm+ r’m = (b’q + r’) m et a est bien divisible par m (le quotient est b’q + r’) c) les ensembles de diviseurs communs aux couples (a,b) et (b,r) étant identiques, le plus grand terme de ces ensembles est commun, autrement dit, ces couples ont le même PGCD. 12. On a trois entiers consécutifs : 2 n 1 ; 2 n ; 2 n 1 donc 2 n 1 2 n 2 n 1 3 x 2 n De trois entiers consécutifs, un seul est divisible par 3 13. Notre nombre et son quintuple ont le même nombre de chiffres, donc son premier chiffre ne peut être que 1, en effet : 1a si on multiplie par 5 => 2 chiffres 2a si on multiplie par 5 => 3 chiffres Ch 1 : éléments d’arithmétique – exercices JA Mais, si on le transfère à la fin, on obtient un nombre terminé par 1 qui n’est pas un multiple de cinq. On ne peut donc pas trouver de tel nombre.
