Ch 1 : éléments d’arithmétique – exercices JA
Exercices : Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des
naturels
1. Ecrire chaque fraction sous la forme de fraction irréductible.
105
75
c
352
96
b
216
310 a
2. Déterminer le PGCD (18 ; 30)
Déterminer la liste des diviseurs de 18 ; de 30
Donner le nombre de diviseurs de 18 ; de 30
3. Un grossiste en fleurs a reçu un lot de 7200 roses et 10800 tulipes. Il veut réaliser des
bouquets tous identiques composés de roses et de tulipes en utilisant toutes les fleurs.
Quel nombre minimal de tels bouquets peut-il composer ?
4. 15 est un diviseur de l’entier a
Dans chacun des cas suivants, déterminer si 15 est aussi un diviseur de l’entier b. Justifier
b= a + 45 ; b= a + 38 ; b= a + 135
5. Dans le tableau final du spectacle de danse, tous les danseurs étaient en piste.
Lorsqu’ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul ; lorsqu’ils se regroupaient par 3 il en
restait 2 ; par 4, il en restait 3 ; par 5, il en restait 4. Les danseurs étaient moins de 100.
Combien y en avait-il ?
6. a) Vérifier que le nombre 358358 est divisible par 13. On appelle a le quotient.
b) vérifier que a est divisible par 11. On appelle b le quotient.
c) vérifier que b est divisible par 7 . Quel est le quotient ?
d) reprendre les questions précédentes avec/ 731731 ; 824824.
e) expliquer
7. Sans déterminer les diviseurs de chacun des nombres, prouver que les nombres 25127 et
25131 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
8. Trouver un nombre entier compris entre 3100 et 3200 qui est à la fois divisible par 3, par 4, par
5 (2 solutions)
9. A 12h 15 min, on voit apparaître simultanément deux signaux lumineux : un bleu, un rouge. Le
signal bleu se reproduit régulièrement de 16 min en 16 min. Le signal rouge se reproduit
régulièrement de 36 min en 36 min.
A quelles heures les deux signaux réapparaissent simultanément ?
10. Sans calculatrice, prouver que :
6 est un diviseur de 1248
25 est un diviseur de 7525
11 est un diviseur de 396
11. on donne deux entiers a et b et on pose la division euclidienne a = b x q + r
a) prouver que tout diviseur commun à a et b divise r
b) prouver que tout diviseur commun à b et r divise a
c) en déduire que les couples (a,b) et (b,r) ont le même PGCD
12. Prouver que si l’un des deux nombres
est divisible par 3, l’autre ne l’est pas.
13. On cherche un nombre tel que si l’on transfère son premier chiffre à la fin, le nombre obtenu
est le quintuple du premier.
Prouver que le premier chiffre d’un tel nombre ne peut être que 1.
Conclure.
Correction :