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CHAPITRE
18
Second degré
3
A Le programme
Contenus Capacités attendues Commentaires
Fonction polynôme de degré
deux.
Équation du second degré,
discriminant.
Signe du trinôme.
 Résoudre une équation ou une
inéquation du second degré.
 Mobiliser les résultats sur le
second degré dans le cadre de la
résolution d’un problème.
On évitera toute technicité excessive.
Il s’agit de consolider et d’étendre les
connaissances acquises en Seconde
sur les fonctions du second degré.
La mise sous forme canonique n’est
pas un attendu du programme.
 Des activités algorithmiques peuvent
être réalisées dans ce cadre.
B Notre point de vue
Les élèves ont appris, depuis la classe de Troisième, à factoriser certaines expressions, à résoudre des
« équations produits » et à étudier le signe d’un produit de facteurs du premier degré.
Néanmoins, il nous a paru important d’avoir une approche graphique et non algébrique de la résolution
d’une équation ou d’une inéquation du second degré.
En classe de Seconde, la notion de fonction polynôme du second degré a été abordée. Les élèves savent
que la courbe représentative d’une telle fonction est une parabole.
L’activité 1 permet de bien visualiser qu’une parabole peut être « tournée vers le haut » ou « tournée
vers le bas », et de conjecturer que cela dépend du signe de a (coecient de x2).
Les activités 2 et 3 permettent de visualiser, selon le signe de a et celui du discriminant, l’allure de la
parabole et sa position par rapport à l’axe des abscisses.
Dans le cours, nous nous appuyons sur cette approche graphique, pour justier qu’une équation du
second degré a deux, une ou aucune solution(s) et pour déterminer, dans les diérents cas, le signe de
ax 2 + bx + c selon les valeurs de x.
Les formules du discriminant et des solutions éventuelles d’une équation du second degré sont admises et
conformément à l’esprit du programme, nous n’avons mentionné ni la forme canonique, ni l’expression
de la forme factorisée d’un polynôme du second degré.
Les exercices proposés sont progressifs, allant de la reconnaissance d’un polynôme du second degré et
l’identication de ses coecients, à des problèmes plus diciles, où les résultats du cours ne sont qu’un
outil permettant de calculer une quantité à produire, un pourcentage, une vitesse… An de ne pas
anticiper sur le chapitre 5, consacré à l’étude des fonctions polynômes du second degré, nous n’avons
pas proposé d’exercices d’optimisation.
Nous avons veillé à proposer des exercices nécessitant, pour certains, l’utilisation de la calculatrice,
pour d’autres, celle d’un tableur. Par exemple, dans le TP1, l’utilisation d’un tableur permet de faire
une conjecture sur les quantités à produire et à vendre pour réaliser un bénéce, conjecture que l’on
démontre ensuite.

19
Chapitre 3 Second degré
Ce chapitre se prête également à l’élaboration d’algorithmes. Le programme permettant de calculer
et d’acher la valeur du discriminant et celui permettant de résoudre une équation du second degré
(TP2) nous paraissent particulièrement utiles pour les élèves.
Les notions abordées dans le chapitre 3
• Résolution d’une équation du second degré
• Signe d’un polynôme du second degré
C Avant de commencer
Voir livre page 219.
Les corrigés détaillés sont disponibles sur le site www.bordas-indice.fr.
D Activités
Activité
1
Une parabole « tournée vers
le haut ou vers le bas »
Cette activité a pour objectif d’amener les élèves à faire
une conjecture sur le lien entre le signe de a et « l’allure » de
la parabole représentant f, avec f une fonction polynôme
du second degré.
1. Pour Y1 : a = 0,5. Pour Y2 : a = 1.
Pour Y3 : a = 2. Pour Y4 : a = 3.
2. Sur l’écran ci-dessous, X varie de –5 à 15 et Y varie
de –10 à 25.
On remarque que les paraboles sont « tournées vers
le bas ».
3. On peut conjecturer que lorsque a > 0, les paraboles
sont « tournées vers le haut » et lorsque a < 0, elles sont
« tournées vers le bas ».
4. Pour g(x) : a = 0,5. On obtient a > 0, donc la parabole
représentant g est « tournée vers le haut » : il s’agit de
.
Pour h(x) : a = –0,5. On obtient a < 0, donc la parabole
représentant h est « tournée vers le bas » : il s’agit de .
Activité
2
Zéro, une ou deux solutions ?
Cette activité a pour objectif d’introduire le discriminant
d’une fonction polynôme f du second degré et d’amener
les élèves à faire une conjecture sur le lien entre le signe de
b2 – 4ac et le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0,
c’est-à-dire le nombre de points d’intersection de la
parabole représentant f avec l’axe des abscisses.
Fichier associé sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_activite2.ggb (GeoGebra).
1. L’équation f(x) = 0 a deux solutions, car la courbe
représentative de f coupe deux fois l’axe des abscisses.
2. Ouvrir le fichier 03_1STMG_activite2.ggb.
Sélectionner le mode Déplacer, cliquer gauche sur
chacun des curseurs pour les positionner sur les
différentes valeurs mises dans le tableau.
a b c f (x)b2 – 4ac Nombre
de solutions
1–4 1x2 – 4x + 1 12 2 solutions
121x2 + 2x + 1 0 1 solution
5215x2 + 2x + 1 –16 0 solution
5–4 –2 5x2 – 4x – 2 56 2 solutions
5–4 15x2 – 4x + 1 –4 0 solution
4–4 14x2 – 4x + 1 0 1 solution
4214x2 + 2x + 1 –12 0 solution
2 2 –1 2x2 + 2x – 1 12 2 solutions

20
3. On conjecture que :
si b2 – 4ac > 0, l’équation f(x) = 0 a deux solutions ;
si b2 – 4ac = 0, l’équation f(x) = 0 a une solution ;
si b2 – 4ac < 0, l’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.
Activité
3
D’une parabole
au tableau de signes
Cette activité a pour objectif d’amener les élèves à bien
visualiser que la position de la parabole par rapport à
l’axe des abscisses dépend du signe de a et de celui du
discriminant.
Dans la première question, a > 0. En faisant varier a, la figure
s’anime. On observe alors différentes paraboles, toutes
« tournées vers le haut », qui coupent l’axe des abscisses,
ou qui sont au-dessus. On en déduit les trois tableaux de
signes possibles de f(x) lorsque a est strictement positif.
Dans la deuxième question, a < 0. On anime de même
la figure, les paraboles étant cette fois, toutes « tournées
vers les bas » et on en déduit les trois tableaux de signes
possibles de f (x) lorsque a est strictement négatif.
Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_activite3.ggb et
03_1STMG_activite3bis.ggb (GeoGebra).
1. a. Pour déterminer le signe de f(x) selon les valeurs
de x, on regarde pour quelles valeurs de x, la courbe
est au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses.
b. Ouvrir le fichier 03_1STMG_activite3.ggb.
Sélectionner le mode Déplacer, cliquer gauche sur le
curseur pour le positionner sur les différentes valeurs
mises dans le tableau.
aDSigne de f(x)
1 12 x–∞x1x2
+∞
f(x)+0–0+
2 8 x–∞x1x2
+∞
f(x)+0–0+
4 0 x–∞x1+∞
f(x)+0+
6–8 x–∞+∞
f(x)+
c. Lorsque a > 0 :
Si D > 0
x–∞x1x2+∞
f(x)+0–0+
Si D = 0
x–∞x1+∞
f(x)+0+
Si D < 0
x–∞+∞
f(x)+
2. Ouvrir le fichier 03_1STMG_activite3bis.ggb.
Sélectionner le mode Déplacer, cliquer gauche sur le
curseur afin de lui faire prendre différentes valeurs
(de –1 à –8).
Lorsque a < 0 :
Si D > 0
x–∞x1x2+∞
f(x)– 0 +0 –
Si D = 0
x–∞x1+∞
f(x)– 0 –
Si D < 0
x–∞+∞
f(x)–
Activité
4
D’une factorisation
au tableau de signes
Dans cette activité, nous avons utilisé le logiciel Xcas pour
donner la forme factorisée de trois polynômes du second
degré. Comme le logiciel donne le résultat sous la forme
a(x – x1)(x – x2 ), les élèves peuvent avoir une approche
algébrique de l’étude du signe de ax2 + bx + c, et du rôle
du signe de a dans cette étude.
1. a. x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3).
b. 2x2 + 4x – 6 = 2(x – 1)(x + 3).
c. –3x2 – 6x + 9 = –3(x – 1)(x + 3).
2. P(x) = (x – 1)(x + 3)
x–∞–3 1+∞
x –1 – – 0+
x + 3 –0+ +
P(x)+0–0+
S(x) = 2(x – 1)(x + 3) = 2P(x)
x–∞–3 1+∞
S(x)+0–0+
T(x) = –3(x – 1)(x + 3) = –3P(x)
x–∞–3 1+∞
T(x)– 0 +0 –

21
Chapitre 3 Second degré
E Exercices
POUR DÉMARRER
1 Voir livre page 219.
2
g et k sont des fonctions polynômes du second
degré, f et h ne le sont pas.
3 Voir livre page 219.
4
a b c ax2 + bx + cD = b2 – 4ac
143 x2 + 4x + 3 4
3–2 13x2 – 2x + 1 –8
–2 1 3 –2x2 + x + 3 25
301 3x2 + 1 –12
210 2x2 + x1
5
ax2 + bx + ca b c D = b2 – 4ac
x2 + 3x +51 3 5 –11
–3x2 + x – 1 –3 1–1 –11
–x2 – 2x + 5 –1 –2 5 24
2x2 + 8x – 1 2 8 –1 72
2x2 – 7 2 0 –7 56
–3x2 + 2x–3 2 0 4
6 1. f(x) = x2 – 9x + 15.
a = 1, b = –9 et c = 15. D = 21.
2. f(x) = 3x2 – 7x + 5.
a = 3, b = –7 et c = 5. D = –11.
3. f(x) = 2x2 – 8x – 5.
a = 2, b = –8 et c = –5. D = 104.
4. f(x) = 2x2 + 0x – 7.
a = 2, b = 0 et c = –7. D = 56.
5. f(x) = –3x2 + x + 0.
a = –3, b = 1 et c = 0. D = 1.
6. f(x) = –2x2 + 7x + 3.
a = –2, b = 7 et c = 3. D = 73.
7 1. Le discriminant de f(x) est strictement positif.
2. Le discriminant de f(x) est strictement négatif.
8 Le discriminant est égal à 0.
9 L’équation 100x
2
– 7x – 11 = 0 a deux solutions
distinctes.
10 1. D = –31. L’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.
2. D = 96. L’équation f(x) = 0 a deux solutions distinctes.
3. D = 0. L’équation f(x) = 0 a une unique solution.
4. D = 9. L’équation f(x) = 0 a deux solutions distinctes.
5. D = –11. L’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.
6. D = 9. L’équation f(x) = 0 a deux solutions distinctes.
11 1.
Les solutions sont environ –3 et 2.
2.
Les solutions sont environ –1 et 3.
12 1. f(x) = 100 – 20x + x2.
La solution est environ 10.
2. f(x) = 2x2 – 3x + 4.
L’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.
13 1. D = 36. Les solutions sont 1 et –0,2.
2. x2 + 6x + 9 = 0 équivaut à (x + 3)2 = 0.
L’unique solution est –3.
14 1. D = –47. L’équation n’a pas de solution.
2. D = 16. Les solutions sont –5 et –1.

22
15 1. D = 16. Les solutions sont –1 et –0,2.
2. –4x2 + 12x – 9 = 0 équivaut à –(2x – 3)2 = 0.
L’unique solution est 1,5.
16 1. D = 25. Les solutions sont 1 et –4.
2. –x2 + 4x – 4 = 0 équivaut à –(x – 2)2 = 0.
L’unique solution est 2.
17 1. D = –7. L’équation n’a pas de solution.
2. x2 – 6x = 0 équivaut à x(x – 6) = 0.
Les solutions sont 0 et 6.
18 1. x2 – 9 = 0 équivaut à (x – 3)(x + 3) = 0.
Les solutions sont –3 et 3.
2. x2 – x = 0 équivaut à x(x – 1) = 0.
Les solutions sont 0 et 1.
19 Les solutions sont environ –1 et –4.
20 Voir livre page 219.
21 1.
x–∞–1 3+∞
f(x)+0 – 0 +
2.
x–∞+∞
g(x)–
22
x–∞–7 5
+∞
x2 + 2x – 35 +0 – 0 +
23
x–∞+∞
x2 + 2x + 11 +
24
x–∞–9 5
+∞
–6x2 – 24x + 270 +0+0 –
25
x–∞–1 +∞
–7x2 – 14x – 7 +0 –
26 1.
x–∞–3 2+∞
x – 2 – – 0 +
x + 3 – 0 + +
f(x)+0–0+
2.
x–∞0 5 +∞
2x– 0 + +
x – 5 – – 0 +
f(x)+0 – 0 +
3.
x–∞–1 7+∞
7 – x+ + 0 –
1 + x– 0 + +
f(x)– 0 +0 –
27 1. a = 1, b = –5 et c = 4.
D = 9. Les racines de f(x) sont 1 et 4.
x–∞1 4 +∞
f(x)+0 – 0 +
2. a = –1, b = –5 et c = 14.
D = 81. Les racines de f(x) sont 2 et –7.
x–∞–7 2+∞
f(x)– 0 +0 –
28 1. a = 1, b = –4 et c = 5.
D = –4. f(x) n’a pas de racine.
x–∞+∞
f(x)+
2. a = –1, b = 7 et c = –12.
D = 1. Les racines de f(x) sont 3 et 4.
x–∞3 4 +∞
f(x)– 0 +0 –
29 1. a = 9, b = –6 et c = 1.
D = 0. f(x) a une unique racine :
1
3
.
x–∞1
3
+∞
f(x)+0+
2. a = –1, b = 3 et c = –2.
D = 1. Les racines de f(x) sont 2 et 1.
x–∞1 2 +∞
f(x)– 0 +0 –
30 1. f(x) = 2x2 – x – 1.
x–∞–0,5 1 +∞
f(x)+0 – 0 +