cours mg2

Analyse réelle: cours de S2 licence de mathématiques
Par Emmanuel Royer, mis au propre par Langlois Florian
Année scolaire 2014-2015
Table des matières
1 Opérations sur les énoncés
1.1 Les opérations de bases . . . . . . . . .
1.1.1 La négation . . . . . . . . . . .
1.1.2 L’opération « ou » . . . . . . .
1.1.3 L’opération « et » . . . . . . . .
1.1.4 Négation de « ou » et de « et »
1.2 Les quantificateurs . . . . . . . . . . .
1.2.1 L’expression « pour tout » . . .
1.2.2 L’expresion « il existe » . . . . .
1.2.3 Négation de ∀ et de ∃ . . . . . .
1.3 Relations entre les énoncés . . . . . . .
1.3.1 Implication . . . . . . . . . . .
1.3.2 La contraposé d’une implication
1.3.3 Négation de l’implication . . . .
1.3.4 L’implication réciproque . . . .
1.3.5 Equivalence . . . . . . . . . . .
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4
4
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5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
8
2 Nombres rationnels et nombres réels
2.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Addition de deux rationnels . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Multiplication de deux rationnels . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Propriété de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√. . . . . . . . .
2.2.1 Les nombres irrationnels : Qu’est-ce que 2 ? . . . . . .
2.2.2 Les nombres irrationnels : Raisonnement par contraposé
2.2.3 Les nombres irrationnels : Raisonnement par l’absurde .
2.2.4 Les nombres irrationnels : Définition . . . . . . . . . . .
2.2.5 Infinité de l’ensemble des irrationnels . . . . . . . . . . .
2.2.6 L’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Densité de Q et de R − Q dans R . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Partie entière d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Ensemble des décimaux et approximation décimale . . .
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12
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3 Limite et continuité d’une fonction
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3.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Rappel : limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.1.2 Définition séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Défintion continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Continuité au bord d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Généralisation à des intervalles non forcément ouverts . . . .
3.2.2 Continuité des fonctions associées : opérations usuelles . . .
3.2.3 Continuité des fonctions associées : composition de fonctions
Limite finie en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Lien avec la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Limite réelle et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Opérations usuelles sur les limites . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Limite à gauche et limite à droite . . . . . . . . . . . . . . .
Limites en l’infini et limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Limites finie en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Limites finie en l’infini et bornes . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Limites infinies en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Limites infinies en l’infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Résumé des opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . .
Limites et comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Comparaisons des limites en un réel . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Comparaisons des limites en l’infini . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Théorème de l’encadrement (ou des gendarmes) . . . . . . .
3.5.4 Théorème de comparaison en l’infini . . . . . . . . . . . . .
Continuité et intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Théorèmes des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Image d’un intervalle par une fonction continue . . . . . . .
3.6.3 Intervalle et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Fonction injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Lien entre monotonie et injectivité . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Fonction surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.5 Fonction bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.6 Bijection et fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.7 Arcsinus : la réciproque de la fonction sinus . . . . . . . . .
3.7.8 Arccosinus : la réciproque de la fonction cosinus . . . . . . .
4 Dérivabilité
4.1 Dérivée d’une fonction . . . . . . . . .
4.1.1 Définition usuelle . . . . . . . .
4.1.2 Dérivabilité et continuité . . . .
4.1.3 Nouvelle définition . . . . . . .
4.1.4 Interprétation géométrique . . .
4.1.5 Dérivabilité à gauche et à droite
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35
35
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4.2
4.3
4.4
Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Dérivée des puissances . . . . . . . . . . .
4.2.7 Dérivée des fonctions réciproques . . . . .
4.2.8 La dérivée de Arcsinus et de Arccosinus . .
Utilisation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Théorème des accroissements finis . . . . .
4.3.4 Inégalité des accroissements finis . . . . .
4.3.5 Fonction k-lipschitzienne . . . . . . . . . .
4.3.6 Limite finie de la dérivée en un réel . . . .
4.3.7 Constance et dérivée . . . . . . . . . . . .
4.3.8 Croissance et dérivée . . . . . . . . . . . .
4.3.9 Décroissance et dérivée . . . . . . . . . . .
4.3.10 Stricte croissance et dérivée . . . . . . . .
4.3.11 Stricte décroissance et dérivée . . . . . . .
Classe de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Dérivée n-ième . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Fonction de classe C k . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Fonction de classe C ∞ . . . . . . . . . . .
4.4.5 Opérations sur les classes . . . . . . . . . .
4.4.6 Limite finie en un réel des dérivées n-ième
3
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41
41
42
42
42
43
43
43
43
43
44
44
44
44
45
Chapitre 1
Opérations sur les énoncés
1.1
1.1.1
Les opérations de bases
La négation
• Si P est un énoncé, il est soit vrai, soit faux.
• La négation de P , notée non(P ), est fausse quand P est vrai et vraie quand P est faux.
• Exemple :
127
127
La négation de l’énoncé " 13 127−13 est un entier" est l’énoncé " 13 127−13 n’est pas un entier".
• Nous pouvons dresser la table de vérité de l’opérateur « non » :
P
0
1
1.1.2
non(P )
1
0
L’opération « ou »
• Si P et Q sont deux énoncés, l’énoncé « P ou Q »est vrai si et seulement si l’un au moins
des deux énoncés est vrai.
• Exemple :
127
(Il exite deux entiers a et b différents de 1 tels que ab = 127) ou ( 13 127−13 est un entier)
• Nous pouvons dresser la table de vérité de l’opérateur « ou » :
P
0
0
1
1
Q P ou Q
0
0
1
1
0
1
1
1
4
• Remarque : Il s’agit ici du "ou" inclusif : contrairement à la langue française, le cas où les
deux énoncés sont vrais est aussi pris en compte comme un cas vérifiant le "ou".
1.1.3
L’opération « et »
• Si P et Q sont deux énoncés, l’énoncé « P et Q »est vrai si et seulement P et Q sont tous
les deux vrais.
• Exemple :
127
(Il exite deux entiers a et b différents de 1 tels que ab = 127) et ( 13 127−13 est un entier)
• Nous pouvons dresser la table de vérité de l’opérateur « et » :
P
0
0
1
1
1.1.4
Q
0
1
0
1
P et Q
0
0
0
1
Négation de « ou » et de « et »
En se servant de tables de vérités ou de la logique du quotidient, il est facile de voir et de
démontrer les propriétés suivantes :
Propriété 1.
La négation non(P ou Q) de « P ou Q » est "non(P )et non(Q)".
Propriété 2.
La négation non(P et Q) de « P et Q » est "non(P )ou non(Q)".
Exemple :
• La négation de « (l’entier n est pair) et (strictement supérieur à 7) » est « (l’entier n est
impair) ou (inférieur ou égal à 7) ».
• La négation de « (l’entier n est pair) ou (strictement supérieur à 7) » est « (l’entier n est
impair) et (inférieur ou égal à 7) ».
1.2
1.2.1
Les quantificateurs
L’expression « pour tout »
L’énoncé « P(λ) est vrai pour tout λ ∈ E » se note ∀λ ∈ E, P(λ).
5
1.2.2
L’expresion « il existe »
L’énoncé « Il existe λ ∈ E tel que P(λ) est vrai » se note ∃λ ∈ E, P(λ).
1.2.3
Négation de ∀ et de ∃
Propriété 3.
La négation de ∀λ ∈ E, P(λ) est ∃λ ∈ E,non[P(λ)]
Propriété 4.
La négation de ∃λ ∈ E, P(λ) est ∀λ ∈ E,non[P(λ)]
Exemple :
• La négation de ∀x ∈ R, x ≥ 0 est ∃x ∈ R, x < 0.
• La négation de ∃n ∈ Z, n2 = 2 est ∀n ∈ Z, n2 ≤ 2.
1.3
1.3.1
Relations entre les énoncés
Implication
Définition 1.
Soient P et Q deux énoncés.
L’énoncé P =⇒ Q signifie "si P (est vrai) alors Q (est vrai)".
Propriété 5. (admise)
L’énoncé P =⇒ Q est le même que non(P ) ou Q.
On peut donc dresser la table de vérité de l’implication :
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P =⇒ Q
1
1
0
1
• Exemple :
Soit A l’énoncé "le nombre n est un nombre pair".
Soit B l’éoncé "le nombre n est un nombre entier"
On a alors A =⇒ B.
En effet, un nombre pair est forcément un nombre entier.
Par contre, un nombre entier n’est pas forcément pair. Donc si A =⇒ B, ça ne veut pas
dire que B =⇒ A, puisqu’on vient d’en voir un contre-exemple.
6
1.3.2
La contraposé d’une implication
Définition 2.
Soient P et Q deux énoncés.
On dit que la contraposé de l’implication P =⇒ Q est l’implication non(Q) =⇒non(P ).
Propriété 6.
Une implication et sa contraposée sont vraies en même temps, et fausses en même temps.
Démonstration. D’après la propriété 5, l’énoncé non(Q) =⇒non(P ) est le même que non[non(Q)]
ou non(P ), donc le même que Q ou non(P ), donc, d’après la propriété 5, le même que P =⇒ Q.
• Exemple :
Soit A l’énoncé "il pleut".
Soit B l’énoncé "le sol est mouillé". On a A =⇒ B, en effet, si "il pleut", alors "le sol est
mouillé".
La contraposé de cette implication est donc si "le sol n’est pas mouillé", alors "il ne pleut
pas", ce qui est logique.
1.3.3
Négation de l’implication
Propriété 7.
L’énoncé non(P =⇒ Q) est le même énoncé que P et non(Q).
Démonstration. En effet, d’après la propriété 5, l’énoncé non(P =⇒ Q) est le même que non[non(P )ouQ],
donc d’après la propriété 1, est le même que non[non(P )] et non(Q) donc le même que P et
non(Q).
• Exemple :
La négation de ∀x ∈ R, x2 = 4 =⇒ x = 2 est l’énoncé ∃x ∈ R,non(x2 = 4 =⇒ x = 2),
donc l’énoncé ∃x ∈ R, x2 = 4 et x 6= 2.
1.3.4
L’implication réciproque
Définition 3.
Soit A et B deux énoncés. On appelle réciproque de l’implication A =⇒ B l’implication B =⇒ A.
• Remarque :Ce n’est pas parce qu’une implication est vraie que sa réciproque est vraie.
• Exemple :
Soit A l’énoncé "il pleut".
Soit B l’énoncé "le sol est mouillé". On a A =⇒ B, en effet, si "il pleut", alors "le sol est
mouillé".
La réciproque de cette implication est si "le sol est mouillé", alors "il pleut", ce qui n’est pas
vrai en toute généralité, donc faux. On a donc un exemple d’implication dont la réciproque
est fausse. Il est important d’y faire attention.
7
1.3.5
Equivalence
Définition 4.
Dire que deux énoncés P et Q sont équivalents,
c’est dire que (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P ) sont vraies toutes les deux.
On note alors P ⇐⇒ Q.
• Remarque : Contrairement à l’exemple précédent, deux énoncés équivalents ont justement
l’implication et la réciproque de vraie.
• Exemple :
Prenons l’exemple du théorème de Pythagore.
Soit A l’énoncé "le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres
côtés".
Soit B l’énoncé "le triangle est rectangle".
On a bien A ⇐⇒ B.
8
Chapitre 2
Nombres rationnels et nombres réels
2.1
2.1.1
Nombres rationnels
Définition
Il s’agit tout simplement des nombres qui peuvent s’écrire comme quotient d’un entier relatif
par un entier naturel non nul.
Définition 5.
Q = ab |a ∈ Z et b ∈ N∗
• Remarque :
1. En notation ensembliste, cela donne Q = Z × N∗ .
2. Les nombres entiers sont des nombres rationnels. En effet, pour tout entier n, on a n = n1 .
3. La représentation d’un rationnel comme quotient d’entiers n’est pas unique, par exemple
2
4
26
= 14
= 91
.
7
En revanche, la représentation sous forme de fraction irréductible pq avec PGCD(p; q) = 1
d’un nombre rationnel existe et est unique.
Cette existence et unicité peut permettre de caractériser les nombres rationnels.
2.1.2
Addition de deux rationnels
• L’addition sur Q est interne (l’addition de deux rationnels est un nombre rationnel). En
effet, ∀a, c ∈ Z et ∀b, d ∈ N∗ , on a
ad + bc
a c
+ =
∈Q
b d
bd
car ad + bc ∈ Z et bd ∈ N∗ .
• L’addition sur Q est associative (on peut l’effectuer dans le sens qu’on veut). En effet,
∀a, c, e ∈ Z et ∀b, d, f ∈ N∗ , on a
c
e
a c e
a
+
+
=
+
+
b
d f
b d
f
9
.
• L’addition sur Q est commutative (on peut "tourner" autour du +). En effet, ∀a, c ∈ Z
et ∀b, d ∈ N∗ , on a
c a
a c
+ = +
b d
d b
.
• L’addition sur Q est unifère (elle admet un élément neutre). En effet, ∀a ∈ Z et ∀b ∈ N∗ ,
on a
a
a
+0=
b
b
• Tout rationnel admet un symétrique par l’addition appelé opposé. En effet, ∀a ∈ Z et
∀b ∈ N∗ , on a
a −a
+
=0
b
b
2.1.3
Multiplication de deux rationnels
• La multiplication sur Q est interne (la multiplication de deux rationnels est un nombre
rationnel). En effet, ∀a, c ∈ Z et ∀b, d ∈ N∗ , on a
ac
a c
× =
∈Q
b d
bd
car ac ∈ Z et bd ∈ N∗ .
• La multiplication sur Q est associative (on peut l’effectuer dans le sens qu’on veut). En
effet, ∀a, c, e ∈ Z et ∀b, d, f ∈ N∗ , on a
c
e
a
a c e
×
×
×
=
×
b
d f
b d
f
.
• La multiplication sur Q est commutative (on peut "tourner" autour du ×). En effet,
∀a, c ∈ Z et ∀b, d ∈ N∗ , on a
a c
c a
× = ×
b d
d b
.
• La multiplication sur Q est unifère (elle admet un élément neutre). En effet, ∀a ∈ Z et
∀b ∈ N∗ , on a
a
a
×1=
b
b
10
• Tout rationnel non nul admet un symétrique par la multiplication appelé inverse. En
effet, ∀a ∈ Z∗ et ∀b ∈ N∗ , on a
a b
× =1
b a
2.1.4
Propriété de corps
• La multiplication est distributive sur l’addition. En effet ∀a, c, e ∈ Z et ∀b, d, f ∈ N∗ , on a
a
c
e
a c a e
×
+
= × + ×
b
d f
b d b f
• Muni de l’addition et de la multiplication, Q∗ est un corps commutatif.
2.2
2.2.1
Nombres réels
Les nombres irrationnels : Qu’est-ce que
√
2?
Soit un carré de côté 1. Quelles longueurs ont alors ses diagonales ?
D’après le théorème de Pythagore, comme le triangle ABC est rectangle en B, on a la relation
AC 2 = AB 2 + BC 2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2.
Ainsi donc, AC 2 = 2.
√
√
On a définit √
préalablement √2 comme étant le nombre positif tel que ( 2)2 = 2.
Donc AC = 2 ou AC = − 2.
Or AC est une
√ longueur, donc AC est positive.
Donc
AC
=
2.
√
2 peut ainsi être vu comme la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. Ce nombre est-il
rationnel ?
11
2.2.2
Les nombres irrationnels : Raisonnement par contraposé
√
/ Q. Pour cela, on va commencer par montrer un lemme à l’aide d’un
On va prouver que 2 ∈
raisonnement par contraposé.
Définition 6.
Démontrer P =⇒ Q par contraposé,
c’est démontrer l’énoncé équivalent non(Q) =⇒non(P ).
Le lemme que nous allons montrer est le suivant :
Si a ∈ N est tel que a2 est pair, alors a est pair.
On veut donc prouver a2 pair =⇒ a pair.
C’est donc équivalent à montrer non(a pair) =⇒non(a2 pair)
donc prouver a impair =⇒ a2 impair.
Si a est impair, alors il existe k ∈ Z tel que a = 2k + 1.
On a alors a2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 = 2p + 1 avec p = 2k 2 + 2k ∈ Z.
Donc a2 est impair.
On vient donc de montrer a impair =⇒ a2 impair.
Donc par contraposé, on a montré a2 pair =⇒ a pair .
2.2.3
Les nombres irrationnels : Raisonnement par l’absurde
√
/ Q.
Revenons au problème principale : montrer que 2 ∈
Pour cela, on va faire un raisonnement par l’absurde.
Définition 7.
Démontrer par l’absurde qu’un énoncé P est vrai, c’est supposer que P est faux puis déduire de
cette supposition qu’un énoncé Q est faux, alors que l’on sait que Q est vrai.
√
Supposons donc par l’absurde que 2 ∈ Q. On peut donc l’écrire sous la forme d’une fraction
irréductible (c’est le cas de tout rationnel).
√
On peut donc trouver a ∈ Z et b ∈ N∗ tels que 2 = ab et tels que PGCD(a; b) = 1.
√ 2
2
2
Or, par définition,
2 = 2 donc ab = ab2 = 2 donc a2 = 2b2 = 2k avec k = b2 ∈ Z donc a2 est
pair.
Donc d’après le lemme, a est pair.
Il existe donc p ∈ Z tel que a = 2p.
Donc a2 = 4p2 .
Or, on a dit plus haut que a2 = 2b2 .
Donc 2b2 = 4p2 .
Donc b2 = 2p2 = 2q avec q = p2 ∈ Z.
Donc b2 est pair.
Donc d’après le lemme, b est pair.
On a montré que a était pair, et que b aussi. Donc PGCD(a; b) ≥ 2.
Donc PGCD(a;
b) 6= 1, donc il y a contradiction, donc notre supposition est fausse.
√
Donc 2 ∈
/ Q.
12
2.2.4
Les nombres irrationnels : Définition
Définition 8.
Un nombre est irrationnel si il n’appartient pas à Q.
2.2.5
Infinité de l’ensemble des irrationnels
• Nous allons montrer que l’ensemble des irrationnels est infini, c’est-à-dire que si vous possédez une liste finie de nombres irrationels, on peut toujours faire en sorte d’en rajouter un
de plus.
• Commencençons par montrer un lemme :
Si x est un rationnel, et y est un irrationnel, alors x + y est un irrationnel.
Nous allons le montrer par l’absurde : suppose que si x ∈ Q et y ∈
/ Q, alors x + y ∈ Q.
• On a donc x + y ∈ Q.
donc x + y − x ∈ Q car −x ∈ Q.
donc y ∈ Q, ce qui est absurde.
Donc notre supposition x + y ∈ Q est fausse.
Donc x + y ∈
/ Q. CQFD.
√
/ Q.
• On a montré plus tôt que 2 ∈
√
/ Q d’après le lemme que l’on vient de montrer.
Donc pour tout x ∈ Q, on a x + 2 ∈
Or, Q est infini (admis), donc il existe une infinité d’irrationnels.CQFD.
2.2.6
L’ensemble des réels
• On notre R l’ensemble des nombres réels.
• Muni de l’addition et du produit, R est un corps.
• R est archimédien : cela signifie que pour tout réel x, on peut trouver un entier naturel n
tel que n > x (admis).
2.2.7
Densité de Q et de R − Q dans R
Proposition 1.
Tout intervalle non vide de R contient au moins au rationnel et un irrationnel.
• Commençons par prouver que l’on peut toujours trouver un nombre rationnel dans tout
intervalle non vide de R.
Soient a; b ∈ R tels que a < b.
Montrons qu’alors ]a; b[ contient au moins un nombre rationnel.
Pour cela, on cherche p ∈ Z et q ∈ N∗ tels que a < pq < b.
donc tels que aq < p < bq car q 6= 0.
Il faut donc trouver un entier relatif p qui se trouve dans l’intervalle ]aq; bq[.
A partir du moment où la longueur de cet intervalle est supérieure à 1, il y a forcément un
entier p à l’intérieur, et ce peu importe a, b et q du moment qu’ils vérifient les premières
13
conditions imposées plus tôt.
Il nous faut donc uniquement trouver q ∈ N∗ tel que bq − aq > 1 puisque cette seule condition suffit pour que le p que nous recherchons existe.
Il faut donc trouver q ∈ N∗ tel que q(b − a) > 1.
1
.
donc tel que q > b−a
1
Or, b−a est un réel.
Donc comme R est archimédien, ce q existe forcément.
Donc il existe qN∗ tel que bq − aq > 1.
Donc il existe p ∈ Z tel que aq < p < bq.
Donc il existe p ∈ Z et qN∗ tels que a < pq < b.
Donc il existe au moins un rationnel dans ]a; b[.CQFD.
• Maintenant, on doit prouver que dans ce même intervalle ]a; b[, on peut y trouver un nombre
irrationnel.
√
√
Prenons un autre intervalle : l’intervalle ]a − 2; b − 2[, qui est aussi un intervalle non
vide de R.
Il existe donc nécessairement (on vient tout juste de le prouver), un nombre rationnel dans
cet intervalle. Notons
rationnel.
√ x ce nombre
√
On a donc√x ∈]a − 2; b√− 2[.
donc a − 2 <
√x < b − 2.
donc a < √
x + 2 < b.
donc x + 2 ∈]a; b[
√
√
Or, on a vu plus tôt que comme x est rationnel et 2 est irrationnel, x + 2 est irrationnel.
Donc on a prouvé qu’il y avait au moins un irrationnel dans ]a; b[.CQFD.
2.2.8
Partie entière d’un nombre réel
Définition 9.
Soit x ∈ R.
On note bxc l’unique entier (relatif) vérifiant bxc ≤ x < bxc + 1
Ce nombre s’appelle la partie entière de x.
Parfois, on note aussi E(x).
• Exemple : b3.5c = 3 et b−6.3c = −7
2.2.9
Ensemble des décimaux et approximation décimale
Définition 10.
Un réel x est dit décimal si il existe un entier naturel n et un entier relatif b tels
que x = 10bn .
On note D l’ensemble des nombres décimaux.
14
Définition 11.
Soit x ∈ R.
Pour tout entier naturel n, on appelle approximation décimale de x à l’ordre n
le nombre : n
xc
An (x) = b10
∈ D.
10n
Propriété 8.
Cette partie sera complétée en dernier, car toutes les propriétés sur l’approximation
décimale ont déjà été vue au S1. Il s’agira uniquement d’un rappel pertinent.
15
Chapitre 3
Limite et continuité d’une fonction
3.1
3.1.1
Continuité
Rappel : limite d’une suite
• Soit (un )n une suite et l un réel. On dit que (un )n converge vers l si et seulement si, pour
tout réel ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout entier n tel que n ≥ N , on a |un −l| ≤ ε.
• Avec des quantificateurs, l’énoncé devient
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N ⇒ |un − l| < ε
3.1.2
Définition séquentielle
Définition 12.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a. On dit que f
est continue en a si et seulement si, pour toute suite (un )n à valeurs dans le domaine
de définition de f qui converge vers a, alors (f (un ))n converge vers f (a).
Avec des quantificateurs, l’énoncé devient :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |f (un ) − f (a)| < ε
Définition 13.
On dit qu’une fonction f est continue sur l’intervalle I si et seulement si f est
continue en tout point de I.
16
3.1.3
Défintion continue
Théorème 1.
Soient I un intervalle ouvert de R, f une fonction définie sur I et a ∈ I.
Les deux énoncés suivants sont équivalents :
(1) f est continue en a.
(2) Pour tout réel ε > 0, il existe un réel δ > 0 tel que
pour tout x ∈ I vérifiant |x − a| < δ, on a |f (x) − f (a)| < ε.
• Remarque :
1. Avec des quantificateurs, l’énoncé (2) s’écrit :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
2. La négation de cet énoncé est :
∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ I, non (|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε)
Or, la négation de |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε
c’est la négation de non(|x − a| < δ) ou |f (x) − f (a)| < ε
c’est-à-dire |x − a| < δ et |f (x) − f (a)| ≥ ε
Donc la négation de (2) est
∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ I, |x − a| < δ et |f (x) − f (a)| ≥ ε
• Preuve(du théorème) : on veut montrer l’équivalence (1) ⇐⇒ (2).
1. Montrons d’abord que (1) =⇒ (2). Montrons-le par contraposée : pour montrer que
(1) =⇒ (2), on va montrer que non[(2)] =⇒non[(1)].
On suppose donc que ∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ I, |x − a| < δ et |f (x) − f (a)| ≥ ε.
On note (A) cette suppostion.
Maintenant, on construit une suite (un )n convergeante vers a telle que la suite (f (un ))n
ne converge pas vers f (a). Pour cela, on applique (A) à δ = n1 . Cela "créer" une suite
1
(un )n ∈
I telle que pour tout entier n, |un − a| < n : donc (un )n converge bien vers a
1
car n n converge vers 0.
Comme on a supposé (A), on a bien |f (x) − f (a)| ≥ ε donc (f (un ))n ne tend pas vers
f (a) car comme on l’a dit, pour tout entier n, |f (un ) − f (a)| ≥ ε.
Donc en supposant (A), c’est-à-dire non[(2)], on en déduit forcément que non[(1)].
On a donc montré que non[(2)] =⇒non[(1)], donc par contraposée, que (1) =⇒ (2).
2. Maintenant, montrons que (2) =⇒ (1).
On sait donc que ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
On prend une suite quelconque (xn )n qui converge vers a, donc on sait que
∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N, |xn − a| < δ
17
Or, d’après (2), si |xn − a| < δ, alors on a forcément |f (xn ) − f (a)| < ε.
Donc pour toute suite (xn )n qui converge vers a, la supposition (2) implique que (f (xn ))n
converge vers f (a).
Donc la supposition de (2) vraie implique que f est continue en a.
Donc (2) =⇒ (1).
3. On a montré que (1) =⇒ (2) et que (2) =⇒ (1).
On a donc montré que (1) ⇐⇒ (2). CQFD.
3.2
3.2.1
Continuité au bord d’un intervalle
Généralisation à des intervalles non forcément ouverts
Il s’agit ici d’une légère généralisation de la définition de la continuité à des intervalles non
forcément ouverts.
Définition 14.
Soient I un intervalle de R, a ∈ I et f une fonction définie sur I.
On dit que f est continue en a si et seulement si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε
• Exemple :
√
Montrons que x est continue en 0. (qui est une borne du domaine de définition de la racine
carrée)
Soit ε > 0, d’après la définition, on√doit trouver
δ > 0 tel que pour tout x appartenant à
√
R+ vérifiant |x − 0| < δ alors on a | x − 0| < ε.
On doit donc trouver δ > 0 tel que si x ≥ 0 est tel que −δ < x < δ, alors on a −ε <
√
x < ε.
√
On doit donc trouver δ > 0 tel que si 0 ≤ x < δ alors x < ε.
√
√
2
2
On peut par exemple
prend
δ
:=
ε
car
si
0
≤
x
<
ε
alors
0
≤
x
<
ε2 = |ε| = ε car
√
ε > 0, donc on a x < ε.
On vient donc de montrer que x 7−→
3.2.2
√
x est continue en 0.
Continuité des fonctions associées : opérations usuelles
Proposition 2.
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et continue en a ∈ I, alors :
(1) La fonction f + g est continue en a.
(2) La fonction f × g est continue en a.
(3) Si g(a) 6= 0, alors la fonction fg est continue en a.
18
• Preuve : On suppose que f et g sont deux fonctions continues en a.
1. Soit ε > 0, on doit trouver δ > 0 tel que ∀x ∈ I vérifiant |x − a| < δ, on a alors
|f (x) + g(x) − f (a) − g(a)| < ε.
On commence par appliquer la définition de la continuité de f en a en prenant 2ε à la
place de ε.
On obtient ainsi δf > 0 tel que ∀x ∈ I vérifiant |x − a| < δf , on a |f (x) − f (a)| < 2ε .
On note A cette propriété ainsi obtenue.
On applique ensuite la définition de la continuité de g en a en prenant 2ε à la place de ε.
On obtient ainsi δg > 0 tel que ∀x ∈ I vérifiant |x − a| < δg , on a |g(x) − g(a)| < 2ε .
On note B cette propriété ainsi obtenue.
On pose δ := min (δf ; δg ).
On a donc δ ≤ δf et δ ≤ δg .
Soit x ∈ I vérifiant |x − a| < δ.
On alors |x−a| < δf donc A qui est vraie et on a aussi |x−a| < δg donc B qui est vraie.
Ainsi, |f (x)+g(x)−f (a)−g(a)| = |f (x)−f (a)+g(x)−g(a)| ≤ |f (x)−f (a)|+|g(x)−g(a)|
d’après l’inégalité triangulaire.
< 2ε + 2ε = ε d’après A et B .
On a donc trouvé δ > 0 tel que ∀x ∈ I vérifiant |x − a| < δ, on a |f (x) + g(x) − f (a) −
g(a)| < ε.
On a donc montré que
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ =⇒ |f (x) + g(x) − f (a) − g(a)| < ε.
Donc f + g est continue en a.CQFD.
2. Soit ε > 0, on doit trouver δ > 0 tel que ∀x ∈ I vérifiant |x − a| < δ, on a alors
|f (x)g(x) − f (a)g(a)| < ε.
Pour tout x ∈ I,on a
f (x)g(x) − f (a)g(a)
= f (x)g(x) + g(x)f (a) − g(x)f (a) − f (a)g(a)
= [f (x) − f (a)] g(x) + [g(x) − g(a)] f (a)
On commence par appliquer la définition de la continuité de g en a en prenant 1 à la
place de ε.
On obtient δ1 > 0 tel que ∀x ∈ I,|x − a| < δ1 =⇒ |g(x) − g(a)| < 1.
Or, |g(x)| = |g(x) − g(a) + g(a)| ≤ |g(x) − g(a)| + |g(a)|.
et ∀x ∈ I,|x − a| < δ1 =⇒ |g(x) − g(a)| + |g(a)| ≤ 1 + |g(a)|.
Donc ∀x ∈ I,|x − a| < δ1 =⇒ |g(x)| ≤ 1 + |g(a)|.
On note A cette implication.
19
ε
à la
Ensuite, on applique la définition de la continuité de f en a, en prenant 2(1+|g(a)|)
place de ε.
ε
On obtient δ2 > 0 tel que ∀x ∈ I,|x − a| < δ2 =⇒ |f (x) − f (a)| < 2(1+|g(a)|)
.
On note B cette implication.
Enfin, on applique la définition de la continuité de g en a, en prenant 2(1+|fε (a)|) à la place
de ε.
On obtient δ3 > 0 tel que ∀x ∈ I,|x − a| < δ3 =⇒ |g(x) − g(a)| < 2(1+|fε (a)|) .
On note C cette implication.
Maintenant, on se place dans chacun des trois cas décrit plus haut : soit δ := min (δ1 ; δ2 ; δ3 ).
On a dit plus haut que
f (x)g(x) − f (a)g(a) = [f (x) − f (a)] g(x) + [g(x) − g(a)] f (a)
donc
|f (x)g(x) − f (a)g(a)| ≤ |f (x) − f (a)| × |g(x)| + |g(x) − g(a)| × |f (a)|.
Donc si |x − a| < δ, on a
ε
× (1 + |g(a)|) + 2(1+|fε (a)|) × |f (a)|
|f (x)g(x) − f (a)g(a)| < 2(1+|g(a)|)
d’après respectivement B , A et C .
donc
|f (x)g(x) − f (a)g(a)| < 2ε + 2ε = ε
On a donc trouvé δ > 0 tel que ∀x ∈ I vérifiant |x−a| < δ, on a |f (x)g(x)−f (a)g(a)| < ε.
On a donc montré que
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ =⇒ |f (x)g(x) − f (a)g(a)| < ε.
Donc f g est continue en a.CQFD.
3. On veut montrer que si g(a) 6= 0, alors fg est continue en a.
Pour cela, on commence par montrer que g1 est au moins définie sur un intervalle
contenant a.
Il faut donc montrer qu’il existe un intervalle contenant a sur lequel g ne s’annule pas.
Comme g est continue en a, il existe δ1 > 0 tel que
si |x − a| < δ1 , alors |g(x) − g(a)| < 21 |g(a)|
c’est-à-dire
− 12 |g(a)| < g(x) − g(a) < 12 |g(a)|
donc
g(a) − 21 |g(a)| < g(x) < g(a) + 21 |g(a)|
O 1er cas : g(a) > 0
on a donc |g(a)| = g(a) et donc l’encadrement devient
1
g(a) < g(x) < 32 g(a)
2
En particulier, la première inégalité nous donne
1
g(a) < g(x)
2
Or, on a dit que g(a) > 0 donc 12 g(a) > 0 donc g(x) > 0
et donc g(x) 6= 0 si |x − a| < δ1 .
20
O 2eme cas : g(a) < 0
on a |g(a)| = −g(a) et donc l’encadrement devient
3
g(a) < g(x) < 12 g(a)
2
En particulier, la deuxième inégalité nous donne
g(x) < 12 g(a)
Or, on a dit que g(a) < 0 donc 12 g(a) < 0 donc g(x) < 0
et donc g(x) 6= 0 si |x − a| < δ1 .
Dans les deux cas, si g(a) 6= 0, il existe δ1 > 0 tel que si |x − a| < δ1 , alors g(x) 6= 0.
En particulier,il existe un intervalle contenant a tel que g1 est définie.
On peut donc maintenant prouver que g1 est continue en a.
Soit ε > 0.
Soit x ∈ I vérifiant |x − a| < δ1 .
On a donc 1
g(a)−g(x) |g(a)−g(x)|
|g(a)−g(x)|
1 1
= g(x)g(a) = |g(x)g(a)| = |g(a)| × |g(x)|
g(x) − g(a)
O 1er cas : g(a) > 0
A la première étape, on a vu que dans ce cas-là, 12 g(a) < g(x).
donc on a 12 |g(a)| < |g(x)|.
O 2eme cas : g(a) < 0
A la première étape, on a vu que dans ce cas-là, g(x) < 12 g(a)
donc −g(x) > − 12 g(a)
donc |g(x)| > 12 |g(a)|
Dans ces deux cas, on a donc |g(x)| > 12 |g(a)| > 0
2
1
< |g(a)|
donc |g(x)|
donc
|g(a)−g(x)|
|g(a)|
1
donc g(x)
1
× |g(x)|
< |g(a)−g(x)|
×
|g(a)|
2|g(a)−g(x)|
1
− g(a)
< |g(a)|2
2
|g(a)|
=
2|g(a)−g(x)|
|g(a)|2
2
On utilise la continuité de g en a en prenant |g(a)|
ε > 0 à la place de ε.
2
On obtient δ2 > 0 tel que pour tout x ∈ I vérifiant |x−a| < δ2 , on a |g(x)−g(a)| <
Soit δ := min(δ1 ; δ2 ). Pour tout x ∈ I vérifiant |x − a| < δ, on a donc :
O |x − a| < δ1 donc g(x) 6= 0
|g(a)|2
ε
2
O |x − a| < δ2 donc |g(x) − g(a)| <
donc
2|g(x)−g(a)|
|g(a)|2
2|g(x)−g(a)|
|g(a)|2 =
2
|g(a)|2
× |g(x) − g(a)| <
<ε
1
1 donc comme g(x) − g(a) <
1
1 on a g(x)
− g(a)
<ε
donc
2
|g(a)|2
2|g(a)−g(x)|
|g(a)|2
1
Donc ∀x ∈ I, |x − a| < δ =⇒ g(x)
−
1 g(a) 21
<ε
×
|g(a)|2
ε
2
=ε
|g(a)|2
ε.
2
donc si g(a) 6= 0,
1
g
est continue en a.
On peut donc terminer la preuve : f est une fonction continue en a, et si g(a) 6= 0,
continue en a. Or, fg est le produit de f et de g1 qui sont continues en a.
Donc fg est continue en a. CQFD.
3.2.3
1
g
est
Continuité des fonctions associées : composition de fonctions
Proposition 3.
Soit g une fonction définie sur un intervalle I et continue en a ∈ I,
et soit f une fonction définie sur g(I) et continue en g(a), alors
f og : x 7−→ f (g(x)) est continue en a.
• Preuve :Soit g une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a et continue en a.
Soit f une fonction défine sur g(I) et continue en g(a).
Soit ε > 0.
Comme f est continue en g(a), il existe δf > 0 tel que ∀y ∈ g(I) vérifiant |y − g(a)| < δf
on a |f (y) − f (g(a))| < ε.
En particulier, si ∀x ∈ I vérifiant |g(x) − g(a)| < δf , alors on a |f (g(x)) − f (g(a))| < ε.
Or, g est continue en a. On peut donc appliquer la définition de la continuité de g en a en
prenant δf à la place de ε : on obtient alors δg > 0 tel que ∀x ∈ I vérifiant |x − a| < δg on
a |g(x) − g(a)| < δf , et donc |f (g(x)) − f (g(a))| < ε.
Donc si |x − a| < δg , alors |f (g(x)) − f (g(a))| < ε.
Donc f og est continue en a. CQFD
3.3
3.3.1
Limite finie en un réel
Définition
Définition 15.
Soit I un intervalle.
Soit x0 un réel :
- qui est soit dans I
- ou qui est soit l’une des extrémités de I
Soit f une fonction définie au moins(sinon plus) sur I − {x0 }.
Soit l un réel.
On dit que f tend vers l quand x tend vers x0 si et seulement si :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I − {x0 }, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − l| < ε
On note alors lim f (x) = l
x→x0
22
Remarque : La négation de cet énoncé est donc
∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ I − {x0 }, |x − x0 | < δ et |f (x) − l| ≥ ε
3.3.2
Lien avec la continuité
Proposition 4.
Soit I un intervalle, soit a ∈ I et soit f une fonction définitie sur I.
La fonction f est continue en a si et seulement si :
lim f (x) = f (a)
x→a
• Preuve :
1. Supposons que f est continue en a et déduisons-en que lim f (x) = f (a).
x→a
La définition de la continuité de f en a est :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε
En particulier, comme I − {a} ⊂ I, on peut se réstreindre à cet ensemble : on a donc
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I − {a}, |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Il s’agit de la définition de lim f (x) = f (a).CQFD.
x→a
2. Supposons que lim f (x) = f (a) et déduisons-en que f est continue en a.
x→a
La définition de lim f (x) = f (a) est :
x→a
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I − {a}, |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Notons (A) l’implication |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
On sait que (A) est vrai ∀x ∈ I − {a}.
Or, si x = a, alors |x − a| = |0| = 0 < δ et |f (x) − f (a)| = |f (a) − f (a)| = |0| = 0 < ε.
Donc (A) reste vraie même si x = a, donc elle est vrai ∀x ∈ I.
Donc si lim f (x) = f (a), alors
x→a
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε
ce qui est la définition de la continuité de f en a.CQFD.
• Exemple : Vue au S1 : les fonctions polynomiales sont continues sur R. On a donc pour tout
x0 ∈ R, pour tout n ∈ N et pour tous réels a0 , a1 , ..., an que :
lim (a0 + a1 x + ... + an xn ) = a0 + a1 x0 + ... + an xn0
x→x0
23
3.3.3
Limite réelle et bornes
Proposition 5.
Soit I un intervalle.
Soit x0 un réel :
- qui est soit dans I
- ou qui est soit une extrémité de I
Soit f une fonction définie au moins sur I − {x0 }.
Soient des réels l; m; M tels que :
(1) lim f (x) = l
x→x0
(2) m < l < M
Alors il existe δ > 0 tel que pour tout x ∈ I − {x0 } vérifiant |x − x0 | < δ,
on a m < f (x) < M .
3.3.4
Unicité de la limite
Proposition 6.
Si une fonction f admet une limite l en un réel x0 , alors f n’admet pas d’autre limite
en x0 .
3.3.5
Opérations usuelles sur les limites
Proposition 7.
Soient f et g deux fonctions.
Soient x0 ; lf ; lg des réels tels que lim f (x) = lf et lim g(x) = lg .
x→x0
x→x0
Alors :
(1)
(2)
(3)
(4)
La fonction f + g admet une limite en x0 , et cette limite est lf + lg .
La fonction f g admet une limite en x0 , et cette limite est lf lg .
Soit λ ∈ R. La fonction λf admet une limite en x0 , et cette limite est λlf .
l
Si lg 6= 0 alors la fonction fg admet une limite en x0 , et cette limite est lfg .
24
3.3.6
Composition des limites
Proposition 8.
Soit I un intervalle de R.
Soit x0 un réel appartenant à I.
Soit lf et lg deux réels.
Soit f une fonction définie au moins sur I − x0 .
Soit g une fonction définie au moins sur f (I) ∪ {lf }.
On suppose que lim f (x) = lf
x→x0
et que lim g(x) = lg .
x→lf
Alors lim g(f (x)) = lg .
x→x0
3.3.7
Prolongement par continuité
Définition 16.
Soit I un intervalle de R.
Soit x0 dans I.
Soit f une fonction définie et continue sur I − {x0 }, non définie sur x0 mais qui
admet une limite en x0 .
∼
Alors la fonction f définie par :
∼
f (x) = f (x) si x 6= x0
∼
f (x) = lim f (x)
x→x0
est continue sur I.
On l’appelle prolongement continue de f en x0 .
3.3.8
Limite à gauche et limite à droite
Définition 17.
Soit ]a; b[ un intervalle et soit x0 ∈]a; b[
Soit f une fonction définie au moins sur ]a; b[−{x0 }.
(1) On définie dans un premier temps la fonction fg :]a; x0 [→ R, x 7−→ f (x).
On dit alors que f tend vers l à gauche quand x tend vers x0 si et seulement si fg
tend vers l quand x tend vers x0 .
On notera lim− f (x) = lg .
x→x0
(2) On définie dans un deuxième temps la fonction fd :]x0 ; b[→ R, x 7−→ f (x).
On dit alors que f tend vers l à droite quand x tend vers x0 si et seulement si fd
tend vers l quand x tend vers x0 .
On notera lim+ f (x) = ld .
x→x0
25
Propriété 9.
On a alors que lim f (x) = l si et seulement si lg = ld = l.
x→x0
3.4
3.4.1
Limites en l’infini et limites infinies
Limites finie en l’infini
Définition 18 (limite finie en +∞).
Soit I un intervalle dont +∞ est la borne droite.
Soit f une fonction définie au moins sur I.
Soit l un réel.
On dit que f tend vers l quand x tend vers +∞ si et seulement si :
∀ε > 0, ∃M ∈ R, ∀x ∈ I, x > M =⇒ |f (x) − l| < ε
On notera lim f (x) = l.
x→+∞
Définition 19 (limite finie en −∞).
Soit I un intervalle dont −∞ est la borne gauche.
Soit f une fonction définie au moins sur I.
Soit l un réel.
On dit que f tend vers l quand x tend vers −∞ si et seulement si :
∀ε > 0, ∃m ∈ R, ∀x ∈ I, x < m =⇒ |f (x) − l| < ε
On notera lim f (x) = l.
x→−∞
3.4.2
Limites finie en l’infini et bornes
Proposition 9.
(1) Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On suppose que la borne droite de I est +∞ et que f tends vers l ∈ R quand x
tend vers +∞.
Soient a et b des réels tels que a < l < b.
Alors il existe K ∈ R tel que pour tout x ∈ I vérifiant x > K on a a < f (x) < b.
(2) Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On suppose que la borne gauche de I est −∞ et que f tends vers l ∈ R quand x
tend vers −∞.
Soient a et b des réels tels que a < l < b.
Alors il existe k ∈ R tel que pour tout x ∈ I vérifiant x < k on a a < f (x) < b.
26
Corollaire 1 (Unicité de la limite finie en l’infinie).
Il s’agit ici d’une conséquence directe de la proposition précédente.
(1) Si f admet une limite en +∞, alors cette limite est unique.
(2) Si f admet une limite en −∞, alors cette limite est unique.
3.4.3
Limites infinies en un réel
Définition 20 (Limite +∞ en un réel).
Soit I un intervalle.
Soit x0 un réel qui est :
- soit dans I
- soit une extrémité de I
Soit f une fonction définie au moins sur I − {x0 }.
On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers x0 si et seulement si :
∀M ∈ R, ∃δ > 0, ∀x ∈ I − {x0 }, |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > M
Définition 21 (Limite −∞ en un réel).
Soit I un intervalle.
Soit x0 un réel qui est :
- soit dans I
- soit une extrémité de I
Soit f une fonction définie au moins sur I − {x0 }.
On dit que f tend vers −∞ lorsque x tend vers x0 si et seulement si :
∀m ∈ R, ∃δ > 0, ∀x ∈ I − {x0 }, |x − x0 | < δ =⇒ f (x) < m
3.4.4
Limites infinies en l’infinies
Définition 22 (Limite +∞ en +∞).
Soit I un intervalle donc +∞ est la borne droite.
Soit f une fonction définie sur I.
On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ si et seulement si :
∀M ∈ R, ∃K ∈ R, ∀x ∈ I, x > K =⇒ f (x) > M
Définition 23 (Limite −∞ en +∞).
Soit I un intervalle donc +∞ est la borne droite.
Soit f une fonction définie sur I.
On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ si et seulement si :
∀m ∈ R, ∃K ∈ R, ∀x ∈ I, x > K =⇒ f (x) < m
27
Définition 24 (Limite +∞ en −∞).
Soit I un intervalle donc −∞ est la borne gauche.
Soit f une fonction définie sur I.
On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers −∞ si et seulement si :
∀M ∈ R, ∃k ∈ R, ∀x ∈ I, x < k =⇒ f (x) > M
Définition 25 (Limite −∞ en −∞).
Soit I un intervalle donc −∞ est la borne gauche.
Soit f une fonction définie sur I.
On dit que f tend vers −∞ lorsque x tend vers −∞ si et seulement si :
∀m ∈ R, ∃k ∈ R, ∀x ∈ I, x < k =⇒ f (x) < m
3.4.5
Résumé des opérations sur les limites
Voir feuille récapitulative (je finirai quand même par la mettre ici)
3.5
Limites et comparaisons
Maintenant que toutes les limites possibles ont été définies, il est temps de se servir des limites
pour tirer des comparaisons, ou de se servir de comparaisons pour en tirer des limites.
3.5.1
Comparaisons des limites en un réel
On dispose de fonction dont on connait la comparaison, et on en déduit une comparaison sur
les limites (si celles-ci sont réelles).
Théorème 2 (comparaison des limites finies en un réel).
Soit I un intervalle.
Soit x0 un réel :
- dans I
- ou une extrémité de I
On suppose que f et g sont deux fonctions définies au moins sur I − {x0 }.
On suppose que f admet une limite en x0 avec lim f (x) = lf .
x→x0
On suppose que g admet une limite en x0 avec lim g(x) = lg .
x→x0
Si ∀x ∈ I − {x0 }, on a f (x) ≤ g(x) alors lf ≤ lg .
28
3.5.2
Comparaisons des limites en l’infini
Il s’agit du même théorème que le précédent mais dans lequel on remplace x0 par +∞ ou −∞.
Théorème 3 (comparaison des limites finies en +∞).
Soit I un intervalle donc +∞ est la borne de droite.
On suppose que f et g sont deux fonctions définies au moins sur I.
On suppose que f admet une limite en +∞ avec lim f (x) = lf .
x→+∞
On suppose que g admet une limite en +∞ avec lim g(x) = lg .
x→+∞
Si ∀x ∈ I, on a f (x) ≤ g(x) alors lf ≤ lg .
Théorème 4 (comparaison des limites finies en −∞).
Soit I un intervalle donc −∞ est la borne de gauche.
On suppose que f et g sont deux fonctions définies au moins sur I.
On suppose que f admet une limite en −∞ avec lim f (x) = lf .
x→−∞
On suppose que g admet une limite en −∞ avec lim g(x) = lg .
x→−∞
Si ∀x ∈ I, on a f (x) ≤ g(x) alors lf ≤ lg .
3.5.3
Théorème de l’encadrement (ou des gendarmes)
Théorème 5 (Théorème de l’encadrement (ou des gendarmes)).
Soit I un intervalle.
Soit x0 :
-soit un réel dans I
-soit une extrémité de I, réelle ou ±∞
Soit f , g et h trois fonctions définies sur I −{x0 } telles que lim g(x) = lim h(x) = l
x→x0
x→x0
et telles que ∀x ∈ I − {x0 }, on ait g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
Alors lim f (x) = l.
x→x0
3.5.4
Théorème de comparaison en l’infini
Théorème 6 (Théorème de comparaison en +∞).
Soit I un intervalle.
Soit x0 :
-soit un réel dans I
-soit une extrémité de I, réelle ou ±∞
Soit f et g deux fonctions définies sur I − {x0 } telles que lim f (x) = +∞
x→x0
et telles que ∀x ∈ I − {x0 }, on ait f (x) ≤ g(x).
Alors lim g(x) = +∞.
x→x0
29
Théorème 7 (Théorème de comparaison en −∞).
Soit I un intervalle.
Soit x0 :
-soit un réel dans I
-soit une extrémité de I, réelle ou ±∞
Soit f et g deux fonctions définies sur I − {x0 } telles que lim g(x) = −∞
x→x0
et telles que ∀x ∈ I − {x0 }, on ait f (x) ≤ g(x).
Alors lim f (x) = −∞.
x→x0
3.6
3.6.1
Continuité et intervalles
Théorèmes des valeurs intermédiaires
Théorème 8 (des valeurs intermédiaires).
Soit a et b deux réels tels que a < b.
Soit f : [a; b] → R une fonction continue sur [a; b].
Soit k un réel compris entre f (a) et f (b).
Alors il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = k.
• Remarque : Si k est strictement compris entre f (a) et f (b), alors on peut supposer c ∈]a; b[.
On peut caractériser les intervalles de la façon suivant : soit I ⊂ R un ensemble. C’est un
intervalle si et seulement si, pour tous x et y dans I tels que x ≤ y, alors [x; y] ⊂ I.
3.6.2
Image d’un intervalle par une fonction continue
Corollaire 2 (du Théorème des valeurs intermédiaires).
Soit I un intervalle.
Soit f : I → R une fonction continue.
Alors f (I) est un intervalle.
• Remarque : Un intervalle est un ensemble de la forme [a; b], ]a; b]; [a; b[ ou encore ]a; b[ avec
a ∈ R ou a = −∞ et b ∈ R ou b = +∞.
• Attention ! : Si I est ouvert, alors f (I) peut être n’importe quel type d’intervalle.
Théorème 9 (image d’un intervalle fermé).
Si f est une fonction définie et continue sur un intervalle fermé [a; b] (importance
de sa fermeture),alors f ([a; b]) est un intervalle fermé : il existe des réels m et M
tels que f ([a; b]) = [m; M ].
30
3.6.3
Intervalle et bornes
Théorème 10.
Si f est une fonction définie et continue sur un intervalle fermé [a; b] (importance
de sa fermeture), alors f est bornée : il existe des réels m et M tels que ∀x ∈ [a; b],
on a m ≤ f (x) ≤ M .
Corollaire 3.
Soit f : R → R une fonction continue sur R qui admet des limites finies en −∞ et
en +∞.
Alors f est bornée : il existe des réels m et M tels que ∀x ∈ R, on a m ≤ f (x) ≤ M .
3.7
3.7.1
Fonctions réciproques
Fonction injective
Définition 26 (d’une fonction injective).
Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle I.
On dit que f est injective si et seulement si elle ne prend pas deux fois la même
valeur en tout point de I.
• Remarque : Avec des quantificateurs, on peut caractériser une fonction injective de cette
manière :
∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
3.7.2
Fonction monotone
Définition 27 (d’une fonction croissante/décroissante).
Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle I.
(1) On dit que f est croissante si et seulement si :
∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, x1 ≤ x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
(2) On dit que f est décroissante si et seulement si :
∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, x1 ≤ x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
• Remarque :
(1) On parle de monotonie pour qualifier à la fois croissance et décroissance. Une fonction
est donc monotone si elle reste soit toujours croissante, soit toujours décroissante.
(2)On rajoute le qualificatif strictement en passant aux inégalités larges.
31
3.7.3
Lien entre monotonie et injectivité
Proposition 10.
Une fonction strictement monotone est injective.
3.7.4
Fonction surjective
Définition 28.
Une fonction f : I −→ J est surjective si et seulement si tout élément de J admet
au moins un antécédent par f .
Autrement dit, f est surjective si et seulement si f (I) = J.
En particulier, f est toujours surjective sur f (I).
• Remarque : Avec des quantificateurs, on peut caractériser une fonction surjective de cette
manière :
∀y ∈ J, ∃x ∈ I, f (x) = y
3.7.5
Fonction bijective
Définition 29.
Une fonction est dite bijective si et seulement si elle est à la fois injective et à la
fois surjective.
3.7.6
Bijection et fonction réciproque
Proposition 11 (admise).
Soit f : I −→ J est une fonction bijective,
alors il existe une fonction g : J −→ I telle que
∀y ∈ J, f (g(y)) = y.
Cette fonction g s’appellela fonction réciproque de f .
Elle vérifie le fait que ∀x ∈ I, g(f (x)) = x.
32
Théorème 11.
Soit f : I −→ J une fonction continue et strictement monotone.
(1) L’ensemble f (I) est un intervalle.
(2) f définie une bijection de I dans f (I).
(3) Notons a et b les bornes respectivement gauche et droite de I avec :
a ∈ R ou a = −∞
b ∈ R ou b = +∞
a ≤ b dans le cas de deux réels
Alors les bornes de f (I) sont lim+ f (x) (gauche si f est croissante, droite si f
x→a
décroissante) et lim− f (x) (droite si f est croissante, gauche si f est décroissante).
x→b
(4) La fonction réciproque de f est continue et de même monotonie que f .
3.7.7
Arcsinus : la réciproque de la fonction sinus
Proposition 12.
(1) La fonction sin admet une fonction réciproque sur l’intervalle
arcsinus,
;π .
telle que arcsin : [−1; 1] −→ −π
2 2
−π
2
; π2 appellée
(2) Cette fonction est continue et strictement croissante sur [−1; 1].
(3) Cette fonction vérifie :
∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x
; π , arcsin(sin(x)) = x
∀x ∈ −π
2 2
• Remarque : ∀x ∈ [−1; 1], l’équation sin(θ) = x d’inconnue θ admet
une
infinité de solution.
π
Par contre, elle n’admet qu’une seule solution dans l’intervalle −π
;
, qui est θ = arcsin(x).
2 2
33
3.7.8
Arccosinus : la réciproque de la fonction cosinus
Proposition 13.
(1) La fonction sin admet une fonction réciproque sur l’intervalle [0; π] appellée
arccosinus,
telle que arccos : [−1; 1] −→ [0; π].
(2) Cette fonction est continue et strictement décroissante sur [−1; 1].
(3) Cette fonction vérifie :
∀x ∈ [−1; 1], cos(arccos(x)) = x
∀x ∈ [0; π], arccos(cos(x)) = x
• Remarque : ∀x ∈ [−1; 1], l’équation cos(θ) = x d’inconnue θ admet une infinité de solution.
Par contre, elle n’admet qu’une seule solution dans l’intervalle [0; π], qui est θ = arccos(x).
34
Chapitre 4
Dérivabilité
4.1
4.1.1
Dérivée d’une fonction
Définition usuelle
Définition 30.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit x0 un réel dans I.
Soit f une fonction définie au moins sur I.
On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si
(x0 )
la fonction x 7−→ f (x)−f
définie sur I − {x0 } admet une limite en x0 .
x−x0
On note alors f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x)−f (x0 )
.
x−x0
On dit que f est dérivable sur I si et seulement si elle est dérivable en tout point de I.
On dira alors que f 0 (x) est la fonction dérivée de f sur I.
4.1.2
Dérivabilité et continuité
Proposition 14.
Si une fonction f est dérivable en un réel x0 , alors elle est continue en x0 .
• Attention : Une fonction peut être continue sans être dérivable.
C’est le cas de la fonction valeur absolue qui est continue en 0 mais non dérivable en 0.
35
4.1.3
Nouvelle définition
Proposition 15.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit x0 un réel de I.
Soit f une fonction définie au moins sur I.
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si :
il existe un réel a et
une fonction ε continue en x0 telle que ε(x0 ) = 0 vérifiants
∀x ∈ I, f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )a + (x − x0 )ε(x).
• Remarque : On a alors f 0 (x0 ) = a.
4.1.4
Interprétation géométrique
Définition 31.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit x0 un réel de I.
Soit f une fonction au moins définie sur I et dérivable en x0 .
On appelle tangente au graphe de f au point d’abscisse x0 la droite de coefficient
directeur f 0 (x0 ) passant par le point du graphe d’abscisse x0 .
L’équation de la tangente est y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
36
4.1.5
Dérivabilité à gauche et à droite
Définition 32.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit x0 un réel de I.
Soit f une fonction au moins définie sur I.
On dit que f est dérivable en x0 à gauche si et seulement si
(x0 )
définie sur I − {x0 } admet une limite à gauche en x0 .
la fonction x 7−→ f (x)−f
x−x0
Le nombre dérivé de f à gauche en x0 est alors
fg0 (x0 ) = x→x
lim
0
x<x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
On dit que f est dérivable en x0 à droite si et seulement si
(x0 )
la fonction x 7−→ f (x)−f
définie sur I − {x0 } admet une limite à droite en x0 .
x−x0
Le nombre dérivé de f à droite en x0 est alors
fd0 (x0 ) = x→x
lim
0
x>x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Proposition 16.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit x0 un réel de I.
Soit f une fonction au moins définie sur I dérivable à gauche et à droite en x0 .
Alors f est dérivable en x0 si et seulement si le nombre dérivé à gauche en x0 est
égal au nombre dérivé à droite en x0 .
4.2
4.2.1
Opérations sur les dérivées
Somme
Proposition 17.
Soit f et g deux fonctions dérivables en un réel x0 .
Alors la fonction f + g est dérivable en x0 et
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 )
37
4.2.2
Produit
Proposition 18.
Soit f et g deux fonctions dérivables en un réel x0 .
Alors la fonction f g est dérivable en x0 et
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x) + f (x0 )g 0 (x0 )
Proposition 19.
Soit f une fonction dérivable en un réel x0 .
Soit λ un réel.
Alors la fonction λf est dérivable en x0 et
(λf )0 (x0 ) = λf 0 (x0 )
4.2.3
Inverse
Proposition 20.
Soit f une fonction dérivable en un réel x0 telle que f 0 (x0 ) 6= 0.
Alors la fonction f1 est dérivable en x0 et
0
1
−f 0 (x0 )
(x0 ) =
f
f (x0 )2
4.2.4
Quotient
Proposition 21.
Soit f et g deux fonctions dérivables en un réel x0 .
Alors la fonction fg est dérivable en x0 et
0
f
f 0 (x0 )g(x) − f (x0 )g 0 (x0 )
(x0 ) =
g
g(x0 )2
4.2.5
Composition
Proposition 22.
Soit f une fonction dérivable en un réel x0 .
Soit g une fonction dérivable en f (x0 ).
Alors la fonction gof est dérivable en x0 et
(gof )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) × g 0 (f (x0 ))
38
4.2.6
Dérivée des puissances
Proposition 23.
Soit f une fonction dérivable en un réel x0 .
Soit n un entier naturel non nul.
Alors la fonction f n est dérivable en x0 et
(f n )0 (x0 ) = n × f 0 (x0 ) × f n−1 (x0 )
4.2.7
Dérivée des fonctions réciproques
Proposition 24.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit f une fonction définie et dérivable au moins sur I, et continue et strictement
monotone sur I.
Soit g la fonction réciproque de f sur I.
Si f 0 ne s’annule pas sur I, alors g est dérivable sur f (I) et
g 0 (x) =
4.2.8
1
f 0 (g(x))
La dérivée de Arcsinus et de Arccosinus
Proposition 25.
La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1; 1[ et
∀x ∈] − 1; 1[, arcsin0 (x) = √
1
1 − x2
Proposition 26.
La fonction arccos est dérivable sur ] − 1; 1[ et
∀x ∈] − 1; 1[, arccos0 (x) = √
39
−1
1 − x2
4.3
4.3.1
Utilisation de la dérivée
Extremum local
Définition 33.
Soit I un intervalle.
Soit x0 un réel de I.
Soit f une fonction définie au moins sur I.
(1) On dit que f admet un maximum local en x0
si il existe un intervalle ouvert J ⊂ I contenant x0 tel que
∀x ∈ J, f (x) ≤ f (x0 ).
(2) On dit que f admet un minimum local en x0
si il existe un intervalle ouvert J ⊂ I contenant x0 tel que
∀x ∈ J, f (x) ≥ f (x0 ).
(3) On dit que f admet un extremum local en x0
si elle a un minimum ou un maximum local en x0 .
Théorème 12.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit f une fonction dérivable sur I.
Si f admet un extremum local x0 , alors f 0 (x0 ) = 0.
• Attention ! : La réciproque est fausse.
On a l’exemple de la fonction x 7−→ x3 .
4.3.2
Théorème de Rolle
Théorème 13 (de Rolle).
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction (au moins) :
- définie et continue sur [a; b]
- dérivable sur ]a; b[
Si f (a) = f (b) alors il existe c ∈]a; b[ tel que f 0 (c) = 0.
40
4.3.3
Théorème des accroissements finis
Théorème 14 (des accroissements finis).
Soit a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction (au moins) :
- définie et continue sur [a; b]
- dérivable sur ]a; b[
Alors il existe c ∈]a; b[ tel que :
f (b) − f (a)
= f 0 (c)
b−a
4.3.4
Inégalité des accroissements finis
Théorème 15.
Soit a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction (au moins) :
- définie et continue sur [a; b]
- dérivable sur ]a; b[
Si il existe un réel positif M tel que ∀x ∈]a; b[, |f 0 (x)| ≤ M , alors
f (b) − f (a) b−a ≤M
4.3.5
Fonction k-lipschitzienne
Définition 34.
Soit I un intervalle.
Soit f une fonction définie au moins sur I.
Soit k un réel strictement positif.
On dit que f est k-lipschitzienne si et seulement si
f (x) − f (y) ≤k
∀x; y ∈ I, x−y 41
Proposition 27.
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction.
Si f est (au moins) :
- définie et continue sur [a; b]
- dérivable sur ]a; b[
- de dérivée bornée par un réel strictement positif k
alors f est k-lipschitzienne.
4.3.6
Limite finie de la dérivée en un réel
Théorème 16.
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit x0 un réel de [a; b].
Soit f une fonction (au moins) :
-définie et continue sur [a; b]
-dérivable sur ]a; b[−{x0 }
Si f 0 admet un réel l pour limite en x0 ,
alors f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = l.
4.3.7
Constance et dérivée
Théorème 17.
Soit I un intervalle.
Soit f une fonction au moins dérivable sur I.
f est constante sur I si et seulement si ∀x ∈ I, f 0 (x) = 0.
4.3.8
Croissance et dérivée
Théorème 18.
Soit I un intervalle.
Soit f une fonction au moins dérivable sur I.
f est croissante sur I si et seulement si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0.
42
4.3.9
Décroissance et dérivée
Théorème 19.
Soit I un intervalle.
Soit f une fonction au moins dérivable sur I.
f est décroissante sur I si et seulement si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0.
4.3.10
Stricte croissance et dérivée
Théorème 20.
Soit I un intervalle.
Soit f une fonction au moins dérivable sur I.
Si ∀x ∈ I, f 0 (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I.
• Attention ! : La réciproque est fausse.
On a l’exemple de la fonction x 7−→ x3 .
4.3.11
Stricte décroissance et dérivée
Théorème 21.
Soit I un intervalle.
Soit f une fonction au moins dérivable sur I.
Si ∀x ∈ I, f 0 (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I.
• Attention ! : La réciproque est fausse.
On a l’exemple de la fonction x 7−→ −x3 .
4.4
4.4.1
Classe de fonction
Dérivée n-ième
Définition 35.
Soit f une fonction.
Si f est dérivable, on note f 0 ou f (1) sa dérivée.
Si f 0 est dérivable, on note f 00 ou f (2) sa dérivée.
Pour tout entier naturel n, on note f (n) la fonction obtenue en dérivant n fois f , à
condition que ça soit possible.
Par convention, on note note parfois f (0) à la place de f .
43
4.4.2
Formule de Leibniz
Théorème 22.
Soit un entier naturel n.
Soit f et g deux fonctions n fois dérivables.
Alors la fonction f g est n fois dérivable, et
(n)
(f g)
=
n X
n
k=0
k
f (k) g (n−k)
Fonction de classe C k
4.4.3
Définition 36.
Soit k un entier naturel.
Soit f une fonction.
On dit que f est de classe C k si et seulement si
f est k fois dérivable et que f (k) est continue.
Fonction de classe C ∞
4.4.4
Définition 37.
Soit f une fonction.
On dit que f est de classe C ∞ si et seulement si
∀k ∈ N, f est de classe C k .
4.4.5
Opérations sur les classes
Théorème 23.
Soit k un entier naturel.
Soient f et g deux fonctions de classe C k sur un intervalle ouvert I.
(1) f + g est de classe C k
(2) f g est de classe C k
(3)
f
g
est de classe C k
(4) Si g(I) ⊂ I, alors gof est de classe C k
44
4.4.6
Limite finie en un réel des dérivées n-ième
Théorème 24.
Soit I un intervalle ouvert.
Soit x0 un réel de I
. Soit k un entier naturel.
Soit f une fonction de classe C k sur au moins I − {a}.
Si ∀i ∈ N ∩ [0; k], f (i) admet une limite finie li en x0 ,
alors f est de classe C k sur au moins I.
45