cours mg2

Analyse réelle: cours de S2 licence de mathématiques
Par Emmanuel Royer, mis au propre par Langlois Florian
Année scolaire 2014-2015

Table des matières
1 Opérations sur les énoncés 4
1.1 Lesopérationsdebases.................................. 4
1.1.1 Lanégation .................................... 4
1.1.2 L’opération«ou» ................................ 4
1.1.3 L’opération«et»................................. 5
1.1.4 Négation de « ou » et de « et » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Lesquantificateurs .................................... 5
1.2.1 L’expression « pour tout » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 L’expresion«ilexiste».............................. 6
1.2.3 Négation de ∀et de ∃............................... 6
1.3 Relationsentrelesénoncés................................ 6
1.3.1 Implication .................................... 6
1.3.2 La contraposé d’une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Négation de l’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 L’implication réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.5 Equivalence .................................... 8
2 Nombres rationnels et nombres réels 9
2.1 Nombresrationnels.................................... 9
2.1.1 Définition ..................................... 9
2.1.2 Addition de deux rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Multiplication de deux rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Propriétédecorps ................................ 11
2.2 Nombresréels....................................... 11
2.2.1 Les nombres irrationnels : Qu’est-ce que √2? ................. 11
2.2.2 Les nombres irrationnels : Raisonnement par contraposé . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Les nombres irrationnels : Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . 12
2.2.4 Les nombres irrationnels : Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.5 Infinité de l’ensemble des irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.6 L’ensembledesréels ............................... 13
2.2.7 Densité de Qet de R−Qdans R........................ 13
2.2.8 Partie entière d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.9 Ensemble des décimaux et approximation décimale . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Limite et continuité d’une fonction 16
3.1 Continuité......................................... 16
3.1.1 Rappel : limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1

3.1.2 Définition séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3 Défintioncontinue ................................ 17
3.2 Continuité au bord d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Généralisation à des intervalles non forcément ouverts . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Continuité des fonctions associées : opérations usuelles . . . . . . . . . . . . 18
3.2.3 Continuité des fonctions associées : composition de fonctions . . . . . . . . . 22
3.3 Limitefinieenunréel .................................. 22
3.3.1 Définition ..................................... 22
3.3.2 Lien avec la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.3 Limite réelle et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.4 Unicitédelalimite................................ 24
3.3.5 Opérations usuelles sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.6 Composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.7 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.8 Limite à gauche et limite à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Limites en l’infini et limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 Limites finie en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 Limites finie en l’infini et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.3 Limites infinies en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.4 Limites infinies en l’infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.5 Résumé des opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Limitesetcomparaisons ................................. 28
3.5.1 Comparaisons des limites en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.2 Comparaisons des limites en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.3 Théorème de l’encadrement (ou des gendarmes) . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.4 Théorème de comparaison en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Continuitéetintervalles ................................. 30
3.6.1 Théorèmes des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6.2 Image d’un intervalle par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6.3 Intervalleetbornes................................ 31
3.7 Fonctionsréciproques................................... 31
3.7.1 Fonctioninjective................................. 31
3.7.2 Fonctionmonotone................................ 31
3.7.3 Lien entre monotonie et injectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7.4 Fonctionsurjective ................................ 32
3.7.5 Fonctionbijective................................. 32
3.7.6 Bijection et fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7.7 Arcsinus : la réciproque de la fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7.8 Arccosinus : la réciproque de la fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Dérivabilité 35
4.1 Dérivéed’unefonction .................................. 35
4.1.1 Définitionusuelle ................................. 35
4.1.2 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.3 Nouvelledéfinition ................................ 36
4.1.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.5 Dérivabilité à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2

4.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Somme....................................... 37
4.2.2 Produit ...................................... 38
4.2.3 Inverse....................................... 38
4.2.4 Quotient...................................... 38
4.2.5 Composition.................................... 38
4.2.6 Dérivée des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.7 Dérivée des fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.8 La dérivée de Arcsinus et de Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Utilisationdeladérivée ................................. 40
4.3.1 Extremumlocal.................................. 40
4.3.2 ThéorèmedeRolle ................................ 40
4.3.3 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.5 Fonction k-lipschitzienne............................. 41
4.3.6 Limite finie de la dérivée en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.7 Constanceetdérivée ............................... 42
4.3.8 Croissanceetdérivée ............................... 42
4.3.9 Décroissance et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.10 Stricte croissance et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.11 Stricte décroissance et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Classedefonction..................................... 43
4.4.1 Dérivée n-ième .................................. 43
4.4.2 FormuledeLeibniz ................................ 44
4.4.3 Fonction de classe Ck............................... 44
4.4.4 Fonction de classe C∞.............................. 44
4.4.5 Opérations sur les classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.6 Limite finie en un réel des dérivées n-ième ................... 45
3

Chapitre 1
Opérations sur les énoncés
1.1 Les opérations de bases
1.1.1 La négation
•Si P est un énoncé, il est soit vrai, soit faux.
•La négation de P, notée non(P), est fausse quand P est vrai et vraie quand P est faux.
•Exemple :
La négation de l’énoncé "13127−13
127 est un entier" est l’énoncé "13127−13 127 n’est pas un entier".
•Nous pouvons dresser la table de vérité de l’opérateur « non » :
Pnon(P)
0 1
1 0
1.1.2 L’opération « ou »
•Si Pet Qsont deux énoncés, l’énoncé « Pou Q»est vrai si et seulement si l’un au moins
des deux énoncés est vrai.
•Exemple :
(Il exite deux entiers aet bdifférents de 1tels que ab = 127) ou (13127 −13
127 est un entier)
•Nous pouvons dresser la table de vérité de l’opérateur « ou » :
P Q P ou Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
4