HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES Symétries

HABILITATION A DIRIGER DES
RECHERCHES
Sp´ecialit´e : MATH´ EMATIQUES
pr´esent´e par
J´er´emie UNTERBERGER
Sujet:
Sym´etries dynamiques schr¨oding´eriennes et
singularit´es locales des champs gaussiens
fractionnaires
Soutenue le 06 d´ecembre 2010
devant le jury compos´e de :
M. Valentin Ovsienko Charg´e de Recherches Universit´e Lyon I Rapporteur
M. Michel Ledoux Professeur Universit´e Toulouse III Rapporteur
M. Pierre Vallois Professeur Universit´e Nancy I Pr´esident
M. Malte Henkel Professeur Universit´e Nancy I Examinateur
M. Michel Bauer Directeur de Recherches CEA Examinateur
M. Massimiliano Gubinelli Professeur Universit´e Paris Dauphine Examinateur
M. Volodya Roubtsov Professeur Universit´e d’Angers Examinateur

2

Table des mati`eres
0 R´esum´e et liste d’articles 7
0.1 Sym´etries dynamiques schr¨oding´eriennes . . . . . . . . . . . . 8
0.2 Singularit´es locales des processus gaussiens . . . . . . . . . . 9
0.3 Liste de publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.3.1 Analyse harmonique sur les groupes de Lie . . . . . . 12
0.3.2 Physique math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.3.3 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.3.4 Comptes-rendus de conf´erences et de l’Acad´emie des
Sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 Sym´etries dynamiques schr¨oding´eriennes 15
1.1 Pr´esentation g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 R´esultats alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Graduations, d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Plongement conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Repr´esentation coadjointe . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 Modules de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5 Repr´esentations coinduites . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.6 Repr´esentations vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.7 Etude cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Formes normales schr¨oding´eriennes . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Covariance g´en´erale sous le goupe de Schr¨odinger-Virasoro 30
1.3.2 Un d´etour par la dimension finie: les op´erateurs de Hill 31
1.3.3 Orbites de Saff
≤2sous SV . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.4 Solution et probl`eme du probl`eme classique associ´e . . 35
1.3.5 Solution et monodromie du probl`eme quantique . . . . 36
1.4 Structures poissonniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Singularit´es locales des champs gaussiens 43
3

4TABLE DES MATI ` ERES
2.1 Pr´esentation g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Description des principaux r´esultats . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Outils analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 D´efinition du brownien fractionnaire analytique et ap-
proximation analytique du brownien fractionnaire . . 51
2.3.2 Etude des noyaux de convolution . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Chemin rugueux associ´e au brownien fractionnaire an-
alytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.4 Aire et volume de L´evy du brownien fractionnaire
d’indice >1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.5 R´esolution approch´ee d’´equations diff´erentielles stochas-
tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.6 Th´eor`eme central limite pour l’aire de L´evy renormalis´ee 63
2.4 Ordre normal de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1 Aire de L´evy r´egularis´ee du brownien fractionnaire . . 66
2.4.2 L’algorithme de mise en ordre normal de Fourier . . . 70
2.4.3 R´egularisation de domaine . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.4 Renormalisation `a la BPHZ: une esquisse . . . . . . . 82
2.4.5 De la th´eorie constructive des champs au calcul stochas-
tique fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

TABLE DES MATI ` ERES 5
HABILITATION A DIRIGER DES
RECHERCHES
Sp´ecialit´e : math´ematiques
Sym´etries dynamiques schr¨oding´eriennes et
singularit´es locales des champs gaussiens
fractionnaires
J´er´emie UNTERBERGER 1
Institut Elie Cartan de Nancy, Laboratoire de Math´ematiques - Universit´e
Nancy I - B.P. 239 - 54506 Vandoeuvre-les-Nancy Cedex
Nous pr´esentons dans ce m´emoire les deux axes de recherche principaux
d´evelopp´es de 2000 `a 2010, autour de la physique math´ematique et de la
th´eorie des processus stochastiques.
Le premier a pour objet l’alg`ebre de Lie de dimension infinie, dite de
Schr¨odinger-Virasoro, introduite dans les ann´ees 1990 dans le cadre de
travaux sur l’invariance g´eom´etrique en physique statistique hors-´equilibre.
L’´etude de sa cohomologie et de ses repr´esentations aboutit `a des g´en´eralisations
non triviales de r´esultats obtenus ant´erieurement pour l’alg`ebre de Vira-
soro et ses extensions semi-directes par modules de densit´e. L’alg`ebre de
Schr¨odinger-Virasoro se r´ealise en tant que sym´etries d’une famille naturelle
d’op´erateurs de Schr¨odinger d´ependant du temps; la classification des formes
normales de ces op´erateurs sous son action permet de d´eterminer la mon-
odromie. Elle peut ´egalement ˆetre vue comme quotient d’une extension de
l’alg`ebre de Poisson sur le tore. Les deux points de vue font apparaˆıtre des
structures hamiltoniennes originales.
Le deuxi`eme concerne – dans une optique essentiellement probabiliste
– les propri´et´es fines des int´egrales it´er´ees de chemins multidimensionnels
de faible r´egularit´e H¨older, lorsque les int´egrales ordinaires (ou celles de
Young) divergent. Dans le cadre de la th´eorie des chemins rugueux ou rough
paths, introduite par T. Lyons `a la fin des ann´ees 1990, nous construisons
une r´egularisation des int´egrales it´er´ees `a l’aide d’une combinatoire d’alg`ebre
de Hopf sur les arbres s’inspirant de travaux classiques d’A. Connes et D.
Kreimer. L’analyse multi-´echelles utilis´ee pour d´emontrer la convergence
provient de l’´etude des graphes de Feynman en th´eorie des champs et de leur
renormalisation. En guise d’application, nous obtenons un calcul stochas-
tique pour un brownien fractionnaire Bd’indice de Hurst quelconque. Nous
d´efinissons ´egalement une approximation analytique de Bpermettant de
r´eduire les probl`emes de convergence d’objets limites construits `a partir
de Bou encore du brownien fractionnaire analytique (li´es `a la r´esolution
d’´equations diff´erentielles stochastiques) `a l’´etude, par d´eformation de con-
tour complexe, des singularit´es locales d’op´erateurs de convolution `a noyau
fractionnaire.
1jeremie.unterb[email protected].fr