exercices 1std2a polygones réguliers

EXERCICES
1STD2A
POLYGONES RÉGULIERS
Exercice 1
1. Construire un hexagone régulier ABCDEF en utilisant le compas.
2. Montrer que les triangles ACE et BDF sont équilatéraux.
3. Montrer que le triangle ABD est rectangle. Trouvez-en d'autres.
4. Montrer que le triangle ABC est isocèle d'angle principal 120°. Trouvez-en d'autres.
5. Préciser tous les axes de symétrie de l'hexagone régulier.
6. Trouver une transformation du plan transformant ABD en BCE, puis ABD en CEF.
Exercice 2 : Déterminer la mesure des angles d'un polygone régulier à n côtés en fonction de n.
Rappel : la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Exercice 3 : Construction du nombre d'or:
On considère un carré ABCD de côté 1; Le point I est le milieu de [AB].
Le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [AB) en E.
Montrer que AE = 1 =
121 2 3
4
.
Exercice 4
On considère le décagone régulier ABCDEFGHIJ ci-contre.
La bissectrice de l'angle 3
567 coupe [OB] en I.
1. Montrer que le triangle AIB est isocèle.
2. Montrer que les triangles AOB et AIB ont des angles de même mesure.
87
67
3. En déduire que
=
.
67
57
67
57
67
4. En déduire que
=
– 1. En posant x =
, montrer que x est solution de l'équation x² + x – 1 = 0.
57
67
57
5. Déterminer alors la valeur de x .
6. En prenant OB = 1, en déduire une construction du décagone régulier ( pour le dessin, prendre OB = 5 cm).
Exercice 5
On considère un pentagone régulier ABCDE. On note d la longueur de la
diagonale de ce pentagone et c la longueur du côté. Soit F le point
d'intersection des diagonales [AC] et [BE].
1. Montrer que les points B, F et A sont trois sommets consécutifs d'un
pentagone régulier.
2. Montrer que les droites (BE) et (CD) sont parallèles. En déduire la
nature du quadrilatère CDEF.
1
67
2
3. Montrer que
=
=
.
2
97
142
1
4. En posant x =
, montrer que x est solution de
2
l'équation x² – x – 1 = 0. Déterminer x.
Exercice 6
1. Construire un dodécagone régulier ABCDEFGHIJKL
en utilisant la règle et le compas.
2. On peut découper le dodécagone en 6 morceaux comme sur la
figure ci-contre pour constituer un carré.
3. Préciser la mesure des angles 3
BAD , 3
HDE , 3
IMA ,
ABC , 3
3
IAM .
3. Construire un carré de 15 cm de côté. Construire quatre triangles
équilatéraux à partir des côtés du carré et à l'intérieur de celui-ci.
Les triangles se coupent en huit des douze sommets du dodécagone
régulier. Construire alors les quatre sommets restants.
EXERCICES
1STD2A
POLYGONES RÉGULIERS (2)
Exercice 7
Le pentagone régulier a été historiquement difficile à dessiner. Pythagore et ses disciples ont été les premiers à
savoir le dessiner et ils ont bien caché leur secret. L'astuce de Pythagore pour le dessiner a consister à construire
cinq triangles équilatéraux de même dimension afin de former une pyramide à cinq faces. Puis, à l'aide d'un
crayon, il a dessiné les contours de la base de la pyramide ainsi obtenu ce qui lui a donné le pentagone régulier.
Le symbole des Pythagoriciens était l'étoile à cinq branches obtenue avec les diagonales du pentagone régulier.
Construire par cette méthode un pentagone régulier de 5 cm de côté.
Exercice 8
1. Calculer la longueur d'un côté de l'hexagone régulier ABCDEF en fonction du rayon R du cercle circonscrit,
puis le périmètre, puis l'aire de l'hexagone.
2. Calculer la longueur de la diagonale AC en fonction du rayon R.
3. Donner une valeur approchée des grandeurs sachant que le rayon R = 4 cm.
Exercice 9
Le but de l'exercice est de calculer la longueur d'un côté, d'une diagonale, le périmètre et l'aire de l'octogone en
fonction du rayon du cercle circonscrit.
1. Construire un octogone régulier ABCDEFGH de centre O en utilisant la règle et le compas. Le cercle
circonscrit est de rayon 4 cm.
2. Dans le triangle OAB, on considère le point K pied de la hauteur issue de A sur le côté [OB].
a) Montrer que le triangle OAK est rectangle isocèle en K.
b) En déduire la longueur OK en fonction du rayon R du cercle.
c) En déduire la longueur KB.
3. Déterminer alors la longueur AB en fonction de R.
4. Donner une valeur approchée de AB sachant que R = 4 cm.
5. Déterminer la hauteur issue de O ans le triangle OAB.
6. En déduire l'aire du triangle OAB, puis l'aire de l'octogone régulier.
7. Calculer la longueur de la diagonale AC, puis l'aire du carré ACEG.
8. a) Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
b) En déduire les angles du quadrilatère ABCD.
c) Calculer la longueur de la diagonale AD, puis l'aire du quadrilatère ABCD.
Exercice 10
Le but de l'exercice est de calculer la longueur d'un côté, d'une diagonale, le périmètre et l'aire du dodécagone en
fonction du rayon du cercle circonscrit.
1. Construire un dodécagone régulier ABCDEFGHIJKL de centre O en utilisant la règle et le compas.
2. Montrer que le triangle OAC est équilatéral.
3. Soit T le point d'intersection des droites (AC) et (OB).
a) Déterminer OT en fonction du rayon R du cercle circonscrit.
b) En déduire TB.
c) En déduire la longueur AB en fonction du rayon R.
4. En déduire le périmètre du dodécagone.
5. Soit S le milieu de [AB].
a) Déterminer la longueur OS.
b) En déduire l'aire du triangle OAB, puis l'aire du dodécagone.
6. Calculer la longueur de la diagonale AC, puis l'aire du carré ACEG.