Sheet 2

Cours d’Algèbre
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 5
4 octobre 2010
Corrigé de la série 2
Exercice 1
a) Il y a exactement quatre restes possibles pour la division par 4: 0, 1, 2 et 3. Donc il
y a au plus quatre classes de congruences ([0]4 , [1]4 , [2]4 et [3]4 ). Mais on observe que ces
4 classes sont différentes deux à deux: pour 0 ≤ i, j ≤ 3, i 6= j, on a −3 ≤ i − j ≤ 3 et
i − j 6= 0, donc 4 ne peut pas diviser i − j et alors [i]4 6= [j]4 . Par conséquent il y a quatre
classes de congruences modulo 4 et ce sont précisément [0]4 , [1]4 , [2]4 et [3]4 .
b) On sait que deux entiers relatifs qui sont congrus modulo n définissent la même classe
de congruence modulo n: Si a ≡ b (mod n), alors [a]n = [b]n . Donc pour donner un autre
représentant de la classe [0]4 , il suffit de trouver un entier relatif congru à 0 modulo 4, par
example 4. Donc on peut écrire [0]4 = [4]4 (mais aussi = [8]4 = [−12]4 etc.). De manière
analogue, [1]4 = [3]4 , [2]4 = [−2]4 et [3]4 = [15]4 .
Exercice 2
a) On considère l’anneau Z/3Z. On observe que tout élément non-nul de cet anneau est
inversible: [1]3 · [1]3 = [1]3 , donc [1]3 est inversible et son inverse est lui-même; [2]3 · [2]3 =
[1]3 , donc [1]3 est inversible et son inverse est lui-même.
On considère maintenant l’anneau Z/8Z. Pour tout élément [a]8 on essaie de trouver
un [b]8 tel que [a]8 · [b]8 = [1]8 (i.e. 8|ab − 1). Dans ce cas-là, [a]8 sera inversible et
son inverse sera [b]8 . Par exemple, on a [3]8 · [3]8 = [1]8 , donc [3]8 est inversible et son
inverse est lui-même; [5]8 · [5]8 = [1]9 , donc [5]8 est inversible et son inverse est lui-même;
[7]8 · [7]8 = [1]8 , donc [7]8 est inversible et son inverse est lui-même. On obsere que pour les
éléments [2]8 , [4]8 et [6]8 on ne peut pas trouver un inverse, donc ils ne sont pas inversibles.
De manière analogue, les unités de l’anneau Z/12Z sont [1]12 , [5]12 , [7]12 et [11]12 et
([1]12 )−1 = [1]12 , ([5]12 )−1 = [5]12 , ([7]12 )−1 = [7]12 , respectivement ([11]12 )−1 = [11]12 .
Remarque: On peut aussi utiliser le résultat suivant: Soit n un entier natural non-nul
et [a]n un élément de Z/nZ. Alors [a]n est une unité si et seulement si a et n sont premiers
entre eux (i.e. pgcd(a, n) = 1).
Par exemple pour n = 8, on en déduit que les unités de Z/8Z sont précisément [1]8 ,
[3]8 , [5]8 et [7]8 . Par contre, cette méthode ne nous fournit pas l’inverse de ces éléments.
b) Comme un diviseur de zéro ne peut jamais être inversible, il suffit de parcourir les
éléments non-inversibles et non-nuls des anneaux donnés et pour chaque tel élément [a]n
de chercher un [b]n tel que [a]n · [b]n = [0]n (i.e. n|ab).
On voit que tous les éléments non-nuls de Z/3Z sont inversibles, donc il n’y a pas de
diviseurs de zéro dans cet anneau. On considère maintenant l’anneau Z/8Z. La liste des
éléments non-inversibles et non-nuls est [2]8 , [4]8 et [6]8 et on vérifie facilement que ce sont
tous des diviseurs de zéro: on a [2]8 · [4]8 = [0]8 et [6]8 · [4]8 = [0]8 .
On considère l’anneau Z/12Z. La liste des éléments non-inversibles et non-nuls est
[2]12 , [3]12 , [4]12 , [6]12 , [8]12 , [9]12 et [10]12 et on vérifie facilement que ce sont tous des
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diviseurs de zéro: on a [2]12 · [6]12 = [0]12 , [3]12 · [4]12 = [0]12 , [8]12 · [9]12 = [0]12 et
[10]12 · [6]12 = [0]12 .
Remarque: On peut aussi utiliser le résultat suivant: Soit n un entier natural non-nul
et [a]n un élément non-nul de Z/nZ. Alors [a]n est un diviseur de zéro si et seulement si
a et n ne sont pas premiers entre eux (i.e. pgcd(a, n) 6= 1).
Par exemple pour n = 8, on en déduit que les diviseurs de zéro de Z/8Z sont précisément
[2]8 , [4]8 et [6]8 . Par contre, cette méthode ne nous fournit pas pour un tel élément [a]8
un élément [b]8 tel que [a]8 · [b]8 = [0]8 .
c) Il est immédiat qu’uniquement Z/3Z est un corps.
Remarque: On peut aussi utiliser le résultat suivant: Soit n un entier natural non-nul.
Alors Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
Exercice 3
a) Résoudre l’équation 2x ≡ 3 (mod 5) signifie de trouver tous les entiers relatifs x tels
que 2x ≡ 3 (mod 5). Mais on observe que deux tels entiers sont congrus modulo 5: si
2x ≡ 3 (mod 5) et 2y ≡ 3 (mod 5), alors 2x ≡ 2y ≡ 0 (mod 5), i.e. 5|2(x − y) et comme
pgcd(5, 2) = 1, on en déduit que 5|x − y, i.e. x ≡ y (mod 5). Réciproquement, si x0
est une solution de l’équation 2x ≡ 3 (mod 5) et x ≡ x0 (mod 5), alors x est aussi une
solution de l’équation 2x ≡ 3 (mod 5). Donc les solutions cherchées forment une classe de
congruence et alors pour les déterminer toutes, il suffit d’en trouver une (on obtient les
autres en ajoutant des multiples de 5 à la solution particulière calculée).
Pour trouver une solution de léquation 2x ≡ 3 (mod 5) il faut et il suffit de trouver un
pair d’entiers relatifs (x, y) tel que 2x + 5y = 3. Pour cela faire il suffit de trouver un pair
d’entiers relatifs (x0 , y 0 ) tels que 2x0 + 5y 0 = 1, car on peut prendre x = 3x0 et y = 3y 0 .
Mais l’algorithme d’Euclide appliqué aux nombres 2 et 5 nous donne l’identité de Bézout
2 · (−2) + 5 · 1 = 1, donc on peut prendre x0 = −2 et y 0 = 1. Par conséquent une solution
particulière de l’équation 2x ≡ 3 (mod 5) est −6 (ou par exemple 4), donc l’ensemble des
solutions est {−6 + 5t|t ∈ Z}.
Remarque: On pourra observer que l’équation 2x ≡ 3 (mod 5) est équivalente à
l’équation [2]5 · [x]5 = [3]5 dans Z/5Z. Comme [2]5 est inversible et son inverse est [3]5 , la
solution unique de la dernière équation est ([2]5 )−1 · [3]5 = [3]5 · [3]5 = [4]5 . On en déduit
que l’ensemble des solution de l’équation 2x ≡ 3 (mod 5) est la classe de congruence [4]5 .
b) Comme vu au point précédent, il suffit de chercher une solution particulière. Pour
l’obtenir, il suffit de trouver un pair d’entiers relatifs (x, y) tel que 5x + 7y = 2. On voit
facilement qu’on peut prendre x = −1 et y = 1, donc −1 est une soluton particulière de
l’équation 5x ≡ 2 (mod 7). L’ensemble des solutions est alors {−1 + 5t|t ∈ Z}.
c) Comme vu au points précédents, il suffit de chercher une solution particulière. Pour
l’obtenir, il suffit de trouver un pair d’entiers relatifs (x, y) tel que 13x + 15y = 5. On
applique l’algorithme d’Euclide:
15 = 13 · 1 + 2
13 = 6 · 2 + 1.
En remontant l’algorithme, on obtient
1 = 13 − 6 · 2 = 13 − 6(15 · 1 − 13 · 1) = 7 · 13 + (−6) · 15,
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donc l’identité de Bézout 7·13+(−6)·15 = 1. Alors 35 = 5·7 est une solution particulière de
l’équation 13x ≡ 5 (mod 15). Par conséquent l’ensemble des solutions est {35 + 15t|t ∈ Z}.
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