Sheet 2

Cours d’Alg` ebre Bachelor Semestre 5
Prof. E. Bayer Fluckiger 4 octobre 2010
Corrig´e de la s´erie 2
Exercice 1
a) Il y a exactement quatre restes possibles pour la division par 4: 0, 1, 2 et 3. Donc il
y a au plus quatre classes de congruences ([0]4, [1]4, [2]4et [3]4). Mais on observe que ces
4 classes sont diff´erentes deux `a deux: pour 0 ≤i, j ≤3, i6=j, on a −3≤i−j≤3 et
i−j6= 0, donc 4 ne peut pas diviser i−jet alors [i]46= [j]4. Par cons´equent il y a quatre
classes de congruences modulo 4 et ce sont pr´ecis´ement [0]4, [1]4, [2]4et [3]4.
b) On sait que deux entiers relatifs qui sont congrus modulo nd´efinissent la mˆeme classe
de congruence modulo n: Si a≡b(mod n), alors [a]n= [b]n. Donc pour donner un autre
repr´esentant de la classe [0]4, il suffit de trouver un entier relatif congru `a 0 modulo 4, par
example 4. Donc on peut ´ecrire [0]4= [4]4(mais aussi = [8]4= [−12]4etc.). De mani`ere
analogue, [1]4= [3]4, [2]4= [−2]4et [3]4= [15]4.
Exercice 2
a) On consid`ere l’anneau Z/3Z. On observe que tout ´el´ement non-nul de cet anneau est
inversible: [1]3·[1]3= [1]3, donc [1]3est inversible et son inverse est lui-mˆeme; [2]3·[2]3=
[1]3, donc [1]3est inversible et son inverse est lui-mˆeme.
On consid`ere maintenant l’anneau Z/8Z. Pour tout ´el´ement [a]8on essaie de trouver
un [b]8tel que [a]8·[b]8= [1]8(i.e. 8|ab −1). Dans ce cas-l`a, [a]8sera inversible et
son inverse sera [b]8. Par exemple, on a [3]8·[3]8= [1]8, donc [3]8est inversible et son
inverse est lui-mˆeme; [5]8·[5]8= [1]9, donc [5]8est inversible et son inverse est lui-mˆeme;
[7]8·[7]8= [1]8, donc [7]8est inversible et son inverse est lui-mˆeme. On obsere que pour les
´el´ements [2]8, [4]8et [6]8on ne peut pas trouver un inverse, donc ils ne sont pas inversibles.
De mani`ere analogue, les unit´es de l’anneau Z/12Zsont [1]12, [5]12, [7]12 et [11]12 et
([1]12)−1= [1]12, ([5]12)−1= [5]12, ([7]12)−1= [7]12, respectivement ([11]12)−1= [11]12.
Remarque: On peut aussi utiliser le r´esultat suivant: Soit nun entier natural non-nul
et [a]nun ´el´ement de Z/nZ. Alors [a]nest une unit´e si et seulement si aet nsont premiers
entre eux (i.e. pgcd(a, n) = 1).
Par exemple pour n= 8, on en d´eduit que les unit´es de Z/8Zsont pr´ecis´ement [1]8,
[3]8, [5]8et [7]8. Par contre, cette m´ethode ne nous fournit pas l’inverse de ces ´el´ements.
b) Comme un diviseur de z´ero ne peut jamais ˆetre inversible, il suffit de parcourir les
´el´ements non-inversibles et non-nuls des anneaux donn´es et pour chaque tel ´el´ement [a]n
de chercher un [b]ntel que [a]n·[b]n= [0]n(i.e. n|ab).
On voit que tous les ´el´ements non-nuls de Z/3Zsont inversibles, donc il n’y a pas de
diviseurs de z´ero dans cet anneau. On consid`ere maintenant l’anneau Z/8Z. La liste des
´el´ements non-inversibles et non-nuls est [2]8, [4]8et [6]8et on v´erifie facilement que ce sont
tous des diviseurs de z´ero: on a [2]8·[4]8= [0]8et [6]8·[4]8= [0]8.
On consid`ere l’anneau Z/12Z. La liste des ´el´ements non-inversibles et non-nuls est
[2]12, [3]12, [4]12, [6]12, [8]12, [9]12 et [10]12 et on v´erifie facilement que ce sont tous des
1

diviseurs de z´ero: on a [2]12 ·[6]12 = [0]12, [3]12 ·[4]12 = [0]12, [8]12 ·[9]12 = [0]12 et
[10]12 ·[6]12 = [0]12.
Remarque: On peut aussi utiliser le r´esultat suivant: Soit nun entier natural non-nul
et [a]nun ´el´ement non-nul de Z/nZ. Alors [a]nest un diviseur de z´ero si et seulement si
aet nne sont pas premiers entre eux (i.e. pgcd(a, n)6= 1).
Par exemple pour n= 8, on en d´eduit que les diviseurs de z´ero de Z/8Zsont pr´ecis´ement
[2]8, [4]8et [6]8. Par contre, cette m´ethode ne nous fournit pas pour un tel ´el´ement [a]8
un ´el´ement [b]8tel que [a]8·[b]8= [0]8.
c) Il est imm´ediat qu’uniquement Z/3Zest un corps.
Remarque: On peut aussi utiliser le r´esultat suivant: Soit nun entier natural non-nul.
Alors Z/nZest un corps si et seulement si nest un nombre premier.
Exercice 3
a) R´esoudre l’´equation 2x≡3 (mod 5) signifie de trouver tous les entiers relatifs xtels
que 2x≡3 (mod 5). Mais on observe que deux tels entiers sont congrus modulo 5: si
2x≡3 (mod 5) et 2y≡3 (mod 5), alors 2x≡2y≡0 (mod 5), i.e. 5|2(x−y) et comme
pgcd(5,2) = 1, on en d´eduit que 5|x−y, i.e. x≡y(mod 5). R´eciproquement, si x0
est une solution de l’´equation 2x≡3 (mod 5) et x≡x0(mod 5), alors xest aussi une
solution de l’´equation 2x≡3 (mod 5). Donc les solutions cherch´ees forment une classe de
congruence et alors pour les d´eterminer toutes, il suffit d’en trouver une (on obtient les
autres en ajoutant des multiples de 5 `a la solution particuli`ere calcul´ee).
Pour trouver une solution de l´equation 2x≡3 (mod 5) il faut et il suffit de trouver un
pair d’entiers relatifs (x, y) tel que 2x+ 5y= 3. Pour cela faire il suffit de trouver un pair
d’entiers relatifs (x0, y0) tels que 2x0+ 5y0= 1, car on peut prendre x= 3x0et y= 3y0.
Mais l’algorithme d’Euclide appliqu´e aux nombres 2 et 5 nous donne l’identit´e de B´ezout
2·(−2) + 5 ·1 = 1, donc on peut prendre x0=−2 et y0= 1. Par cons´equent une solution
particuli`ere de l’´equation 2x≡3 (mod 5) est −6 (ou par exemple 4), donc l’ensemble des
solutions est {−6+5t|t∈Z}.
Remarque: On pourra observer que l’´equation 2x≡3 (mod 5) est ´equivalente `a
l’´equation [2]5·[x]5= [3]5dans Z/5Z. Comme [2]5est inversible et son inverse est [3]5, la
solution unique de la derni`ere ´equation est ([2]5)−1·[3]5= [3]5·[3]5= [4]5. On en d´eduit
que l’ensemble des solution de l’´equation 2x≡3 (mod 5) est la classe de congruence [4]5.
b) Comme vu au point pr´ec´edent, il suffit de chercher une solution particuli`ere. Pour
l’obtenir, il suffit de trouver un pair d’entiers relatifs (x, y) tel que 5x+ 7y= 2. On voit
facilement qu’on peut prendre x=−1 et y= 1, donc −1 est une soluton particuli`ere de
l’´equation 5x≡2 (mod 7). L’ensemble des solutions est alors {−1+5t|t∈Z}.
c) Comme vu au points pr´ec´edents, il suffit de chercher une solution particuli`ere. Pour
l’obtenir, il suffit de trouver un pair d’entiers relatifs (x, y) tel que 13x+ 15y= 5. On
applique l’algorithme d’Euclide:
15 = 13 ·1+2
13 = 6 ·2+1.
En remontant l’algorithme, on obtient
1 = 13 −6·2 = 13 −6(15 ·1−13 ·1) = 7 ·13 + (−6) ·15,
2

donc l’identit´e de B´ezout 7·13+(−6)·15 = 1. Alors 35 = 5·7 est une solution particuli`ere de
l’´equation 13x≡5 (mod 15). Par cons´equent l’ensemble des solutions est {35+15t|t∈Z}.
3