Arithmétique dans Z I. Multiples et diviseurs dans Z et N II. Division

Gaudino, casier 5
P.C.S.I. 834
version N1.2 (12 décembre 2013)
Arithmétique dans Z
Lycée Masséna
Rappel : toute partie non vide de N admet un plus petit élément, et toute partie non vide majorée de N admet un
plus grand élément.
I.
Multiples et diviseurs dans Z et N
I.1.
Définition
définition 1. Soient a et b dans Z. On dit que b divise a, noté b|a, lorsqu’il existe k ∈ Z tel que a = bk.
0 ne divise que 0, 1 et −1 divisent tout entier relatif. 0 est divisible par tout entier.
Lemme 1. Si b|a alors a = 0 ou |b| ≤ |a| .
I.2.
Relation d’ordre
– Sur Z : réflexivité, transitivité. Ni symétrique, ni antisymétrique.
– Sur N : réflexivité, transitivité, antisymétrique, mais pas total. On parle d’ordre non total.
II.
Division euclidienne dans N
II.1.
Division euclidienne
Théorème 2. Soit a ∈ N et b ∈ N∗ . Il existe un unique couple (q, r) ∈ Z2 qui vérifie (q est appelé le quotient, r le
reste) :
a = bq + r et 0 ≤ r < b
Calcul de q par la partie entière (mais preuve par le plus grand entier q tel que bq ≤ a). Extension aisée au cas a ∈ Z.
Proposition 3. b|a si et seulement si r = 0.
Programmation en Python dans N.
II.2.
Congruence dans Z
définition 2. Soit n ∈ N∗ , et a et b deux entiers relatifs. On dit que a est congru à b modulo n lorsqu’il existe k ∈ Z
tel que a = b + kn. On note a ≡ b[n].
Proposition 4. a est congru modulo n à son reste dans la division euclidienne de a par n.
Intérêts : savoir si a et b ont le même reste, savoir si a est multiple de n.
Opérations :
– Somme et différence : si a ≡ b[n] et c ≡ d[n] alors a + c ≡ b + d[n] et a − c ≡ b − d[n].
– Produit : si a ≡ b[n] et m ∈ N∗ alors am ≡ bm[nm].
Néanmoins, comme il s’agit de multiplier par un entier naturel, on garde aussi la conclusion am ≡ bm[n].
Exemple : a2 + a + 1 est toujours impair.
II.3.
Relation d’équivalence
Théorème 5. La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence : réflexive, transitive, symétrique.
définition 3. Soit a ∈ Z. On note C(a) l’ensemble des entiers congrus à a modulo n. On l’appelle classe d’équivalence
de a.
Proposition 6. Les classes d’équivalences forment une partition de Z : elles sont deux-à-deux disjointes, et leur
réunion est Z.
Exemples de classes. Cette notion s’étend à toute relation d’équivalence (modulo sur R, matrices équivalentes par
lignes par exemple).
1
III.
Nombres premiers dans N
III.1.
Définition
définition 4. On appelle nombre premier tout entier naturel supérieur à 2 qui n’admet comme diviseur dans N que 1
et lui-même.
Vocabulaire de nombre irréductible dans Z.
√
Rem : pour prouver que n est premier, il suffit de chercher des diviseurs ≤ n.
III.2.
Deux résultats importants
Théorème 7. Tout entier naturel supérieur à 2 admet (au moins) un diviseur premier.
pv par récurrence forte ou en considérant le plus petit diviseur supérieur à 2 de n.
Proposition 8. Il existe une infinité de nombres premiers.
!
n
Y
pv : On considère P = {x1 , · · · , xn } et y =
xk + 1. y ≥ 2 n’admet aucun diviseur premier : contradiction.
k=0
III.3.
Décomposition
Théorème 9 (admis). Il existe une décomposition de tout entier naturel supérieur à 2 en produit de nombres premiers,
décomposition unique à l’ordre près.
Y
Y ν
Notation n =
qk avec des nombres premiers pas tous distincts, ou n =
pkk avec des nombres premiers tous
distincts. Notion de valuation νk
Exercice : Soient a et b entiers supérieurs à 2. a|b ssi ∀k, νk (a) ≤ νk (b).
III.4.
Crible d’Eratosthène (programmation Python)
– On écrit l’ensemble de tous les entiers (supérieurs à 2) ;
– le premier élément (2) est premier : on le retire, ainsi que ses multiples ;
– le premier élément (3) est premier : on le retire, ainsi que ses multiples ;
– le premier élément (5) est premier : on le retire, ainsi que ses multiples . . .
pv : à chaque étape, on a retiré les multiples des entiers inférieurs. Ne restent donc que les entiers qui n’ont aucun
diviseur autre que 1 et lui-même.
IV.
PGCD et PPCM dans N
IV.1.
Définitions
définition 5. Soient a et b deux entiers naturels non-nuls. On appelle pgcd(a, b), noté aussi a ∧ b, leur plus grand
commun diviseur (dans N).
On appelle ppcm(a, b), noté aussi a ∨ b, leur plus petit commun multiple (dans N).
Soit a entier naturel non-nul : on définit (cas particulier) pgcd(a, 0) = a.
On définit pgcd(0, 0) = 0.
Cette définition appelle en fait une preuve : partie non vide dans N, partie non vide majorée dans N.
Remarque : on dit que a et b sont premiers entre eux lorsque pgcd(a, b) = 1.
Représentant irréductible d’un rationnel.
Exercices :
1. Soit p premier. On a p|a ou p ∧ a = 1.
2. Si p et q sont premiers distincts, alors p ∧ q = 1.
3. Tout diviseur de a et b divise pgcd(a, b).
IV.2.
Une application
Théorème 10.
√
2 est irrationnel.
2
IV.3.
Calcul explicite par décomposition en produit de nombres premiers
Proposition 11. En écrivant a =
Y
pgcd(a, b) =
pµk k et b =
Y
Y
pνkk avec des nombres premiers tous distincts, on a :
min(µk ,νk )
pk
et
ppcm(a, b) =
Y
max(µk ,νk )
pk
Exercice : pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = ab.
IV.4.
Algorithme d’Euclide (programmation Python)
Pour calculer pgcd(a, b) :
1. on calcule le reste r de la division euclidienne de a par b ;
2. si r = 0, alors le pgcd est b ;
3. sinon, on recommence en calculant le reste de la division euclidienne de b par r (i.e. on remplace a par b, b par
r, et on itère).
Lemme 12. Soit a ∈ N, b ∈ N∗ , q et r les quotients et restes dans la division euclidienne de a par b. Un entier divise
a et b ssi il divise b et r.
On a de plus pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
Proposition 13. L’algorithme d’Euclide se termine en un nombre fini d’étape, et pgcd(a, b) est le dernier reste non
nul.
Remarque : si a < b, la première étape a pour effet d’échanger a et b.
pv : On considère r0 = a, r1 = b, et ∀n ≥ 1, si rn 6= 0 alors rn+1 est le reste de la division euclidienne de rn−1 par rn .
La suite est strictement décroissante à partir du rang 1. . .
ex : pgcd(150, 147) = 3, pgcd(77, 30) = 1.
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