Arithmétique dans Z I. Multiples et diviseurs dans Z et N II. Division

Gaudino, casier 5 version N1.2 (12 d´ecembre 2013)
P.C.S.I. 834 Arithmétique dans ZLycée Masséna
Rappel : toute partie non vide de Nadmet un plus petit élément, et toute partie non vide majorée de Nadmet un
plus grand élément.
I. Multiples et diviseurs dans Zet N
I.1. Définition
d´ efinition 1. Soient aet bdans Z. On dit que bdivise a, noté b|a, lorsqu’il existe k∈Ztel que a=bk.
0 ne divise que 0, 1 et −1 divisent tout entier relatif. 0 est divisible par tout entier.
Lemme 1. Si b|aalors a= 0 ou |b|≤|a|.
I.2. Relation d’ordre
– Sur Z: réflexivité, transitivité. Ni symétrique, ni antisymétrique.
– Sur N: réflexivité, transitivité, antisymétrique, mais pas total. On parle d’ordre non total.
II. Division euclidienne dans N
II.1. Division euclidienne
Th´ eor` eme 2. Soit a∈Net b∈N∗. Il existe un unique couple (q, r)∈Z2qui vérifie (qest appelé le quotient, rle
reste) :
a=bq +ret 0≤r < b
Calcul de qpar la partie entière (mais preuve par le plus grand entier qtel que bq ≤a). Extension aisée au cas a∈Z.
Proposition 3. b|asi et seulement si r= 0.
Programmation en Python dans N.
II.2. Congruence dans Z
d´ efinition 2. Soit n∈N∗, et aet bdeux entiers relatifs. On dit que aest congru à bmodulo nlorsqu’il existe k∈Z
tel que a=b+kn. On note a≡b[n].
Proposition 4. aest congru modulo nà son reste dans la division euclidienne de apar n.
Intérêts : savoir si aet bont le même reste, savoir si aest multiple de n.
Opérations :
– Somme et différence : si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et a−c≡b−d[n].
– Produit : si a≡b[n] et m∈N∗alors am ≡bm[nm].
Néanmoins, comme il s’agit de multiplier par un entier naturel, on garde aussi la conclusion am ≡bm[n].
Exemple : a2+a+ 1 est toujours impair.
II.3. Relation d’équivalence
Th´ eor` eme 5. La relation de congruence modulo nest une relation d’équivalence : réflexive, transitive, symétrique.
d´ efinition 3. Soit a∈Z. On note C(a)l’ensemble des entiers congrus à amodulo n. On l’appelle classe d’équivalence
de a.
Proposition 6. Les classes d’équivalences forment une partition de Z: elles sont deux-à-deux disjointes, et leur
réunion est Z.
Exemples de classes. Cette notion s’étend à toute relation d’équivalence (modulo sur R, matrices équivalentes par
lignes par exemple).
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III. Nombres premiers dans N
III.1. Définition
d´ efinition 4. On appelle nombre premier tout entier naturel supérieur à 2qui n’admet comme diviseur dans Nque 1
et lui-même.
Vocabulaire de nombre irréductible dans Z.
Rem : pour prouver que nest premier, il suffit de chercher des diviseurs ≤√n.
III.2. Deux résultats importants
Th´ eor` eme 7. Tout entier naturel supérieur à 2admet (au moins) un diviseur premier.
pv par récurrence forte ou en considérant le plus petit diviseur supérieur à 2 de n.
Proposition 8. Il existe une infinité de nombres premiers.
pv : On considère P={x1,··· , xn}et y= n
Y
k=0
xk!+ 1. y≥2 n’admet aucun diviseur premier : contradiction.
III.3. Décomposition
Th´ eor` eme 9 (admis).Il existe une décomposition de tout entier naturel supérieur à 2en produit de nombres premiers,
décomposition unique à l’ordre près.
Notation n=Yqkavec des nombres premiers pas tous distincts, ou n=Ypνk
kavec des nombres premiers tous
distincts. Notion de valuation νk
Exercice : Soient aet bentiers supérieurs à 2. a|bssi ∀k, νk(a)≤νk(b).
III.4. Crible d’Eratosthène (programmation Python)
– On écrit l’ensemble de tous les entiers (supérieurs à 2) ;
– le premier élément (2) est premier : on le retire, ainsi que ses multiples ;
– le premier élément (3) est premier : on le retire, ainsi que ses multiples ;
– le premier élément (5) est premier : on le retire, ainsi que ses multiples . . .
pv : à chaque étape, on a retiré les multiples des entiers inférieurs. Ne restent donc que les entiers qui n’ont aucun
diviseur autre que 1 et lui-même.
IV. PGCD et PPCM dans N
IV.1. Définitions
d´ efinition 5. Soient aet bdeux entiers naturels non-nuls. On appelle pgcd(a, b), noté aussi a∧b, leur plus grand
commun diviseur (dans N).
On appelle ppcm(a, b), noté aussi a∨b, leur plus petit commun multiple (dans N).
Soit aentier naturel non-nul : on définit (cas particulier) pgcd(a, 0) = a.
On définit pgcd(0,0) = 0.
Cette définition appelle en fait une preuve : partie non vide dans N, partie non vide majorée dans N.
Remarque : on dit que aet bsont premiers entre eux lorsque pgcd(a, b) = 1.
Représentant irréductible d’un rationnel.
Exercices :
1. Soit ppremier. On a p|aou p∧a= 1.
2. Si pet qsont premiers distincts, alors p∧q= 1.
3. Tout diviseur de aet bdivise pgcd(a, b).
IV.2. Une application
Th´ eor` eme 10. √2est irrationnel.
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IV.3. Calcul explicite par décomposition en produit de nombres premiers
Proposition 11. En écrivant a=Ypµk
ket b=Ypνk kavec des nombres premiers tous distincts, on a :
pgcd(a, b) = Ypmin(µk,νk)
ket ppcm(a, b) = Ypmax(µk,νk) k
Exercice : pgcd(a, b)×ppcm(a, b) = ab.
IV.4. Algorithme d’Euclide (programmation Python)
Pour calculer pgcd(a, b) :
1. on calcule le reste rde la division euclidienne de apar b;
2. si r= 0, alors le pgcd est b;
3. sinon, on recommence en calculant le reste de la division euclidienne de bpar r(i.e. on remplace apar b,bpar
r, et on itère).
Lemme 12. Soit a∈N,b∈N∗,qet rles quotients et restes dans la division euclidienne de apar b. Un entier divise
aet bssi il divise bet r.
On a de plus pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
Proposition 13. L’algorithme d’Euclide se termine en un nombre fini d’étape, et pgcd(a, b)est le dernier reste non
nul.
Remarque : si a<b, la première étape a pour effet d’échanger aet b.
pv : On considère r0=a,r1=b, et ∀n≥1, si rn6= 0 alors rn+1 est le reste de la division euclidienne de rn−1par rn.
La suite est strictement décroissante à partir du rang 1. . .
ex : pgcd(150,147) = 3, pgcd(77,30) = 1.
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